数形结合，让创新思维融入课堂

范琰

摘要：创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，培养小学生创新思想是小学数学教学的重点。《数学新课程标准》明确提出：人才培养是当前教育的紧迫任务，也是时代赋予教师的历史使命，尤其是数学课程，更要注重培养学生的发散思维和创造能力。数形结合作为发散学生思维的有效方法，应引起广大数学教师的高度重视。

关键词：小学数学   数形结合  创新思维

进入20世纪以后，数学思维日益受到各国教育学家的重视，数学领域的学术著作也层出不穷，如美国数学家M.克莱因的《古今数学思想》，日本数学家米山国藏的《数学的精神、思想和方法》。总体来看，这些著作都详细地论述了现代数学的思想方法，但是它们的出发点是基于整个现代数学体系，很少从细微处着手，导致对小学数学教学的研究略显不足。

早在数学发展的萌芽期，数和形的结合已经体现在了人们对长度、面积等方面的测量中。宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式来描述一些几何特征，进而把图形中的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪，法国数学家笛卡尔通过直角坐标系建立了数与形之间的联系。数轴的建立使人们对数与形的统一有了跨越式的认识，从而把实数集与数轴上的点集一一对应起来，数可以视为点，点也可以视为数，点在直线上的位置可以数量化，而数的运算也可以几何化。

华罗庚于1964年撰写了《谈谈与蜂房结构有关数学问题》这一科普小册子，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非;切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”由于华罗庚在数学界的巨大影响力，“数形结合”立即得到了我国数学界的一致认同，在那时几乎所有的数学教育刊物都出现了这个词。尤其是在小学解决问题教学中，“数形结合”能直观地发现数量之间的内在联系，显得尤为有效。心理学家通过实验证明，大多数小学生的思维处于形象认知阶段，相对于抽象事物，他们对直观事物更感兴趣。如果教师将生动、形象的图形融入解决问题教学中，将抽象的数学知识趣味化、具体化，能够吸引学生的注意力，调动学生思考的积极性，发展学生的创新思维。下面，笔者给自身教学实践，谈谈如何在教学过程中渗透数形结合。

一、巧用数形结合理解题意，激发创新意识

数学作为一门研究空间形式和数量关系的学科，“数”和“形”是相互映衬的。数形结合其实就是将“数”和“形”结合起来，将复杂抽象的问题转化为简单具体的问题。大量科学实验证明，相对于抽象事物，人们的大脑对“形”有更为敏锐的直觉，这种感觉与生俱来。尤其是刚入学的一、二年级学生，这种直觉更加敏锐，他们对文字的理解相对困难，但善用画图的方法表达自己的感受。因此，在解决问题教学中，教师应根据学生的认知特点，引导学生借助图形直观地理解信息和问题，建立“数”和“形”的联系，从而发散思维，培养学生的创新思维。

如在教學“求比一个数多（少）几的数的实际问题”时，笔者利用数形结合，将文字信息与几何图形有机结合起来，学生通过图形建立了条件和问题之间的联系，为下一步的解答奠定了基础。如有这样一道例题：“已知山羊上午种了26朵花，下午比上午多种了16朵，问山羊一天种了多少朵花？”这个问题对于二年级学生来说有一定的难度，大多数学生理解起来比较困难。此时，笔者启发学生用画图来理解题意，分析问题，从而帮助学生在“数”与“形”之间架起一座桥梁。学生们通过独立思考、探索交流，用不同的图形表述了他们的思考过程（如图1所示），产生了思维的碰撞与共鸣，从而使学生在数学学习中获得发展。

这里的“形”很好地辅助了“数”的形成过程，激发了学生的探究兴趣，不仅培养了学生用数形结合思考和解决问题的意识，也激发了学生的创新思维，为他们后续更深入地学习数与形的转化奠定了基础。

二、妙用数形结合探索策略，培养创新思维

数学是思维翱翔的翅膀，发散思维是学生思维创造力的具体表现，也是小学数学教师教学的重要目标。锻炼学生的发散思维，不能只靠“填鸭式”的传统教学方法，教师应该结合多种教学方法，在潜移默化中提升学生的创新思维，而数形结合是锻炼学生发散思维的一种有效方法。

实践表明，数形结合只有和数学教学过程进行深度结合，才能最大限度地激发学生的创新思维。笔者认为，数形结合应贯穿于小学数学教学活动的始终，教师应引导学生借助直观图、线段图等方法，把复杂的数学问题直观化，鼓励学生从不同的角度探究数量关系，从而在参与学习的过程中逐步形成创新思维。

以“鸡兔同笼”问题为例，笔者首先向学生展示问题：“已知笼子里有若干只鸡和兔子。从上面看，共有8个头;从下面看，共有26只脚。请问兔子和鸡各有几只？”在解答过程中，笔者启发和鼓励学生运用图形来转化上述问题。这样一来，学生的思维向深层发散，并积极参与到解答活动中，学生们娓娓道出了不同的解题策略。

