基于“整体建构”教学观的数学概念教学*——以“认识多边形”为例

●

(南京市第二十九中学,江苏 南京 210029)

1 内容和内容解析

1．1 内容

多边形、凸多边形、正多边形、多边形的对角线等概念．

1.2 内容解析

“认识多边形”是在学习了“与三角形有关的线段”和“与三角形有关的角”后，展开的有关多边形的探究课.

就知识的应用价值来看，本节课内容既是三角形的自然延伸，也是进一步探究多边形的角的性质的基础.通过添加对角线将多边形问题转化为三角形问题，不仅是探索多边形内角和的关键，而且也是今后解决四边形问题的通法，是初中学生数学逻辑思维发生、发展的重要环节.就内容的人文价值来看，多边形的探索需要学生掌握观察、类比、转化、归纳等方法，有助于培养学生的创新思维和探索精神.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性.”[1]通过这节课的学习，一方面培养学生类比、迁移的能力，引导学生从知识系统的角度认识研究几何图形的通性通法；另一方面学生要学会归纳的方法，从特殊到一般找出n边形的对角线条数.通过连接对角线的操作，体会多边形与三角形的关系，为下一节课探究多边形的内角和与外角和打下坚实的基础.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：多边形和多边形的对角线的概念.

2 目标和目标解析

2.1 目标

1)理解多边形的定义以及凸多边形、正多边形的概念；

2)掌握多边形的对角线的概念，探索多边形对角线的条数，体会从特殊到一般的思想；

3)感悟类比方法的价值.

2．2 目标解析

达成目标1)的标志是：学生能够举出生活中多边形的实例，画出多边形；

达成目标2)的标志是：学生通过画图，从特殊到一般归纳出n边形对角线的条数；

达成目标3)的标志是：学生用树状图回忆三角形的研究内容，用表格呈现三角形、多边形的概念和性质，其中关于角的性质留作下一节课探究.

3 教学问题诊断分析

这节课本是一节比较琐碎的概念课，如果只是陈述性地呈现知识，学生也能够认识多边形及相关概念，但对多边形与三角形的关系，对研究多边形整体结构的把握、方法的理解以及下面将研究什么问题，缺少一些理性的认识，更无法激起学生学习和探究新知的欲望.

本节课的教学难点是：类比三角形，得到多边形的研究思路，从特殊到一般地得到多边形对角线的条数.

4 教学支持条件分析

利用树状图和表格等工具，呈现知识的整体结构，便于类比学习，突破教学难点.

5 教学过程设计

图1

5.1 复习三角形的内容

问题1我们研究了三角形的哪些内容？

师生活动学生思考回顾，与教师共同完成树状图(如图1).

设计意图先总体回顾三角形的研究思路，回忆研究平面几何图形的通性通法，进而通过类比，自然地推广到多边形，对多边形的认知有一个整体的把握，体会从特殊到一般的思想.

5.2 多边形的研究思路

问题2关于概念，我们主要研究哪些方面？

定义、表示、分类和要素.

追问1什么叫多边形？

类比三角形，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

追问2请你举出一些多边形的实例，并把他们画出来.

追问3怎么表示这些多边形？

用多边形加顶点字母的方式来表示.

追问4多边形如何分类？

按边分，可以分为三角形、四边形、五边形……；按是否所有的边都相等，可分为正多边形和一般多边形；按整个图形是否在任何一条边所在直线的同一侧，可分为凸多边形和凹多边形(在初中，我们只研究凸多边形).

追问5多边形的要素有哪些？

三角形的要素有边、角.在多边形中，连接相邻顶点的线段叫做边，连接不相邻的顶点，可以得到多边形的对角线，因此多边形的要素有边、角和对角线.

师生活动教师通过提问和追问，引领学生通过画图、观察、思考等方式类比三角形的概念，得到多边形的概念.

设计意图三角形是最简单的多边形，多边形比三角形要复杂，多了很多边和角，还多了对角线.通过画图，学生体验了数学化的过程，感受到多边形在现实世界中无处不在，感受到研究的必要性.

问题3关于性质，我们主要研究哪些方面？

类比三角形，性质包括“与多边形有关的线段”和“与多边形有关的角”两个方面.

追问1与三角形有关的线段有三角形的边、中线、角平分线和高，那么多边形呢？

与多边形有关的线段主要是指边和对角线.

