认知计算工具在小学数学方程学习中的应用

◎程应军

在解小学数学教育中的一次多项式方程时，教师普遍采用“从方程的一边移到另一边的，‘移动项’”的思想：在加法方程中若要使相加相等，要将相等的量相加到方程的两边，而对于乘法，将两边乘以相同的值以保持相等——利用天平辅助解决方程问题显得非常有用。所以，将解方程作为一种解决平衡问题的教学策略并与计算机技术相结合，用认知计算工具来代替传统的数学练习中的平衡是非常必要的。

一、认知计算工具的工作原理

认知计算工具遵循建构主义理论的原则，通过物理的、逻辑的、数学的、和社会的经验来帮助建构知识。认知计算工具作为一种教学资源的工具受传统天平的启发，是一种虚拟的天平。认知计算工具中两个板块之间的平衡将代表这个方程，当学生在虚拟天平上放置一个“重量”或从虚拟天平中移除一个“重量”时，其结果将是对虚拟对象的物理操作。当学生看到天平不平衡时，他们重新建立平衡的补偿动作具有比具体意义更多的理论意义。这更多的是一个假设的行动或对可能性的陈述，而不是一个具体和真实的行动，这是典型的构建数学逻辑的数学思维过程。

社会经验是由具有平衡或不平衡观念的文化中介作用的计算工具、作为知识促进者的教师干预和通过学生之间的交流或对话构成的。社会互动是人的本性，学生之间的对话即使在单独使用工具时也会发生。认知计算工具可以预先建立一个问题，然后清楚地提供解决问题所需的任务（通过小学生对电脑的三维天平模型的操纵），帮助小学生完成有目的的操作过程（通过对结果的部分可视化）。当学生参与所有四个水平（问题水平、任务水平、操作水平和行动水平）相关的活动时，更有利于他们完成学习任务。还考虑到虚拟天平的每一种状态都是学生不同操作的结果。因此，虚拟天平的每一种情况都被理解为先前在天平的两块板上引入的“权重”或等式和不等号的相加和相减的结果。

方程的解是平衡状态下的虚拟天平，其中一个板的重量对应于变量‘x’，另一个板的‘重量’对应于一个数值常数。平衡状态指示最初给予学生的方程式变量的值。因此，在解方程的过程中，学生的行为将不再是物理的，将不再依赖于虚拟的平衡。这些行为，可以解释为在虚拟平衡的帮助下建立的假设——演绎思维的结果。

二、认知计算工具的优势

1.通过提供与问题的直接接触和允许与对象的交互，计算工具改变了学生的行为 学生们从观察的立场转变为参与的立场。直接参与这项活动，通过身体活动，帮助学生在学习中发挥积极和互动的作用。交互学习帮助学生从被动的知识接受主体转变为主动学习的主体，并对自身的发展负责。而传统的教学活动因为需要在完成活动时保持一贯的准确，只有教师与教授活动有直接联系，老师必须小心地操纵天平上的物体，学生观察平衡和不平衡的天平，把天平变化的过程和结果记录在他们的笔记本上。因为小学生没有直接参与实验，而且老师要求小学生注意并保持沉默，这些都不利于学生之间产生有益实现教学目的的相关对话。认知计算工具允许的互动和学生在一台计算机上成对工作，使学生在教学活动期间走到一起，并在完成活动的团队精神和双重责任的鼓励下，为他们之间的学习交流创造了一个环境。学生轮流求解方程：一个学生从平衡的右侧解决不平衡问题，另一个学生从左侧解决不平衡问题。学生之间的差异并不妨碍活动的完成，反而能让学生以积极的方式接受分歧——学生们开始通过倾听建议或向搭档提出问题来进行交流。合作工作唤起了小学生对其他学生学习的关注。能力较强的学生在解方程时，甚至在操作计算工具时，对能力较差的学生起到直接指导的作用。面对错误，经常会听到一个学生问另一个学生：“你从天平左边移去了‘x’，现在天平不平衡了”，“点击这里”，“在视觉面板中的方程式显示，我们从右侧删除了‘重量’”，“我们现在该怎么办？”，“天平上的灯是绿色的，我们能继续吗？”，“你想让我再解释一遍吗？”。对学习有意义和积极影响的活动包括与他人交谈和教别人。在这种情况下，学生的学习是积极的。大多数人能学会70%的与他人交谈的东西，80%的在现实生活中使用和做的东西，90%的教给别人的东西。在用认知工具解方程组的过程中，很少有人质问老师，因为“‘教’是最好的‘学’”。

2.将实验与操作、可视化和推理结合起来，使用计算工具来解决现实世界中的问题，可以交换意见和整合不同的观点 认知的成长只来自于主体对客体的具体或抽象的行动。这与学生在纸上解决问题时所发生的情况不同。虽然学生可以在成对中讨论写在纸上的内容，但他们不能通过实验来操纵和可视化。计算工具的视觉面板中的反馈在方程求解的每一步都显示了部分结果，使学生能够检测错误并对后续操作进行回复等。这导致了不同的学生采用不同的路径来求解一个方程。关于后续行动的决定在不同的成对之间是不同的。有些对从操作“权重”开始求解，而另一些对则从变量“x”开始，一些操作对象位于天平的左侧，另一些则位于天平的右侧。对于随后的决定，学生之间并不总是有一致的意见。因此，通过交互学习，学生可以完善一次多项式方程的求解过程。

3.计算工具的操作过程为唤醒小学生的学习动机、互助合作的责任心和教学活动的协调性，提供直接的实验 两个使用同一台计算机的学生促进了他们之间的接近，并唤醒了他们的沟通、谈判、合作、交流、讨论和互惠等品质。这些方面都体现在皮亚杰和维果茨基的建构主义理论中。这就让教师在数学教育中担当起促进者的角色。计算工具既能使教育现代化，又能激发学生的求知欲。利用教学资源构建知识涉及到学习过程中固有的概念。因此，使用认知计算工具来求第一次方程也会对这些问题产生影响。虽然传统的使用天平的方程教学确实降低了学生在学习过程中仅仅是旁观者的可能。但计算机的认知计算工具，可以使学生更积极的参与到教学过程中。

总结：认知计算工具与传统的天平相比，计算工具没有需要校准以表示平衡概念的机制，而且，学生的直接参与有助于他们接近问题、操纵物体和观察其行动的效果，却不影响平衡的准确性。这些因素保证了学生的参与，从而使学生能够完成实际的数学练习。活动的直接完成激发了学生积极有效的参与，这种参与是动态的，揭示了每个学生的局限性和可能性。学生不再是观察家，而是从听者转变为实际教育活动的参与者。熟悉的工具外观和现实水平的练习允许身体上的互动，使学生更接近问题。成对使用这一工具可以促进学生之间的交流。由于认知计算工具使互动成为可能，它鼓励一些学生使用逻辑数学过程解决最后的方程，而不必操纵平衡上的虚拟对象。直接参与活动，工具允许的互动，方程的教学顺序和现实的外观有助于学生的动机和对活动的参与。视觉面板中的实时反馈及其对学生动作的表示鼓励了对所执行的动作和求解方程所需的后续动作的重新选择、讨论和协商。学生们不再通过反复试验来解方程组了。因此，教学变得更加动态。使用这一工具使学生在一种鼓励对话与合作的环境中聚集一堂，并使他们认识到在规定的时间内完成活动的责任。实验、操作、可视化和推理的结合唤醒了人们对他人学习的关注。通过学生间知识的互易性，改进了一次方程求解的过程，为一次方程的求解提供了一种新的思路和方法。