粘弹性流体法向力作用下的抽油杆柱横向振动仿真

王树强，董世民，张 洋，位中达

(燕山大学机械工程学院，秦皇岛 066004)

随着油井含水率的升高，聚合物驱油技术大规模应用到了抽油机井中。与水驱井相比，聚驱井产出液含有一定浓度的聚合物，而聚合物溶液具有粘性和弹性双重效应。油井产出液的弹性和杆管环空的偏心导致抽油杆受到一个与其轴线相垂直的法向力，法向力的存在加剧了杆管偏磨[1-2]，导致了杆断管漏率增加和检泵周期显著下降等诸多问题。杆柱力学的研究是预防杆管偏磨的重要依据[3-4]，因此研究在粘弹性流体法向力作用下的抽油杆柱在油管内的力学行为具有重要的理论与实际意义。

杆管偏磨现象与抽油杆柱在油管内的弯曲变形有关。国内外专家学者从静力学和动力学两个方面对抽油杆柱在油管内的弯曲变形行为进行了大量研究。董世民等[5]基于杆管接触弹簧元分析方法，建立了抽油杆柱在油管内弯曲变形规律与接触压力的混合有限元仿真模型。狄勤丰等[6]以曲率半径法描述井眼轨迹的空间形态，通过有限元法实现了杆柱空间载荷以及变形状态的求解。YUE 等[7]基于能量法建立了井筒中细长杆柱屈曲临界载荷、接触力和摩擦阻力的计算公式。HUANG等[8]描述了带连接件的管柱在弯曲井筒中的挠曲行为，分析了弯矩和接触力的影响因素。ZHANG等[9]建立了三维弯曲井中管柱的屈曲模型以及临界屈曲载荷数学模型，并确定了管柱屈曲后与井筒的接触力。以上静力学研究建立了抽油杆柱在油管内的弯曲变形规律，给出了杆管接触力的计算方式。文献[10 - 17]基于不同的方法，建立了不同激励下抽油杆柱的动力学模型，研究了抽油杆柱在油管内的弯曲变形规律。文献[10 - 12]考虑井眼初弯曲以及油管对杆柱的约束，建立了抽油杆柱的纵横耦合振动仿真模型。文献[13 - 14]采用有限元方法建立了抽油杆柱非线性动力学模型，计算出了抽油杆柱在井下的径向变形和侧向力。王宏博等[15-16]综合考虑弯曲井眼以及交变轴向载荷对于抽油杆柱横向振动的激励，建立了具有初弯曲的抽油杆柱在弯曲井眼内的横向振动仿真模型。SUN 等[17]提出了基于屈曲位移激励下的铅直杆柱在圆筒内的横向振动仿真模型。与抽油杆柱的横向振动问题类似，WANG 等[18-19]应用有限元、能量法与哈密顿原理建立了油管的纵横耦合振动仿真模型，并采用 Newmark 法实现了数值求解。在以上研究中，抽油杆柱横向振动的激励可概括为：1) 抽油杆柱在交变轴向载荷激励下产生横向振动，即交变轴向载荷是抽油杆柱横向振动的激励，交变轴向载荷激励抽油杆柱横向振动的实质是交变轴向载荷导致抽油杆柱横向振动的几何抗弯刚度随时间变化，属于参数激励的非线性振动问题[20-21]；2) 抽油杆柱与油管的间断接触碰撞对抽油杆柱横向振动的激励；3) 下冲程底部受压段的抽油杆柱屈曲位移对抽油杆柱横向振动的激励。

