数学原理性知识的教学设计研究*

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(淮北师范大学,安徽 淮北 235000)

贝尔在其名著《中学数学的教与学》中，将数学知识的主要形式分成4类：数学事实、数学概念、数学技能、数学原理[1].笔者认为，数学事实过于笼统(数学原理、数学概念等都可以看成是数学事实)，数学技能是偏向于处理数学问题的主体经由训练所获得的个性肢体行为或心智行为的动作熟练程度的主观特点，因此，将数学技能作为偏于客观的数学知识一类属性是不合适的.笔者受贝尔的启发，对他的这种分类加以改进，试图将进入中学数学课程的知识分为3类：数学概念性知识、数学原理性知识、数学问题解决性知识.本文着重分析数学原理性知识.

1 数学原理性知识教学设计准备工作的一般程序

数学原理性知识包括数学公理、数学公设、数学定理、数学公式、数学法则、数学规律等具有数学命题形式属性的知识.这类知识的重要特点之一是它的获得来源于长期的观察、总结、归纳等，首先通过发现的途径得到命题，然后证明它是正确的.关于数学原理性知识的教学设计的探讨与研究，我们要特别注意波利亚的告诫，即生物学上的“遗传学原理”：在教授一门学科(或一个理论，或一个概念)的时候，我们应该让儿童(人类的后代)重走人类在大脑进化过程中走过的重大的几步.当然，我们不应该让他重复过去的成千上万的错误之处，只须让他重走那些重大的几步[2].这就为数学原理性知识的教学设计奠定了理论基础.

一般来说，关于数学原理性知识的教学活动，必须要针对具体数学原理性知识的个性特点，既要注意启发学生发现数学原理性知识结论(命题)过程中的某些重要环节，也要注意已经发现的这个数学原理性知识结论(命题)在证明过程的某些重要环节，这两类不同属性的环节往往是学生发生原理性知识认识时心理活动所绕不过去的.这就构成了数学原理性知识教学设计的关键环节，数学原理性知识的教学价值也深蕴于其中，因此，它是实现数学原理性知识教学目标的保证.长期的教学经验也促使笔者认识到，数学原理性知识教学可分为原理结论(命题)的发现与关于这个命题的证明两个部分.

因此，数学原理性知识的教学设计应该分为两步走，即原理结论的发现过程与原理结论的证明过程，数学教师尤其要重视原理结论发现这一步(数学教育理论家对这一过程是非常重视的).很多数学教师在教学准备工作中，没有加深对于数学原理性知识发现活动过程重要性的认识，在随堂(甚至是大大小小的数学教学公开课，高师师范生教学技能竞赛或教师招聘面试的无生授课)听课、与一线数学教师研究数学教学活动的数学说课、为准备“国培计划”的教学课程设置的调查等收集的大量材料中，笔者了解到，一般教师普遍性地在施教数学原理性知识时的着力点就是原理的证明过程，而没有在“发现活动”这一十分重要的环节上给予相应的努力，从而极大地萎缩了发现数学原理过程中所蕴含的教学价值(在后文的课例中加以具体阐述)，影响了关于数学原理性知识课堂教学目标的实现.

众所周知，数学家关于原创性知识的探究与发现活动中，组成要素具有5个次第发生的步骤(环节)：其一，从面临问题的数学化信息中提出或发现一个一般性的问题；其二，利用数学学科的语言或知识把这个一般性的问题重新叙述为可理解的问题形式；其三，琢磨出某种解决问题的方法；其四，使用这种琢磨出来的方法试图解决这个问题，获得一些比较可靠的结论，从而对于这种方法及其产生的结论正确与否加以检验；其五，对成功解答过程中所使用的方法加以评价与反思，纳入研究主体的认知结构，为将来解决新问题增加新的工具[3].数学知识原创者的数学创造性可以通过这些环节发挥出来，从而获得具体的数学原理性知识，这为我们进行数学原理性知识教学指明了方向.

笔者经由长期的教学经验认识到，在关于数学原理性知识教学的5个环节中，第一个环节“提出问题”的重要性首当其冲.因为在一节课的课堂教学中，“初始问题”不仅是“这出戏”(这节课)的开场锣鼓(教学的起点)，而且也是“这出戏”(这节课)的本身.“初始问题”决定了一节课的节奏——几个小高潮(中间过渡性问题的关键性节点)的组成，并且基本上规划好了推进这一节课课堂上学生思维活动的行进方向[4].有了恰当合适的“初始问题”，之后的4个环节基本上可以由学生自己进行相应的探究活动就能解决了.教师应该相信学生的认识能力，放手让学生自己去思考、活动、发现、筛选、检验、得出结论，顺其自然而不需要多加干预.当然，学生在新的数学观念的萌生、新的数学方法的生成时，数学教师的相应启发与鼓励也是不可或缺的.但是，教师要特别注意，在学生有效活动时，不要去帮学生的倒忙.笔者曾经将这种课堂教学活动总结成一条教学原则，称之为“力所能及的数学课堂教学原则”[5]，即学生自己能做到的事情，教师一定不要去干预他们.

