蔡海涛
(福建省莆田第二中学 351131)
圆锥曲线中的定点、定值问题在高考中频频出现.这类问题往往是某些几何量(线段的长度、图形的面积、角度、直线的斜率)的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关,不随参数的变化而变化,是一个不变的定量.求解这类问题常常有两条途径,一条是从特殊情况入手,发现特点,猜测出定点或定值,再通过观察规律证明一般性情况,体现从特殊到一般的认识过程.另一条途径是从变量中寻求不变,即先用变量表示要求的量或点的坐标,再通过推理计算,得出这些量或点的坐标和变量无关,是一般到特殊的推理过程.这两条途径相得益彰,也是数学研究中常用的特殊与一般的重要思想方法.
定点问题即曲线系(或直线系)过定点的问题,反映的是数学对象的本质属性,如圆锥曲线的某些特有性质.其本质是:当动曲线变化时,这些曲线相交于一点.
(1)求椭圆E的方程;
下面我们证明对于一般的直线l:y=kx+1,Q(0,2)也满足题意.
评析第(2)问,若没有根据特殊情况入手,探究出Q点坐标,解题将面临求解线段长或是线段比的繁杂运算而难以进行下去.而求出Q(0,2)坐标之后,证明则简单了许多,只须证明y轴为∠AQB的角平分线即可,再转化为kQA=-kQB进行坐标化,问题不难得以解决.在这里,从特殊探路在解题中起到关键的作用.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,
由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.
由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.
评析(2)问直线过定点问题,思路是把直线的方程设为y=kx+m,再利用已知条件寻找k,m间的关系,从而得到直线l只含有一个参数,令参数的系数为0,则得到定点坐标. 一般地,若是其他曲线过定点,常将曲线中的参变量集中在一起,令其系数为0,求得定点.
定值问题即在动点运动过程中,由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以 ∠AOB的大小为90°.
评析(2)问通过特殊情形探索出定值是多少,然后进行一般性计算或证明.通常探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石,从特殊角度入手常常也是解决选择填空中定值问题的常用策略.
例4 (2018年高考北京卷·理19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
解(1)直线l斜率的取值范围是(-,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(过程略)
所以