对于聚合物驱抽油机井，当抽油杆柱在粘弹性流体井筒内偏心运动时，杆柱将受到粘弹性流体法向力的作用。尽管文献[1 - 2]建立了井筒内抽油杆柱所受粘弹性流体法向力的计算模型，但所建立的计算模型仅适用于偏心距已知的情况，而没有深入研究在实际井筒内如何确定杆柱的偏心距。抽油杆柱所受粘弹性流体法向力不仅和抽油杆柱瞬时轴向运动速度有关，而且和杆柱瞬时弯曲变形有关，从而导致杆柱所受分布横向力随时间变化，并是杆柱横向振动的主动激励力。目前关于粘弹性流体法向力激励的抽油杆柱横向振动研究未见文献报道。本文拟将抽油杆柱所受交变粘弹性流体法向力作为横向振动的激励，考虑抽油杆柱所受粘弹性流体法向力与抽油杆柱横向振动位移的耦合关系，建立粘弹性流体法向力作用下的抽油杆柱横向振动仿真模型，分别以抽油杆柱初始偏心、空间屈曲构型作为初始条件，实现对抽油杆柱在井筒内横向振动规律、杆管接触碰撞随时间变化规律的仿真。

1 抽油杆柱横向振动力学模型

为便于研究，同时突出本文研究重点，做如下假设和简化：

1) 井筒为铅直井筒；

2) 抽油杆柱为均质单级杆；

3) 不考虑杆柱弯曲和扭转对抽油杆柱纵向振动的影响，基于波动方程仿真抽油杆柱的轴向载荷、轴向分布载荷与泵端集中轴向力，为抽油杆柱弯曲振动分析提供环境载荷；

4) 不考虑抽油杆柱纵向振动和扭转振动对横向振动的影响；

5) 将抽油杆柱简化为欧拉梁；

6) 粘弹性流体为各向同性不可压缩流体，在偏心环空中做定常等温层流流动。

1.1 力学模型

基于上述假设，建立受粘弹性流体法向力作用的抽油杆柱横向振动力学模型，如图1 所示。图1(a)为杆柱的横向振动力学模型，图1(b)为杆柱的微元受力图。

图中抽油杆柱顶端的横向位移受到井口约束，简化为固定端；抽油杆柱底端的横向位移受到泵筒约束，简化为可滑动的固定端。以井口作为坐标原点，抽油杆柱轴线上任意一点的位置用井深坐标x表示。任意时刻t抽油杆柱所受环境载荷包括：作用于抽油杆柱底端的交变轴向载荷P(t)，以拉力为正；井深x处单位长度抽油杆柱所受的轴向分布载荷qx(x,t)；设井深x处抽油杆柱的偏心率为ε(x,t)，单位长度抽油杆柱所受的粘弹性流体法向力为qr(x,ε,t)；单位长度抽油杆柱所受的液体粘滞阻尼力为fr(x,t)。

1.2.1 泵端集中轴向载荷计算模型

抽油杆柱底端的集中轴向载荷P(t)由柱塞所受液体载荷Pl(t)和柱塞与泵筒之间的液体摩擦载荷Pf(t)两部分组成[22]：

柱塞所受液体载荷由柱塞上、下表面的压差产生，计算公式为：

式中：Ap/m2为抽油泵柱塞横截面积；pd/Pa 为抽油泵的排出压力；p/Pa 为泵筒内液体压力；Ar/m2为抽油杆柱的横截面积。

柱塞与泵筒之间的液体摩擦载荷可以通过缝隙理论推导得出

式中：Lp/m 为抽油泵柱塞的长度；D/m 为抽油泵柱塞的直径；δ/m 为抽油泵柱塞与泵筒之间的径向间隙；μl/(Pa·s)为流过阀隙井液的动力粘度；vp/(m/s)为抽油泵柱塞的运动速度；ε0为偏心度，ε0=e0/δ；e0/m 为柱塞与泵筒之间的偏心距。

1.2 环境载荷计算模型

1.2.2 抽油杆柱轴向分布载荷仿真模型

抽油杆柱轴向分布载荷包括：单位长度抽油杆柱自重、液体粘滞摩擦力、杆柱纵向运动的惯性载荷以及杆柱纵向振动的振动载荷。通过波动方程描述抽油杆柱的纵向振动[22]：

式中：U(x,t)/m 为抽油杆柱任意截面x在时刻t相对于上死点的位移；c/(m/s)为声音在抽油杆柱中的传播速度；υ/(1/s)为油井液体对抽油杆柱的阻尼系数；g/(m/s2)为重力加速度；U*(t) /m 为悬点在时刻t相对于上死点的位移；E/Pa 为杆柱材料的弹性模量。

