转化与化归思想的自然真实体现*——以“正弦定理”的教学设计与打磨为例

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(攀枝花市第三高级中学校，四川 攀枝花 617000)

1 背景

2018年10月18—19日，四川省普通高中青年数学教师优秀课展评活动在四川省绵阳中学举行．笔者所在学校青年教师倪老师参加了这次活动，经过激烈的角逐，获得了省一等奖．作为指导教师，笔者回顾这堂课一路走来充满艰辛，无论是课堂设计、课堂演练还是说课表现都倾注了我们的心血.评委教师评价这堂课目标明确、过程流畅，无论是新课引入、定理与定值的探究和发现，还是定理的证明，都是以从直角三角形到一般三角形为主线，渗透了从特殊到一般、由已知到未知的转化与化归思想，知识的发生发展过程亲切自然，学生思维活动丰富且有一定深度，学生的学习参与度比较高．

图1

2 教学设计

2.1 设计情境,自然回归

问题1生活中我们经常需要去测量两个不可及物体之间的距离，有这样一个问题：如图1，要在位于河两岸的两个村庄A,C间建一座桥，需要测量两个村庄间的距离，现在我们手上的工具有用来测量距离的卷尺和用来测量角度的测角仪，现在，我们与点A位于河岸的同侧，能否给出一个测量方案？

2.2 设置疑问，引发冲突

问题2在实际操作中，发现点D附近有一个很深的大洞，因此无法到达点D进行相关测量，有什么办法来解决问题呢？

生2:若在点D之前另外找一个点B，得到△ABC，但它不是直角三角形．

问题3虽然不是直角三角形，但可以得到哪些数据？

生3:利用测角仪可以测得∠CAD的大小α和∠ABC的大小β，利用卷尺可以得到AB间的距离c．

2.3 第一次运用化归思想，将一般三角形的边角关系转化到直角三角形中探究

图2

师：利用这些数据能求出AC的长吗？由三角形全等的判定定理(ASA)知三角形是确定的，根据三角形内角和定理，∠ACB=π-α-β，已知条件即为三角形的3个角与一条边，求其他两条边，这对学生来说是新问题．我们在初中学习了直角三角形的三角函数，得到了其边角间的数量关系(如图2)[1]：

问题4由对称性，acosA=bcosB=ccosC成立吗？

生4:因为∠C为直角，所以cosC=0，故acosA=bcosB≠ccosC．

问题5这个等式有些美中不足，如果给第三个式子也加上一个分母sinC，形式上将会更加对称，这里可以加上吗？

2.4 得出结论后用几何画板验证，用特殊探索一般，提出一般三角形中结论成立的猜想

教师借用几何画板进行演示(如图3和图4)，学生观察随着三角形形状的改变，各边与对角正弦比值的变化情况，但是3个比值永远都是相等的．

图3 图4

师：这样一来，我们就有理由相信这个漂亮的等式在任意三角形中都是成立的，如何去证明？

(学生积极思考，分类讨论，给出证明．)

2.5 第二次运用化归思想，将一般三角形中的问题转化到直角三角形中，证明猜想，得出结论

生6(在黑板上讲解):对于锐角△ABC，如图5，作边BC上的高AD，得

AD=bsinC=csinB,

则

同理，作边AB上的高CE，得

CE=asinB=bsinA，

则

因此

图5 图6

生7:对于钝角△ABC，如图6，作边BC上的高AD，得

AD=bsinC=csinB,

则

作边AC上的高BE，得

BE=asinC=csin(π-A)=csinA，

则

asinC=csinA，

即

因此

2.6 第三次运用化归思想，将一般三角形的边角比值转化到直角三角形中探究

师：正弦定理将三角形中所有的边和角都串起来了，它指出了三角形各边与它所对的角的正弦的比值相等，也就意味着只要三角形的一边及其对角确定之后，这个比值必然是确定的．

问题6这个比值到底是什么？

(学生一片茫然．)

问题7回到定理上来，当三角形的一边及其对角确定之后，这个三角形唯一吗？

生(众)：不唯一．

问题8若固定一条边，欲使这一边的对角大小不变，此边所对应的顶点如何运动？

生8:在初中学过圆中同弦所对的圆周角相等，因此顶点的轨迹是一段弧．

生9:应该是两段弧，上下各一段．

(全班响起热烈的掌声.)

