整体理念观照下的“三位数乘两位数”单元复习教学实践

□ 赵丽丽 张明明

“三位数乘两位数”这个单元虽然课时数不多，但是在整数乘法中占有十分重要的地位。整个单元从乘法笔算计算方法上进行整体回顾，从数量关系上进行抽象概括，还要结合计算总结积的变化规律，另外还要结合学习内容进行函数思想的渗透。如何在单元复习中对这些单元学习要点进行回顾、梳理与巩固呢？笔者从整体的视角构思与设计复习内容，让学生“温故而知新”。

一、整体设计计算练习，构建乘法竖式计算的模型体系

笔算“三位数乘两位数”有两类模型，第一类是两个因数末尾均没有零；第二类是因数末尾有零。第二类依据零的个数与位置不同，又可以分成三种情况。这样构成了四种基本模型。如何把两大类四种基本模型整体呈现，让学生整体把握四种笔算模型的基本特征呢？笔者采用依据模型编题后再计算的教学策略。

（一）整体回顾乘法竖式模型

课始，教师课件出示如图1的竖式模型，提出问题：这四个都是三位数乘两位数的竖式模型，仔细观察又有什么不一样的地方？

图1

生：①号竖式是一般的乘法，②③④号的因数末尾有零，虚线右边的方框里填0。

生：后面三个竖式模型里面要先算虚线左边部分的，然后虚线后面有几个0，积也添几个零。

师：同学们观察得很仔细。通过简算，后面的三道三位数乘两位数，分别可转化成怎样的乘法呢？

生：②号是两位数乘一位数、③号是两位数乘两位数、④号是三位数乘一位数，计算就会简单许多。

用竖式的形式来整体认识三位数乘两位数的不同计算模型，培养学生认真审题的习惯，增强学生对乘法竖式模型特征的整体把握。

（二）依据模型自主编制计算题

依据模型自主编制计算题可以有两种方式，一种是自主填数，学生自己选择数字填入相应的方框里，然后交流点评各自编写的计算题的特点，这样的填数方式，有利于展现学生不同的思维特点。另一种形式是给定一组数据，让学生从中选择5个数字填入方框中，使算式符合特征，这样的填数方式有利于教师的调控，避免编制的计算题过于单一，但同时也可能使得编制的题目不够丰富。

两种方式各有优缺点，下面介绍的是采用后者的方式让学生自主编题，为克服提供数据的缺点，笔者精心选择了可促进学生深入思考的8个数字。教师出示如下的8个数字：1、7、2、6、4、8、0、0，从中选择5个数字填入方框里，编制出相应模型的计算题各一道。

（三）同桌交换计算互评后集体反馈

编制出题目后，与同桌交换计算，并互批。在此基础上进行反馈点评。教师选择一些典型的例子进行反馈。

除了可以发现学生中出现的一些典型错例，还可以对算式不同但结果相同的乘法算式进行比较分析，如图2、图3。图2比较明显，简算成两位数乘两位数时两个因数相同。图3则不容易发现，可以引导学生比较120与480，64与16之间的变化规律，发现第一组是乘4，第2组是除以4，积不变。

图2

图3

笔算“三位数乘两位数”计算步骤繁杂，变化形式多样。因此，认真审题、把握结构、仔细计算显得尤为重要。

二、整体设计应用问题练习，构建两种数量关系的共同模型

作为小学阶段唯一单独教学的两个数量关系，它们在结构上有相同之处。我们采用依据算式编写应用问题的形式突显它们之间的联系，构建起共同的模型。

（一）回顾数量关系，渗透函数思想

教师谈话引导回忆数量关系，构建起两类常见数量关系的结构体系，为后续依据算式编写应用问题做铺垫。

师：除了三位数乘两位数的笔算，我们还学习了两类常见的数量关系。请同学们回忆一下，有哪两类。关系式分别是怎样的？

生：一类是买东西时用到的。有“单价×数量=总价”“总价÷数量=单价”“总价÷单价=数量”。

生：还有一类是行程问题。有“速度×时间=路程”“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”。

教师依据学生的回答，分别板书关系式（如图4未加箭头时）。然后按上下两个关系式为一组提出问题。

师：观察求总价的数量关系式，想一想，当总价不变时，单价和数量会怎样变化呢？

生：如果总价不变，单价越贵，买的数量就越少。

师：观察求路程的数量关系式，想一想，当路程不变时，速度与时间又是怎样变化的呢？

生：如果路程不变，速度越快，用的时间就少。

……

图4

依据学生的回答，教师画上相应的箭头，板书成如图4。

由数量关系转变成函数关系，理解同一个关系式中三种量之间的变化规律，为今后学习正反比例函数与解决相应的问题做好铺垫。

（二）依据线段图示，提出编题任务

从前面的数量关系的对比分析中，学生已经感受到两类数量关系之间的联系。在此基础上，通过线段图构成要素及其关系的分析，沟通两个数量关系之间的联系，并赋予具体的数据，提出编题的任务。

教师课件出示如图5的线段图。提出问题：如果把它想象成关于“单价”“数量”与“总价”的线段图，你能分别指出图中对应的部分吗？学生回答得到如图6。教师继续提问：如果是“速度”“时间”与“路程”呢？学生回答后得到如图7。这时，教师在图5的三个括号里分别填上相应的数据，转化成如图8。请学生结合图6、图7的线段图，以及黑板上的六个数量关系式，编出相应的应用问题。

