聚驱定向井抽油杆柱力学模型及扶正器优化布置研究

(大庆油田工程有限公司，黑龙江 大庆163453)

随着国内大部分油田进入开发的中后期，聚合物驱抽油机井数量逐渐增加。聚驱井产出液的黏弹性使得抽油杆柱受到一个与井眼垂直的径向力，径向力与阻力、摩擦力共同作用，导致下冲程时中和点以下杆柱弯曲，造成杆管偏磨，特别是在具有一定斜度的定向井中，杆断、管漏等现象时有发生[1]。

朱君、常瑛、黄善波等人分别通过理论和试验方法，给出了聚驱井中抽油杆柱法向力的计算方法，并通过有限元法预测了杆管偏磨点的位置[2-4]；孙智等人通过室内试验，分析了聚驱井杆管偏磨机理，并提出了相应的防偏磨措施[5]；栾中伟、冯春、王超等人分别提出了一些防偏磨的配套措施[6-7]。研究认为，聚驱井中黏弹性的采出液会增加杆柱的法向力，加剧杆管之间的偏磨，但计算模型各异，计算结果也不相同，且对定向井中扶正器的布置方案研究较少。本文采用三次样条插值方法，预测任意井深处的井斜角与方位角参数，并建立杆柱的力学模型，分析抽油杆柱的受力情况，推导出抽油杆柱失稳间距方程，并通过MATLAB软件编程求解。

1 定向井井眼轨迹预测

设定在井轴方向[a,b] 长度上，定义一组测试点，井轴方向深度：a=x1

则有井斜角函数α1，α2，…，αN; 方位角函数β1,β2, …,βN。

井斜角函数和方位角函数均为沿井轴方向变化的函数。由三次样条函数的定义可知，能够将三次井眼样条函数S(x)和Q(x)(S(x)和Q(x)在[a,b]上)分别插值于井斜角α和方位角β的三次井斜样条函数和三次方位样条函数上，这2个函数统称为三次井眼样条函数[8-10]。

由三次样条函数性质，可将三次井眼样条函数S(x)和Q(x)表示为

(1)

(2)

其中：Mk=S＂(xk)，Mk-1=S＂(xk-1),mk=Q＂(xk)，mk-1=Q＂(xk-1)。

为了确定S(x)和Q(x)，必须求出Mk,mk(K=0,1,2,……,N)。

经推导，可以得到确定Mk,mk的线性方程组为

(3)

(4)

式(3)～(4)可以写成如下矩阵形式：

(5)

(6)

式(5)～(6)是三对角方程组，用"追赶法"求解，求出M1，M2…MN，和m1，m2…mN，代入式(1)～(2)，可求出[a,b] 井段上任意井深处的井斜角S(x)和方位角Q(x) ，从而确定井眼轨迹上任一点的空间位置。

2 定向井杆柱受力分析

由于斜井要考虑井斜、方位、狗腿角等因素，比较复杂，故将抽油杆划分为微元段进行分析。

假设井下抽油杆柱为柔性杆，不考虑抽油杆截面上的剪切力和弯矩，取任意井深处长为dl的抽油杆柱作为研究对象，其受力如图1所示。

图 1 任意微段抽油杆受力示意

1) 抽油杆柱所受的重力。

Pr=qgdl·cosα=ρrArgdl·cosα

(7)

式中：Pr为抽油杆柱沿轴向分布的重力，N；qg为单位抽油杆在空气中的重力，作用方向为垂直向下，N/m；ρr为抽油杆密度，ρr=7 850 kg/m3；Ar为抽油杆的横截面积，mm2，g为重力加速度，g=9.8 m/s2;α为该微元井段的井斜角，(°)。

2) 抽油杆柱所受的浮力。

Pf=qfdl·cosα=ρlArgdl·cosα

(8)

式中：qf为单位抽油杆在井液中所受的浮力，作用方向为垂直向上，N/m；ρl为井液密度，ρl=fwρw+(1-fw)ρ0，ρw、ρ0分别为水、原油的密度，kg/m3。

3) 抽油杆柱的惯性力。

(9)

4) 抽油杆柱与井液间的摩擦力。

(10)

5) 杆管间摩擦力。

Frt=fNrt

(11)

式中：Frt为杆管间的摩擦力，方向沿井轴方向向上，N；f为杆与管内壁间的摩擦因数，其值为0.05～0.1[11]；Nrt为杆管之间的法向接触力，N。

将杆管之间的法向接触力分解在互相垂直的2个平面上，其一为狗腿平面上，由轴向力和杆柱重力引起的侧向力N1，其二为由杆柱重力引起的侧向力N2。

(12)

(13)

油管与抽油杆间的挤压力为

(14)

式中：Pi、Pi+1分别为所选取的微元体上下两端轴向力；αi、αi+1、φi、φi+1分别为微元体的井斜角和方位角；β为狗腿的角度，cosβ=cosα1cosα2+sinα1sinα2cos(φ2-φ1)。