追问2与三角形有关的角有内角、外角，那么多边形呢？

多边形也有内角、外角，类似地，我们也可以研究多边形的内角与内角、外角与外角及内角与外角之间的关系.

问题4多边形有多少条对角线呢？

追问1请画出四边形、五边形和六边形，研究一下它们的对角线，你发现了什么？

四边形有两条对角线，每条对角线将四边形分成了两个三角形；五边形有5条对角线，从同一顶点出发的两条对角线将五边形分成了3个三角形；六边形有9条对角线，从同一顶点出发的3条对角线将六边形分成了4个三角形.

追问2n边形的对角线有多少条？

追问3这类似于我们之前研究过的什么问题？

一条直线上有n个点，共有多少条线段？n个人之间两两握手，共有多少次握手？

师生活动教师提出问题、追问，学生画图、归纳，教师鼓励学生大胆猜想、归纳，引导学生关注从同一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形个数，注意前后知识的联系.

设计意图本节课研究的内容是后续学习的基础，通过连接对角线的操作，学生感受到多边形与三角形的关系，为下节课研究多边形的内角和埋下了伏笔，学生初步体会了转化的思想.探究对角线的条数时，仅看数字2,5,9很难发现规律，结合图形，分析对角线的来源，每一个顶点依次与除了自己和相邻的两个顶点之外的顶点连接，可以得到(n-3)条对角线，共n个顶点，每条对角线又被计算了两次，从而求出对角线的总条数，体现了数形结合的思想.

问题5多边形的角我们该如何研究呢？

追问1内角与内角有什么关系？研究多边形的内角和.

追问2外角与外角有什么关系？研究多边形的外角和.

追问3外角与内角有什么关系？在三角形中，我们得到了三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和，那么多边形呢？

首先，每个外角与相邻的内角互为邻补角；其次，一个外角与其不相邻的所有内角的和之间有什么关系呢？

师生活动在这个环节中，教师只引导学生分析思路，探究部分留作下节课展开.

设计意图因为三角形的内角和正好是一个平角，即180°，所以三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和.虽然书上没有研究多边形的外角与所有不相邻的内角的关系，但从知识前后的连贯性角度，可以研究一下，结论应该是一个与字母n有关的式子.

问题6研究了一般的多边形，还可以研究什么？

在学习了三角形之后，我们研究了特殊的三角形——等腰三角形和直角三角形，在多边形中我们可以研究特殊的多边形——正多边形，即各个角都相等、各条边都相等的多边形，体现了从一般到特殊的思想.

5.3 小结

请学生回答下列问题：

1)你对多边形有哪些认识？

2)如何研究多边形？

师生活动学生回顾思考，总结本节课所学知识和研究方法，关注学生是否学会了类比学习.

5.4 布置作业

1)已知一个多边形从一个顶点出发有7条对角线，你能求出它的边数吗？若该多边形共有35条对角线，你能求出它的边数吗？

2)有一个家庭联谊会，参加的家庭全部是三口之家，在联谊会期间，每个人都要和别的家庭的每个成员握一次手.

①若参加会议的人数为15，则一共要握手多少次？

②若一共握手170次，则参加会议的人数是多少？

3)下列不是凸多边形的是

( )

A. B. C. D.

4)教材第24页练习、习题.

设计意图本节课虽然形式上是一节关于多边形的探究课，但实际上是一节概念课，学生需要认识多边形的很多概念、理解多边形的对角线的条数与边数的关系，体会多边形与三角形的关系.这几个练习能帮助学生自我评价学习效果，学会听课和反思.

6 目标检测设计

6.1 用表格呈现三角形与多边形的知识(如表1)

表1 三角形与多边形的知识

设计意图与树状图相比，表格更能呈现具体内容并作类比，有几个部分亟待解决，有兴趣的学生也可以自己先行研究.

6.2 思考

将四边形剪去一个角，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明.内角和变化了吗？外角和呢？

设计意图本题有3种情况，三角形、四边形和五边形，内角和分别减少180°、不变和增加180°，而外角和却始终都是360°.这激发了学生们的探究热情，内角和有什么规律？为什么外角和与边数无关？这是一般规律吗？为下一节课探究角的性质作了很好的铺垫.