策略一：有8个头就有8只动物，假设全是鸡，每只鸡有两只脚，这样就有16只脚，将多余的10只脚给部分鸡添上，变成了兔子，得到有5只兔子和3只鸡（如图2所示）。

策略二：先画8只兔，每只兔有4只脚，这样就有32只脚，将多余的6只脚去掉，同样得到有5只兔子和3只鸡（如图3所示）。

数形结合思想主要是抓住了数与形之间的联系，借助直观形象的模型理解抽象的数量关系，有效培养了学生的创新意识。

又如在教学“打折与策略”时，笔者出示以下问题：“圣诞节期间，张老师准备买一台800元的微波炉，李老师准备买一台300元的豆浆机。商场此时正好进行折扣促销活动：对于一次性消费500元以上的，500元以上的部分有9折优惠。于是，张老师和李老师合在一起购买了各自需要的东西，请问两位老师一共节约了多少元钱？”学生们在积极思考之后，踊跃发言，并且讲解了自己的解答方法。

策略一：先求出分开购买所需要的钱，500+（800-500）×90%+300=1070（元）;再求出合着买所需要的钱：500+（800+300-500）×90%=1040（元）;最后省的钱数是1070-1040=30（元）。

策略二：合着买与分开买的区别在于：少花了300元的（1-90%），即300×（1-90%）=30（元）。部分学生不能理解策略二的求法，所以笔者适时地让学生用画图的方法分别表示两位教师分开买和合着买（如图4所示）。

通过图形的转化，学生建立了直观的数量关系认识，省钱的部分其实就在于超过500元部分的10%。通过以上教学，学生利用线段图进行数与形的转化，从复杂的数量关系中巧妙地解决了问题，启迪了思维。这种数形结合解决问题的过程既可以激发学生的学习兴趣，又可以锻炼学生的发散思维。

三、善用数形结合拓宽思路，提升创新能力

数学家华罗庚曾说过：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。”数学学习并非只是简单的知识累加过程，其本质在于不断发掘和探究新知识。数形结合就是这样一种方法，它可以帮助学生从全新的角度解决问题，培养学生的探究精神。尤其是在解决较为复杂的应用题时，恰当地借助“形”，有助于学生抓住数与量的本质，培养学生思维的灵活性。因此，在教学中，教师应引导学生将数形结合思想付诸实践，以数的简洁研究形，以形的直观表达数，促使学生的形象思维与抽象思维协同发展。

如在解答“归一问题”的过程中，笔者特意设计了这样一道题目：“已知买3支钢笔需要18元，那么买9支钢笔需要多少元钱？”在解答过程中，笔者要求学生用“□”代表一支钢笔，通过图形展示整个题目的意思，以了解学生对题目的理解程度。大部分学生所画图形如图5所示：

学生先计算出每支钢笔的价格：18÷3=6（元），再计算出9支钢笔的总价格：6×9=54（元）。还有一些学生联想到“倍”的相关知识，于是就有了图6所示的表示方法：

学生先算出9支钢笔是3支钢笔的3倍，所以9支钢笔的价钱是3支钢笔价钱的3倍，即18×3=54（元）。學生在已有知识经验的基础上，借助图形的直观性，理解了类似的“归一问题”，并有了两条基本的思考路径。通过这样的解题方法不仅实现了知识与方法之间的纵横联系，还给学生提供了一个广阔的思维空间，增强了学生的创新思维。

又如在教学“长方形面积的应用”时，有这样一道练习题：“一块长400米、宽100米的长方形田地，如果长不变，宽增加50米，它的面积增加多少公顷？”如果按照常规方法，学生需要先算出原来的面积是400×100=40000（平方米）=4公顷，再算出现在的面积是400×（100+50）=60000（平方米）=6公顷，所以增加的面积是6-4=2（公顷）。此时，笔者再引导学生结合“形”画出图形进行深层次思考（如图7所示）：

学生观察图形，惊喜地发现增加的面积其实就是阴影部分长方形的面积，即400×50=20000（平方米）=2公顷。数形结合能够提高学生解决问题的效率，让学生多角度思考问题，真正成为知识的发现者和探究者。

总而言之，数形结合作为培养学生发散思维和创新思维的重要方式，在整个小学数学教学活动中有着突出地位。教师应深入钻研教材，在教学过程中渗透数形结合，从而全面提升学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]金海波.谈数形结合思想在解决问题过程中的渗透[J].小学教学参考，2017，（17）.

[2]黄金花.数形结合思想在解决问题中的巧妙渗透[J].江西教育，2016，（33）.

[3]张艳红.数形结合思想在小学数学教学中的应用[D].济南：山东师范大学，2016.

[4]陈志凤.渗透的是思想孕育的是策略——数形结合思想在解决问题的策略教学中的有效应用教学思考[J].数学教学通讯，2015，（31）.

[5]李勇.巧用“数形结合”，妙解小学问题——谈“数形结合”思想在小学数学教学中的渗透[J].数学大世界（教师适用），2012，（7）.

（作者单位：浙江省玉环市楚门中心小学）