6) 抽油泵柱塞与衬套间的摩擦力。

(15)

式中：Ff为抽油泵柱塞与衬套间的摩擦力，作用方向沿抽油杆柱轴线向上，N；Dp为柱塞直径，mm；δ为柱塞与泵筒的间隙，由抽油泵标准可知，柱塞与泵筒间的配合间隙共有3个等级，为方便计算取其平均值0.053 mm[12]。

7) 井液流过游动阀时的水力阻力。

(16)

8) 泵充不满引起的液击载荷。

(17)

式中：cr、cl分别为声波在抽油杆和井液中的传播速度，取cr=5 200 m/s ，cl=400 m/s ；vs为柱塞与液面接触瞬间的速度，泵的充满度为50%时冲击力最大，取vs=vmax。

抽油杆柱在运动过程中主要承受2种载荷的影响：一种是作用在杆柱底部泵端的轴向集中载荷Pw，Pw=Ff+Fv+Py+Fcj；另一种为均匀分布在杆柱上的单位载荷，可分解为沿杆体作用的轴向均布载荷qx，以及垂直于杆柱轴线的径向均布载荷qy，qx=(qg-qf-qI)cosα-qrl，qy=(qg-qf-qI)sinα+f。

3 杆柱失稳模型

建立杆柱简支梁模型，取模型的任意一跨进行分析，如图2所示。

图2 考虑法向力及井斜影响的简支梁模型

模型中抽油杆的近似挠曲线方程为

(18)

式中：A1，A2，…，An为待定系数。鉴于三角级数求解精度极高，取n=1时的计算精度就能满足工程设计要求。

令：A1=A为挠曲线方程的近似解。

(19)

需满足的边界条件为

yi|x=0=0;yi|x=li=0;yi"|x=0=0;yi"|x=li=0

(20)

式(20)的一、二阶倒数分别为

(21)

(22)

由弹性稳定理论可知，轴向压力在位移δ上所做的功为

(23)

式中：A为抽油杆弯曲的最大挠度，m；Li为相邻两个扶正环间的距离，m；Pi为下端扶正环所受的轴向力，N。

轴向均布载荷沿杆柱轴向所做的功为

(24)

式中：qx为作用在杆柱轴向均布载荷，N/m。

横向均布载荷沿垂直杆柱轴向所做的功为

(25)

式中：qy为作用在垂直杆柱轴向方向上的均布载荷，N/m。

抽油杆弯曲变形增加的弹性应变能为

(26)

系统的势能为

(27)

(28)

相邻两扶正环间抽油杆的最大挠度为

(29)

为保证在抽油杆发生弯曲变形后不与油管产生接触，则扶正环间距应满足式(30)。

(30)

相邻两扶正环间抽油杆的失稳方程为

(31)

该模型研究的是中和点以下至泵端位置，若对中和点以上杆柱进行分析时，由于抽油杆处于受拉状态，则改变其受力方向，相应的失稳方程为

(32)

4 求解方法

斜井需要考虑由于井斜和方位因素引起的抽油杆与油管间的摩擦力，其受力计算满足P(i+1)=P(i)-qx×L(i)+Frt,代入抽油杆失稳方程逐次迭代，可得其余各简支梁的轴向压力Pi和长度值Li；由此确定第i个扶正器安放的位置，直至中和点。

利用前面的分析理论以及建立的数学模型编制程序进行求解，程序流程如图3所示。程序界面如图4。

图3 求解程序流程

5 斜井实例计算

大庆油田某采油厂6口定向井自井口开始计算，第1～3根抽油杆上每根杆布置1个扶正环，第4～11根每根抽油杆上布置3个扶正环，第12～23根抽油杆每根杆上布置4个扶正环，从第24根杆开始直至接泵杆以上位置每根杆布置3个扶正环。但据油田统计结果发现，该方案下抽油杆偏磨问题依然很严重，检泵周期最长不超过310 d。6口斜井基本参数如表1。

2016-08，针对现场提供的6口斜井数据进行扶正环优化计算，如表2所示。并按照表2进行了扶正器的重新布置，该6口井无故障工作时间已达630 d以上。

由表2可见，6口斜井优化后的扶正环数量平均减少率达到17.47%，扶正环的布置方案变化范围主要集中在4环杆位置处，各因素对扶正环布置的影响规律与直井相似。第1个4环杆为泵上接近泵端位置，第2个4环杆为造斜段位置，数量与造斜段跨度有关。

图4 程序界面

表1 6口斜井基本参数

表2 6口斜井扶正环优化配置方案

6 结论

1) 通过建立抽油杆柱的简支梁模型，分析了抽油杆柱的受力情况，推导出了考虑井斜因素下的抽油杆柱失稳间距方程，并利用MATLAB软件编制了相应的求解程序。

2) 对大庆油田某厂6口定向井进行了扶正器的优化布置，通过优化计算，扶正器的安装个数平均减少了17.47%，无故障工作时间大幅延迟。