图5

图6

图7

图8

用线段图使数量关系变得直观可视，同时也让学生直观地认识到两种数量关系具有相同的模型。

对于安全级别要求较高的信息系统，也可以考虑在自身应用系统中额外加入身份认证模块，如二次密码、问题验证和令牌等认证方式［3］。

（三）编制应用问题，构建数量关系网络

依据以上的数量关系编制应用问题，不在于多，而在于联。联系可从两个方面来实现，第一个方面是同一类型应用问题之间的联系，即同一类型创设一个情境，编制出其中的一个应用问题之后，变换信息与问题编制成其他的两个应用问题。如商品买卖中的数学问题，编制的基本题是求总价：一种玩具的单价是80元/个，买这样的3个要多少元？其余两个问题就是：（1）买3个玩具要240元，每个玩具要多少元？（2）一种玩具的单价是80元/个，240元可以买多少个？第二个方面是同一算式中的联系。如用“80×3=240”计算的两类应用问题进行比较，找到各个量之间的对应关系。

数量关系来自应用问题中信息与问题之间的四则运算关系的提炼，是分析应用问题的重要环节，依据线段图与数量关系编应用问题，有利于发现应用问题中具体情境、信息与问题之间的结构特征。

三、适度拓展应用问题练习，构建乘法应用问题的通用模型

乘法意义下的常见数量关系，除了教材中的两类，还有日常工作中常见的数量关系，称为工程问题。在特定情境下，它与行程问题的数量关系相似。因此，在沟通教材中常见的两类数量关系的基础上，可以通过比较辨析，概括工作中的数量关系，进而再次比较三类数量关系，概括出乘法意义下常见数量关系的通用模型。

（一）比较辨析，概括工作中的数量关系

通过题组比较，学生发现相同的数据在不同的情境下意义会不一样，需要重新概括概念，获得新的数量关系。

师：刚才同学们用线段图中的信息编出了关于商品买卖和行程问题中的应用问题。老师也编了两个问题，请同学们说一说，它们符合哪一种类型？

教师课件出示如下的两个问题：

（1）王叔叔从甲地去乙地，每分钟行80米，3分钟到达。甲乙两地相距多少米？

（2）王叔叔从甲地到乙地检测一段线路，每分钟检测80米，3分钟检测完成。线路长多少米？

生：我认为都是行程问题，数量关系式是“速度×时间=路程”。

师：刚才大家讨论得很好。第一个问题讲王叔叔走一段路的事情，是行程问题；第二个问题是王叔叔做一项工作——检测一段线路，所以这类问题被称为“工程问题”，每分钟检测的米数称为“工作效率”，3分钟称为“工作时间”，线路的长度就是“工作总量”。想一想，解决第二题的数量关系式是怎样的。

生：工作效率×工作时间=工作总量。

教师依据学生的回答板书数量关系式后提问：你能把它编写成其他两种类型的应用问题，并说一说解决问题的数量关系吗？

……

工程问题的数量关系来自与行程问题的比较，在比较中依据学生的回答构建起工程问题的数量关系结构体系。

（二）沟通联系，概括乘法意义下的数量关系

通过拓展延伸，进一步丰富了常见的数量关系。同时，还需要让学生进一步认识到，这三类常见的数量关系，是乘法意义下数量关系在具体情境中的特例。

教师课件出示如下的三个问题后提问：老师根据线段图的信息还有三个应用问题，同学们能够把它们分一分类，归到前面的哪一类呢？

（1）小明家平均每天买菜用去80元，3天用去多少元？

（2）有一卷240米长的电缆线，把它平均分成3份，每份是多少米？

（3）若干根同样规格的钢管总共的质量是240千克，每根钢管重80千克，有几根？

生：我发现这三道题目哪一类也不是。如第一题“每天买菜用去80元”，不是单价；第二题“电缆线长240米”既不是“路程”也不是“工作总量”；第三题更加不是了。

生：我是竖着看的。第一题是第一类，求的是总数。总价、路程和工作总量都是总数。“每天用去的元数”可以叫每份数，单价、速度和工作效率都是每份数。“3天”就是份数，数量、时间和工作时间都是份数。按照这要分下去，第二题是第二类，求每份数；第三题是第三类，求份数。

教师依据生2的说法，对课件中原来的线段图进行补充，成为图9的形式，并把黑板上的板书补充成为图10的形式。

图9

图10

从一般中发现特殊再回到一般，有层次地构建起乘法意义下的数量关系的结构模型。体会到数量关系之间的联系，以及它对于解决问题的引领作用。

（三）综合应用，沟通应用问题中的相等关系

把数量关系思考成函数关系，有利于从变化中寻找到不变之处，发现解决问题的突破口，找到其中的相等关系。如归一、归总类应用问题就是很好的例子。归一应用问题就是在每份数相等的情况下，总数与份数发生变化时提出的数学问题；归总应用问题则是在总数不变的情况下，每份数与份数变化时提出的数学问题。

（1）从甲地去乙地，去时骑自行车用了4小时到达，原路返回改乘公交车，2小时返回。自行车的平均速度是15千米/时，公交车的平均速度是多少千米/时？

（2）买4个篮球要320元。照这样计算，买同样的8个篮球要多少元？

这两个问题均可以用两种方法计算，且可以引导学生用列表法分析。

第一题列表如图11。第一种方法，因为去时与返回的路程相同，求出去时的路程，就是求出了返回的路程，然后用返回的路程除以返回的时间就求出了返回的平均速度。第二种方法，是依据去时与返回的路程相同时，时间除以几，速度就要乘几来思考。

第二题列表如图12。依据单价不变，同样可以用两种方法计算。

基于整体的“三位数乘两位数”单元复习，由面到点，整体把握笔算三位数乘两位数的竖式特点，合理选择竖式摆法。由点到面，认识常见的数量关系与乘法意义下的数量关系之间的层次结构，能够依据实际情况灵活地选择数量关系，寻找变中的不变处，形成规范的解决问题的思路。