师:刚才生9说得很好，对定线段张角为定角的点所构成的集合是两段对称的圆弧，根据对称性，我们只需研究其中一段圆弧就可以了，此时三角形的3个顶点都在圆弧上，因此它就是三角形外接圆中的一段弧(如图7)．

问题9如图8,若对角为直角，大家观察一下此时比值的几何意义是什么？

图7 图8

生10:如图8，应该为三角形外接圆直径．因为此时sinC=1，圆周角为直角时所对的弦为直径，直角三角形的斜边长就是它的外接圆直径．

师：在直角三角形中比值的几何意义为外接圆直径，在一般三角形中也成立吗？如何证明呢？

(教师再用几何画板加以验证，让学生观察，当动顶点在圆弧上运动时，3个比值恒为定值，都等于三角形外接圆直径.)

2.7 第四次运用化归思想，将一般三角形的边角比值转化到直角三角形中证明

学生积极进行小组讨论，由两个小组分别阐述∠A为锐角和钝角的情况(如图9和图10)，得出结论：在三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值相等，而这个比值就是三角形外接圆的直径，即

图9 图10

教师分析为何要作辅助线BD：

1)要产生正弦自然要构造直角三角形，联结BD，将锐角A放到Rt△BCD中(钝角三角形中是将钝角A的补角放到Rt△BCD中);

2)要证明结论，就要产生直径，联结BD，也就产生了直径；

3)在找到比值的同时，再次证明了正弦定理(即正弦定理证明中的外接圆法)．

2.8 运用正弦定理解三角形，回到情境中的问题，充分体现了数学来源于生活又服务于生活

问题10研究正弦定理到底有什么用？对于课堂最开始提出的问题，如果测量得到∠A=30°，∠B=135°，AB=20 m，能否利用正弦定理计算出A，C间的距离？

生11:已知∠A，∠B和边AB的长c，要想求出边AC的长b，就还要知道边BC的长a或者∠C．此时a是无法测量的，根据三角形内角和为180°，可以得到∠C的大小.有了∠C的大小后，通过解方程组，不仅可以算出b，甚至还可以算出a．

设计意图初步感受正弦定理在解三角形中的应用，解决课堂最开始提出的问题，首尾呼应．

2.9 给出定义，构建模型

师：一般地，把三角形的3个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

问题11刚才我们从解方程的角度分析了正弦定理可以解决已知两角和任意一边的解三角形问题，除此之外，正弦定理还可以解决哪些解三角形问题？

生12:1)已知两角和任意一边解三角形；2)已知两边及其中一边对角解三角形．

设计意图在从形的角度证明了正弦定理之后，从数的角度分析定理可以解决的解三角形问题，为后一节课运用正弦定理解决具体的解三角形问题提供理论基础．

2.10 走进历史，感受内涵

师(课件展示正弦定理发展历程)：这节课我们一起发现、证明并且初步运用了正弦定理，然而定理的发展并不是一帆风顺的，从它的发现到最终被人们所接受经过了很漫长的一段时间.历史上，它的证明方法丰富多彩，除了我们本节课所用到的作高法、外接圆法之外，还有面积法、向量法等证明方法，凝聚着前人的智慧，感兴趣的同学课后可以查阅资料进行了解．

2.11 归纳概括，整合新知

师生共同回顾本节课所解决的问题：本节课我们利用从特殊到一般的数学研究方法，从直角三角形出发，探求出正弦定理，并将其推广到一般三角形中，找到了三角形边角间的数量关系,在定理的探究过程中找到了比值就是三角形外接圆的直径．紧接着利用正弦定理解决了课堂最开始提出的解三角形问题，又经历了从一般到特殊的过程，并且还从解方程的角度分析了正弦定理可以解决的解三角形问题，至于具体的运用，我们下一节课再来探究．