应用有限差分法求解纵向振动仿真模型可以确定轴向载荷Px(x,t)以及轴向分布载荷qx(x,t)：

1.2.3 粘弹性流体法向力计算模型

通过大量实验表明，含聚流体作用在杆柱的法向力主要与偏心度、流速及含聚浓度有关。运用试验结果，得到工程比较适用的法向力计算公式[23]：

式中：qr(x,ε,t)/(N/m)为单位长度的法向力；ε 为偏心度，ε=e/(R-r)，e/m 为偏心距，R/m 为油管内半径，r/m 为抽油杆半径；η/(mg/L)为聚合物浓度，式中各项分别对应浓度为(0～100)，(100～200)，(200～400)， (400～600)， (600～800)， (800～1000)；vf/(m/s)为杆液相对运动速度。

2 抽油杆柱横向振动数学模型

2.1 抽油杆柱横向振动方程

设任意时刻t，井深x处抽油杆柱的横向振动位移为u(x,t)和w(x,t)。通过微元受力分析，抽油杆柱微元段在xou平面内的动力平衡方程为：

式中：ρ/(kg/m3)为抽油杆柱材料密度；μ/(N·s/m2)为液体粘滞阻尼系数；I/m4为抽油杆柱的抗弯惯性距；qru(x,ε,t)、qrw(x,ε,t)分别为作用在杆柱上的粘弹性流体法向力在u和w方向上的分量。

在线弹性变形假设下，弯矩和挠度的关系可以表示为：

同理，可以得到抽油杆柱在xow平面内的横向振动微分方程：

抽油杆柱顶端的横向位移和角位移受到井口约束，可以将杆柱的顶端简化为固定约束；抽油杆柱底端的横向位移和角位移受到泵筒约束，可以将杆柱的底端简化为可滑动的固定约束。抽油杆柱两端的边界条件为：

聚合物抽油机井杆管环空的偏心是产生粘弹性流体法向力的必要条件之一。本文将分别以抽油杆柱的初始偏心和空间屈曲构型作为初始条件激励，研究粘弹性流体法向力激励的抽油杆柱受迫振动。并假设悬点位于下死点。则抽油杆柱横向振动的初始条件可以表示为：

2.2 边界条件

2.3 初始条件

2.4 杆管碰撞条件

抽油杆柱仿真节点的横向位移超出油管边界时，杆柱与油管发生碰撞，因此杆管碰撞条件可以表示为：

抽油杆柱与油管发生碰撞后相应节点落在油管内壁上，采用t+表示碰撞后，t-表示碰撞前，则抽油杆柱与油管发生碰撞后相应节点的位置：

将节点速度v分解为沿油管内壁法线方向的径向速度vn和切线方向的切向速度vτ，γi表示碰撞恢复系数，其值取决于碰撞体的材料[24]，抽油杆柱与油管发生碰撞后相应节点的速度：

由于碰撞过程中碰撞力的瞬时值是难以确定的，本文采用冲量的改变作为碰撞力的度量。假设在Δt[25]时间内杆管完成碰撞，由冲量定理可以获得碰撞时间内的碰撞力：

3 横向振动仿真方法

本文采用数值方法求解抽油杆柱轴向载荷计算模型和横向振动仿真模型，通过有限差分法离散空间变量x，通过Newmark-β 法离散时间变量t。

将抽油杆柱沿轴线离散成n个单元，各单元具有相同步长Δx。采用中心差分形式处理偏微分方程中位移关于x的各阶导数，并将边界条件进行差分处理。

采用Newmark-β 法对时间t进行离散：式中：α 和β 是按积分精度和稳定性要求进行调整的参数。本文取α=0.5，β=0.25，此时仿真精度较高，稳定性好[26]。