同时，我们不难认识到，这5个环节中的第3个环节与第4个环节也是非常重要的.因为，一般情况下，在这两个环节中，学生已经具备指导活动的“数学观念”(在博士论文“渗透数学观念的数学教学设计方法研究”中，笔者将“数学观念”定义为学生展开操作行为的一种指令)与数学方法，在面对新的数学化信息特点及其产生的数学问题时，可能失去了效用，此时针对具有具体特点的数学化问题信息，学生需要即兴地在课堂学习的现场中萌生出新的数学观念，指导自己的操作行为，从而有效地驾驭数学化信息所产生的问题，进而在这种数学观念的指令下生成有效的数学方法，最终将这种数学化问题信息转化为具体的数学原理性知识.因此，数学原理性知识教学准备工作的一般环节应该从下面3个次第层面入手：

1.1 精心设置“初始问题”

通过上述的具体分析我们认识到，数学原理性知识教学设计的第一个要点是：在探究原理结论时，教师要下足功夫鼓励学生从数学化信息中(至少需要教师自己向学生)提出一个合适的“初始问题”，由前面的论述可知，这个环节特别重要.提出“初始问题”又可以分为两种途径：其一，教师直接向学生提出合适的“初始问题”；其二，教师向学生提供相关数学化信息，鼓励学生仔细分析这些信息，从而启发学生从分析得出的结论中提出相应的恰当有效的“初始问题”.第二种途径优于第一种途径，但在教学准备工作中，就一般的数学知识点来说，第二种途径对教师提出的要求非常高，这是数学教师教学能力与水平的标识，也是其努力的方向与目标.

对于一般的数学教师来说，设置“初始问题”是一件非常棘手的事.由于数学知识点具有特殊性，它就不存在某种具体普适的科学程式与一般性的模型，因此在提出“初始问题”时，教师没有什么捷径可走，需要从自己的教学实践中不断地摸索与尝试，对具体的数学知识所隐含的特点展开深层次的认识，对学生发生的心理活动要有相对准确的揣测与把握，对自己设计的教学活动不断地进行思考与反思，有选择地多听优秀数学教师的引导课，多读相关数学教育教学专著或专业杂志论文，阅读数学教育心理学等，从中体悟到设置“初始问题”的方法与途径.“理在用中方之妙”，数学教师一定要牢记：在自己的教学活动实践中深入思考，在获得关于某个知识关键性的关节点上请教理论，这对于提升设置“初始问题”的水平有较好的帮助.

1.2 启发学生萌生数学观念及其转化为解决问题的具体数学方法

数学原理性知识教学设计的第二个要点在于：对于稍微复杂一些的数学原理性知识内容，从所设置的“初始问题”过渡到关于这个知识点的结论(证明之前产生的命题)，中间必然要经过某些数学观念的转化，才有可能成功.也就是说，在解决“初始问题”的过程中，学生熟悉的那个(或几个)最容易首次直接出现的指令操作行为的“数学观念”往往(甚至可以肯定地说)是无效的，必须要摒弃这个首次出现的“数学观念”，从相关的数学化信息的问题所规定好了的材料中形成新的“过渡性问题”，在这个过渡性问题的刺激下，萌生新的“数学观念”，有关原理性知识命题结论的发现必须由这个(些)新的数学观念指令，在这个(些)新的“数学观念”的指令下，才可以达到目的.

这种启发学生针对具体数学化信息问题萌生新的“数学观念”的过程，是课堂教学活动的又一个重点，而且也一定是难点之一.例如，关于“二项式定理”这一原理性数学知识点，教科书提供了非常好的数学化信息，教师在启发学生提出相应的“初始问题”后，学生在寻找展开式的表达式的系数时，可能要先产生“杨辉三角”的数学观念指令操作，但是“杨辉三角”这种数学观念的指令不足以驾驭这个问题(因为它需要无限操作，到最后不一定能找到那个系数)，这时要启发学生从基于“杨辉三角”形式中对于系数的归纳法这样的数学观念指令的操作行为，转化到运用计数原理的“数学观念”指令的操作行为，在计数原理的观念指令下，才能顺利地解决这个问题[6].要引起注意的是，教科书上提供的材料还是比较原始的，需要教师进行二次开发，才能最大限度地发挥它的教学价值.

