陆勇平
(福建省泉州外国语学校 362000)
解法1 如图所示,设椭圆的另一个焦点为F1,连结AF1.
∵△AOF2为正三角形, 设|F1F2|=2c>0,
∴|OF1|=|OF2|=|OA|,
由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a,
解法2 设|F1F2|=2c>0,
又∵b2=a2-c2,
∴c4-8a2c2+4a4=0.
同除以a4可得e4-8e2+4=0,
点评解法1利用圆锥曲线的定义求解,同时渗透平面几何知识是求圆锥曲线的离心率的常用方法,应优先考虑该方法.解法2利用点在曲线上得到a,c的齐次方程,再同时除以a4,转化为关于离心率e的方程,从而求出e,这种方法是求解离心率的本质,但计算量较大.
∴3c4+4a2c2-4a2≥0,即3e4+4e2-4≥0,
解法2 同解法1可证当点P位于短轴端点时,∠APB最大.
∴a2≥3b2,即a2≥3(a2-c2),
解法1 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),
由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos120°=m2+n2+mn即4c2=(m+n)2-mn,∴4c2=4a2-mn,
解法2 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),
由余弦定理及椭圆定义可得
当且仅当m=n时等号成立,此时cos∠F1PF2取最小值, ∠F1PF2最大,点P在短轴端点.
∴c2≥3b2即c2≥3(a2-c2),
解法1 如图, 设F1为双曲线的右焦点,P为双曲线第一象限上的点.
∵M为线段PF2的中点,O为F1F2中点,且|OF2|=|F2M|=c,|PF2|=|F1F2|=2c.
由双曲线的定义可知|PF1|=|PF2|+2a=2a+2c.
OM为△PF1F2的中位线,∴OM∥PF1,
点评解法1利用等腰三角形(或余弦定理)确定三角形各边的关系,再巧妙利用双曲线的定义构建a,c的关系,这是离心率求值的常用方法.解法2设出点P的坐标后代入双曲线方程,构建a,c的关系去求离心率的值,这种方程思想在解题中经常用到,但计算量较大.解法3结合双曲线的定义,巧妙地利用正弦定理把各边的比转化为各角的正弦值的比,这种方法更加简捷.
解法1 如图,取PF2中点M,连接OM.
又∵O,M分别是F1F2,PF2的中点,∴OM∥PF2,∴PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形.
设|PF1|=4k,|PF1|=3k(k>0),
∴|F1F2|=5k.
∴△PF1F2为直角三角形,PF1⊥PF2.
接下来同解法1可得e=5.
评点解法1利用向量的线性运算得出△PF1F2为直角三角形,再结合双曲线的定义,巧妙地利用正弦定理把各边的比转化为各角的正弦值的比,这种方法简捷、灵活.解法2利用向量的线性运算,把向量用相同的基表示,得出△PF1F2为直角三角形.
又∵点P在椭圆上
又∵P为椭圆上一点,∴b2≤3c2≤a2.
解法1将数量积用坐标表示后转化为圆的方程的形式,巧用圆与椭圆交点结论求解,把向量问题转化为不等式问题,对学生综合分析问题的能力要求较高.解法2利用向量的线性运算把向量用相同的基表示,得出椭圆上点到原点的距离,再利用距离的有界得出不等式,这是处理离心率范围问题的常用方法.解法3将数量积用坐标表示后转化为有关横坐标x0的关系式,并利用x0的有界性求解,对学生的综合分析能力和运算能力要求都较高.