由式(23)可以得到t+Δt的速度和加速度的表达式，即：

通过求解振动微分方程的离散形式式(27)，可以得到t+Δt时刻的抽油杆柱的横向振动位移，然后，由式(24)可以得到对应节点的速度和加速度。

4 仿真实例与分析

仿真基本参数：抽油杆柱直径为22 mm，抽油杆柱长度为1000 m，抽油杆柱密度为7860 kg/m3，抽油杆柱弹性模量为209 GPa，接箍外径为46 mm，油管内径为62 mm，阻尼系数为0.2 N·s/m2，抽油机冲程为3 m，冲次为6 min-1，油井产出液聚合物浓度为300 mg/L，碰撞恢复系数为0.56，单次碰撞时间为0.03 s。

通过抽油机机构运动分析，可以得到悬点位移规律，并由本文1.2 节中抽油杆柱轴向分布载荷仿真模型可以得到杆柱轴向力分布情况，如图2(a)、图2(b)所示。

下面分别研究抽油杆柱在初始偏心与屈曲构型激励下的横向振动规律。

4.1 抽油杆柱初始偏心激励下的横向振动

杆管环空的偏心是产生粘弹性流体法向力的必要条件之一，偏心度的大小对于粘弹性流体法向力起到决定性的作用。本文通过给定抽油杆柱一个整体偏心和局部偏心，研究初始偏心条件下粘弹性流体法向力激励的抽油杆柱横向振动规律。抽油杆柱偏心示意图如图3 所示。式(28)、式(29)分别为抽油杆柱整体偏心初始条件和局部偏心初始条件公式。取偏心度ε 分别为0.25、0.50、0.75，开展初始偏心条件下粘弹性流体法向力激励的抽油杆柱横向振动规律仿真。

图4 和图5 分别绘制了不同偏心度条件下杆柱横向位移随井深的变化规律。图中给出了时间为2 s、5 s 和9 s 时杆柱横向位移随井深的变化曲线。

由图4 和图5 可以看出：1) 存在偏心的杆柱由局部杆管接触然后缓慢延伸至几乎全井接触；2) 随着杆柱偏心度的增大，杆管接触的发生时间提前；3) 杆柱顶端数十米由于边界条件的限制，不会发生杆管接触；4) 由于粘弹性流体法向力的存在，杆柱与油管的接触点几乎存在于全井范围内。

综上所述，由于粘弹性流体法向力的存在，无论抽油杆柱存在整体偏心还是局部偏心，都会导致杆管偏磨现象几乎在全井范围内都有发生，因此有必要采取全井布置扶正器的策略。

4.2 抽油杆柱初始屈曲构型激励下的横向振动

抽油杆柱在下冲程运行过程中，随着杆柱受压载荷的不断增大，杆柱会产生空间屈曲，同时会受到指向窄间隙侧的法向力，粘弹性流体法向力激励整体杆柱产生横向振动。本节，基于1.2 节抽油杆柱轴向载荷计算模型，考虑油管内壁对于杆柱上接箍节点的影响，基于文献[27]中抽油杆柱屈曲构型仿真方法，建立整体抽油杆柱在油管内的屈曲构型，将该屈曲构型作为杆柱横向振动的初始位移条件，研究粘弹性流体法向力作用下的抽油杆柱横向振动规律。整体抽油杆柱空间屈曲构型如图6 所示。

4.2.1 碰撞力变化规律

图7(a)绘制了第3 个周期内碰撞力随井深和时间的变化规律；图7(b)、图7(c)绘制了37.5 s时不同井深处杆体节点和接箍节点碰撞力的变化规律。由图7 可以得到：1) 碰撞力沿全井都有分布，在每个运动周期内，下冲程的杆管碰撞最剧烈，且在泵端附近碰撞力最大；2) 抽油杆柱上冲程同样存在杆管碰撞现象，但碰撞点相对较少，碰撞力也较小；3) 杆体与油管的接触碰撞主要集中在距泵端940 m 以下位置，在940 m 以上位置杆体与油管几乎无接触；4) 接箍与油管的接触碰撞在全井均有分布，且在泵端附近碰撞最剧烈，随着节点上移，碰撞力减小。

