利用待定系数法巧解一类二元最值问题

广东省广州市禺山高级中学(511483) 蓝贤光

题目1 已知实数x,y满足x2+2xy+4y2=6，则x2+4y2的最大值是____.

题目1是我校的一次高三数学阶段性测试中的一道填空题，本题看似普通、简单，但却暗藏玄机!由基本不等式得

本题也可以采用以下方法：

由条件等式得(x+2y)2=6+2xy，又(x+2y)2≥0，所以6+2xy≥0，即-2xy≤6，于是x2+4y2=6-2xy≤12，即x2+4y2的最大值是12.

对于题目1，由于x2+4y2在条件等式中已经出现了，因而才有以上两种简单而又巧妙的方法.但对于下列各题，就没有这么“幸运”了：

题目2已知实数x,y满足x2+2xy+4y2=6，则x2+y2的最小值、最大值分别是____.

题目3(2017年浙江省宁波市数学高考模拟试题第17题)已知实数x,y满足6x2+4y2+6xy=1，则x2-y2的最大值是____.

题目4(2017年清华大学自主招生试题第12 题)已知实数x,y满足5x2-y2-4xy=5，则2x2+y2的最小值是____.

题目5(2011年浙江省数学高考理科试题第16 题改编)已知实数x,y满足4x2+xy+y2=1，则x-y的最小值是____，x+2y的最大值是____.

笔者查阅了一些文献，发现对于这类条件最值问题，大多数都是采用“三角代换法”或“化奇次法”，其运算量是较大的.是否有其他的解决方法? 为此，笔者进行了探究.

在题目1 中：由条件等式可得6-(x2+4y2)=2xy，由基本不等式得-(4x2+y2)≤ 4xy≤ 4x2+y2，即于是有即4 ≤4x2+y2≤12，从而4x2+y2的最小值是4，最大值是12.

据此，我们作出大胆的猜想：由题目2 中的条件等式可得6-(x2+y2)=3y2+2xy，若存在实数λ和µ使得µ(x2+y2)≤3y2+2xy≤λ(x2+y2)，则也可求得x2+y2的最值.

下面我们看能否找到这个能“担此重任”的实数λ和µ：

由3y2+2xy≤λ(x2+y2)得λx2+(λ-3)y2≥2xy，当λ≥3 时由基本不等式得比较以上两个不等式的右边，令解得由3y2+2xy≤µ(x2+y2)得-µx2+(3-µ)y2≥-2xy，当µ≤0 时由基本不等式得-µx2+比较以上两个不等式的右边，令解得于是我们有即从而可求得x2+y2的最小值、最大值分别是和

猜想成立，解法巧妙!

一般地，设实数x,y满足ax2+by2+cxy=d，其中a、b、c、d、m、n为已知的非零实数，则d-(mx2+ny2)=(a - m)x2+(b - n)y2+cxy.若存在实数λ和µ，使得λ(mx2+ny2)≤(a-m)x2+(b-n)y2+cxy≤µ(mx2+ny2)，即λ(mx2+ny2)≤d-(mx2+ny2)≤µ(mx2+ny2)，由此即可求出mx2+ny2的最值.其中实数λ和µ的寻求方法是：由(a-m)x2+(b-n)y2+cxy≥λ(mx2+ny2)得(a-mλm)x2+(b-n-λn)y2≥-cxy，当a-m-λm≥0 且b-n-λn≥0 且c≤0 时，令当a - m - λm≥0 且b - n - λn≥0 且c≥0 时，令即可求得实数λ；由(a-m)x2+(b-n)y2+cxy≤µ(mx2+ny2)得(µm+ma)x2+(µn+n-b)y2≥cxy，当µm+m-a≥0 且µn+n-b≥0 且c≥0 时，令当µm+m - a≥ 0 且µn+n - b≥0 且c≤ 0 时，令即可求得实数µ.

我们不妨把上述方法称之为待定系数法，下面用这种方法来完成题目3-题目5：

在题目3 中，由条件等式可得1-(x2-y2)=5x2+5y2+6xy.假设存在实数λ使得5x2+5y2+6xy≥λ(x2-y2)，即(5-λ)x2+(5+λ)y2≥-6xy.当-5 ≤λ≤5 时由基本不等式得比较上述两个不等式的右边，令解得λ=4(舍去λ=-4).于是由5x2+5y2+6xy≥4(x2-y2)可得1-(x2-y2)≥4(x2-y2)，由此可求得x2-y2的最大值是(若取λ=-4，可以得到x2-y2的最小值是

在题目4 中，由条件等式可得5-(2x2+y2)=3x2-2y2-4xy.假设存在实数λ使得3x2-2y2-4xy≤λ(2x2+y2)，即(2λ-3)x2+(λ+2)y2≥-4xy.当时由基本不等式得√比较上述两个不等式的右边，令解得λ=2.于是由3x2-2y2-4xy≤2(2x2+y2)得5-(2x2+y2)≤2(2x2+y2)，由此可求得2x2+y2的最小值是

在题目5 中，由条件等式可得1-(x-y)2=3x2+3xy.假设存在实数λ使得3x2+3xy≥λ(x-y)2，即(3-λ)x2+(-λ)y2≥-(3+2λ)xy.当-≤λ≤0 时由基本不等式得比较上述两个不等式的右边，令解得时由基本不等式得(3-λ)x2+(-λ)y2≥令无解.于是由3x2+3xy≥得由此可求得x-y的最小值是

由条件等式可得1-(x+2y)2=3x2-3y2-3xy.假设存在实数λ使得3x2-3y2-3xy≥λ(x+2y)2，即(3-λ)x2+(-3-4λ)y2≥(3+4λ)xy.当时由基本不等式得比较上述两个不等式的右边，令3+4λ，解得于是由得从而x+2y的最大值是2.