3 教学反思

3.1 思路清晰，方法得当

教学过程以活动为主线，以问题为载体，学生合作探究，展示自我，调动了学生的积极性，充分体现了以学生为主体、教师为主导的现代课堂教学理念．

3.2 目标明确，过程流畅

本堂课先创设生活中的实际问题情境，激发学生的求知欲望，无论引入、探究还是证明都是以从直角三角形到一般三角形为主线，渗透了从特殊到一般、由已知到未知的转化与化归思想．

3.3 动画展示，动静直观

充分运用现代信息技术，在探索正弦定理和验证比值为直径时都通过动画展示，让学生直观感受随着三角形的边角变化3个比值的变化规律，动中有静，充分体现了数学本质，展示了数学的和谐统一美．

3.4 层次分明，亮点突出

1)在直角三角形中探索边角关系时，分析为什么研究正弦，而不是余弦和正切；

2)在证明比值为外接圆直径时，对学生所作辅助线的原理进行分析，即将边角转化到直角三角形中，并且让斜边与直径相关．

3.5 美中不足，尽力完善

1)教师的板书示范不够；

2)评价时应加大对学生的鼓励力度．

4 课堂教学点评

4.1 定位准确

本堂课在准确认识教材的地位与作用的基础上，充分了解学情，挖掘本课知识与学生认知的联系，目标定位恰当，教法学法符合实际．

4.2 设计精当

本堂课先创设生活中的实际问题情境，展开对三角形3个角、3条边这6个元素间的关系的探索，自然得当，激发求知欲望.随后通过对学生已知的直角三角形的边角关系进行探究得出在直角三角形中的正弦定理，这里对仅知一边的三角形为什么研究的是正弦而不是余弦作了分析应是本堂课的亮点；接着利用几何画板对任意三角形进行验证；证明时作高构造直角三角形，利用对三角形高的二次运算得证，利用正弦定理形式上的对称美引导学生探索比值的几何意义，过渡自然，为之后利用三角形外接圆的几何性质证明比值为三角形外接圆直径作了巧妙的铺垫，并对学生为什么在圆中作直径的辅助线或利用垂径定理作高构建直角三角形作了分析，点评到位．站在方程的高度分析正弦定理的作用并成功地解决了课堂一开始提出的问题，前后呼应，设计精当．整堂课紧紧围绕一条主线“将一般三角形中的问题转化为直角三角形中的问题”进行研究，充分体现了从特殊到一般、从已知到未知的求知过程；提升了学生数学抽象、数学建模的数学素养，充分体现了数学来源于生活同时又服务于生活．

4.3 手段多样

充分利用信息技术手段，利用动画，随着三角形形状变化，边与对角的正弦之比在变化，但3个比值总相等，动中有静，充分展示了数学与美的和谐统一．

4.4 活动丰富

教学过程以活动为主线，以问题为载体，问题设计有层次、有梯度；学生合作探究，展示自我，充分调动了学生的积极性，师生交流深入，是一堂以学生为主体、教师为主导、学生发展为主线的高效课堂．

4.5 美中不足

本堂课教师教态自然、语言优美、叙述准确，对学生在细节上的问题纠正到位，对学生回答问题或提出新的方法有鼓励，但还可以再加大对学生的鼓励力度，教师在板书示范上尚有不足．

5 一点思考

一堂优秀展示课的设计与实施需要举团队之力，对教学设计框架、教学环节、教学过程、教学的每一个细节都要仔细研磨，对教案、说课稿字斟句酌，真正做到一丝不苟．选手们不仅收获了荣誉，更多地收获了教学设计的理念与方法．然而笔者认为更积极的意义不在于获奖，而在于设计这堂课的“过程”与这堂课的教学设计的理念与方法的“推广”.笔者所在学校数学组近40位教师在全程参与的过程中都得到了磨炼，各位优秀选手的激情展示都会辐射到每位教师身上，从而整体提升了教师团队的课堂教学水平.这样的活动应当多开展、多参与，让更多的数学教师用不仅有“长度”的教学，更多运用有“深度”的教学[2]，让数学思想渗透在每一堂课的教学中，让数学核心素养在课堂教学中落地生根．