分别对比了不同井深位置处杆柱节点和接箍节点在10 个周期内的碰撞力分布规律，如图8 所示。由图8 可以看出：1) 杆体与油管壁的接触碰撞主要存在于下冲程，且碰撞力随着井深增大而增大；2) 接箍与油管壁的接触碰撞在接近泵端位置主要集中在下冲程，上冲程碰撞节点较少，且碰撞力较高。随着节点上移，上下冲程内节点碰撞均很密集，且碰撞力随之减小。

综上所述，杆管碰撞现象在全井全周期范围内都存在；杆体节点与油管壁的碰撞主要集中在泵端附近，且主要发生在下冲程；接箍节点与油管壁的碰撞沿全井都有分布，且上下冲程均存在密集碰撞现象。因此目前全井均匀布置扶正器的防偏磨措施是不科学的，需要根据杆管接触力优化配置扶正器。

4.2.2 横向振动规律

对比了不考虑粘弹性流体法向力和考虑粘弹性流体法向力时抽油杆柱的节点振动情况。图9为杆体节点分别在500 m、796 m 和948 m 处的横向位移规律曲线，图10 为接箍节点分别在504 m、800 m 和952 m 处的横向位移规律曲线。

由图9 和图10 可知：1) 抽油杆柱在各井深位置处均存在杆管碰撞现象；2) 杆体节点与油管壁的接触碰撞存在于油井底部，而接箍节点在各井深位置均存在与油管壁的接触碰撞；3) 不考虑粘弹性流体法向力时，抽油杆柱的振动主要集中在井眼中心处；4) 由于指向窄间隙侧粘弹性流体法向力的存在，杆柱与油管壁的接触碰撞更加频繁。井深504 m 处接箍节点与油管的接触偏向一侧，而800 m 处由于抽油杆柱下端屈曲的原因，抽油杆柱与油管在各个方向上均有接触，但相较于不考虑粘弹性流体法向力的情况，碰撞点更加密集，杆管碰撞现象明显加剧。

5 结论

聚驱井中粘弹性流体法向力的存在是加剧杆管偏磨的重要因素，本文基于抽油杆柱粘弹性流体法向力计算模型，考虑抽油杆柱所受粘弹性流体法向力与抽油杆柱横向振动位移的耦合关系，建立了抽油杆柱在油管内的横向振动仿真模型。采用有限差分法和Newmark-β 法综合计算，考虑杆管间的碰撞效应，实现了对粘弹性流体法向力作用的抽油杆柱在油管内的横向振动仿真。通过实例分析得到如下结论：

(1) 杆管碰撞现象存在于全井范围内，其中杆体节点与油管壁的碰撞主要集中在泵端附近，接箍节点与油管壁的碰撞沿全井都有分布。

(2) 下冲程杆管碰撞更为剧烈，且泵端附近碰撞点最为密集，碰撞力最大，随着节点上移，碰撞力减小；上冲程同样存在杆管碰撞现象，碰撞点主要是接箍节点，且碰撞力较小。

(3) 由于指向窄间隙侧粘弹性流体法向力的存在，抽油杆柱与油管壁的接触碰撞更加频繁，加剧了杆管偏磨。

(4) 聚驱井中全井布置扶正器有助于预防杆管偏磨，但目前均匀扶正器配置方法是不科学的，有必要根据杆管接触力优化配置扶正器，本文所建立的粘弹性流体法向力作用下的抽油杆柱横向振动仿真模型对于杆管偏磨分析、扶正器的优化配置具有指导作用。

(5) 本文为直井中的抽油杆柱横向振动规律分析，在弯曲井眼中，受井筒弯曲、接箍与扶正器局部径向支撑以及重力横向分力的综合影响，抽油杆柱发生弯曲变形，并导致杆柱在井筒内处于分布式接触—悬空的偏心状态，因此，抽油杆柱在弯曲井筒内的横向振动规律仿真需要进一步研究。