1.3 在命题结论发现过程中为寻找逻辑证明的途径创造有利条件

数学原理性知识教学设计的第3个要点在于：从“初始问题”过渡到合适结论(命题)的发现过程中，力求为这个原理结论(命题)的证明创造有利条件，诸如做好利于发现证明思路的合适表征、提示证明将要采用的数学方法等.当然，由于具体知识的特点不同，决定了这种创造条件活动的方式也不同，有些知识的探究发现活动已经清晰地产生了证明结论的思路(如教科书中有关“二项式定理”的提示)，发现的过程同时就是证明的过程；但有些知识不是这样的(如下文的“正弦定理”的课例).如此安排，不仅形成了发现活动与证明活动之间的紧密联系，还加强了课堂教学活动之间的结构性与情节性，更为重要的是，可以为课堂教学侧重点置于发现活动中提供时间的保证.

总之，要做好这3个要点的准备工作，在课堂教学时，还要善于依据学生发生认知的具体心理活动情况，加以必要的调整.如此，数学原理性知识的教学就会获得比较理想的效果.因此，我们在进行数学原理性知识教学时，首先要分析知识的结构性特点，然后依据这些特点，参照学情分析的结论，认真考虑从这3个要点着手进行教学准备工作.

2 数学原理性知识教学设计示例

陆游诗云：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.”教育理论家提供的教育理论或教学理念对于大部分一线数学教师来说，可能是苍白无力的.在教学实践中，数学教师要针对具体数学知识的特点，依据学生的心理活动特点，选择合适的数学教学法，才能发挥具有具体特点的数学知识的教学价值，实现较好的教学效果.关于数学原理性知识的教学准备工作也是一样.

下面以“正弦定理”这个数学原理性知识点为例进行说明，笔者通过长时间的实践与反思，总结使用数学发现法进行课堂教学的几个关键性环节如下：

1)在△ABC中，当

∠A<∠B<∠C

(1)

时，就有

a

(2)

反之亦然.就是说，在同一个三角形中，有式(1)与式(2)相互依存的关系.这是三角形3个角、3条边之间互相关联的一种定性关系.数学学科除了作为揭示数与形之间的定性关系的工具外，还可以提供更强的关系，即定量的关系.那么，关于式(1)与式(2)所形成的相互依存关系可以定量化吗(必要时，可以向学生解释“定性”与“定量”的准确涵义，如此，笔者以一个普通的三角形为基础，提出了“初始问题”)？

2)学生可能会展开猜想，得到这6个要素可能的比例式

(3)

必要时，可以确定三角形的3个角，它的3条边可以成比例地增加或缩减，启发学生萌生出比例式(3)(其中角度是弧度制单位).紧接着，笔者向学生提问，比例式(3)成立吗(由式(1)与式(2)形成的这种定性的相互依存关系生成了新的数学观念，即定量研究这6个要素的数学观念).

3)学生使用特殊三角形进行检验，发现比例式(3)不成立.此时，笔者又启发学生提出了对比例式(3)的分子中的3个角加以改造，即分别取正弦、余弦与正切来试探，得到3个比例式

(4)

(5)

(6)

教师鼓励学生检验这3个比例式，确定是否存在某一个或几个成立.结果发现比例式(4)成立.于是，笔者又提出问题，比例式(4)只不过是一种猜想，怎样证明比例式(4)成立(将比例式(3)中的角进行三角函数化似乎是一种“神来之笔”，但是，学生的这种探究活动方式，也是合情合理的，这就体现了在探究中创新、在创新中探究的教学方式)？

4)在比例式(4)所表征的情形下，证明的过程其实就是将比例式(4)的3个部分都去分母，学生会快速地得到

bcsinA=acsinB=absinC,

(7)

可以看到:在引领学生进行探究时，要将角放在分子的位置上的原因：这种表征在最后检验时，为使用的逻辑证明活动带来了极大方便，从而在证明过程中节省了大量的课堂教学时间，为发现活动奠定了基础.与笔者的这种教学活动相比较，教科书上所提供的证明(使用向量数量积等)就显得有些“杀鸡使用了宰牛刀”.

3 简要结语

苏霍姆林斯基说：“人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探寻者.在儿童的精神世界中，这种需求特别强烈.但如果不向这种需求提供养料，即不积极接触事实和现象，缺乏认识的乐趣，这种需求就会逐渐消失，求知兴趣也与之一道熄灭.”因此在教学中，教师(特别是新教师)要从学生的实际出发，采用生动活泼的形式，启发学生思考，调动学生学习的积极性，引导学生积极主动地学习.

在进行具体知识的教学设计时，数学教师应根据具体的教学内容，从学生的实际认知出发，鼓励学生参与教学过程中必不可少的心理活动，以启发学生生成数学观念、指导学生展开数学思维、抽象出数学方法、萌发数学思想，最终促使学生以形成数学发现与创新能力为核心的素养，同时充分调动学生学习的主动性和积极性，这其中最重要的基础在于教师必须要做好教材分析.提高数学教师的教材分析能力是实现现代数学教学理念、发挥数学知识教学价值、实现数学教学目标的基本保证.本文研究的数学原理性知识教学活动环节正是这种思想的体现.