立体几何中的动态题

王苏文

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

动态题是立体几何中的常见题型，但此类问题对部分学生而言有一定的难度，有时往往望而却步，笔者通过几例动态题分享处理此类问题的常见策略.

一、由动变定

图1

动态题最大的难点是不断变化，假如能抓住这个变化问题的规律，找到所求问题的关键位置，那么问题就可迎刃而解了.

例1 如图1，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为45°，顶点B在平面α内的射影为点O.当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于( ).

从题中可看出，实际为△ABC绕边BC旋转，要想O、A两点距离为最大，只需面BOC与面ABC共面即可.

图2

图3

本题运用传统法或空间直角坐标系来求解有所困难，而空间基底向量也是解决这个问题的又一亮点.

例2 如图3，棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是( ).

本题的运动变化是面ACC1A1中的线AC绕点A在面ABCD内运动，要想使点C1到平面α的距离最大，实际只需点C到面α的距离最大即可.原题变为：在面ABCD内点C到面α距离最大.

图4

上述两题充分利用旋转规律找到最佳位置，即动态题转化为固定位置题，从而实现由动变定的转化.

二、由几何变代数

立体几何动态题的最大障碍是变化不定，假如能将几何问题转化为代数问题，何尝不是一种好的策略.

例3 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值为( ).

A．30° B．45° C．60° D．90°

作为常见几何图形长方体，建立坐标系是一种不错的选择.

图4

图5

例4 如图5，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E,F分别为AB,BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为.

上述动态题充分利用代数优势将几何问题代数化，体现出数与形的完美演绎，从而实现由几何变代数的转化.

三、由空间变平面

由于缺乏空间想象能力，要完成空间问题的求解实在有点困难，假如能将空间问题变为平面问题，那将柳暗花明又一村.

例5 如图6，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E,F分别是棱AD,BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点O的轨迹是( ).

A.一条线段 B.一段圆弧

C.抛物线的一部分 D.一个平行四边形

本题属于双几何(立体几何中的平面几何知识)试题，曾风靡一时，依靠空间问题能力去转化有点困难，不妨转化为平面几何进行处理.

图6 图7

解取AB中点为M，在面ABCD中作EG∥AB交BC于G，连FG，取FG中点为N，则四边形OMBN为平行四边形，则MO∥BN.在面BCP中作CH∥GF交BP于H，取CH中点为K.因为AE=2BF，所以BG=2BF，显然△BGF与△BCH相似，即点N必在BK上.故O在平行于直线BK的直线上.选A.

图8 图9

由于本题为折线段之和，其最常见的处理方法为展开成平面图形进行计算.

在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面

BC′P，使之与平面ABP共面，如图9所示．当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，此时E为PB的中点.

上述动态题充分利用平面几何中的各种性质优势将问题迎刃而解.

解决动态题的常见策略为由动变定、由几何变代数、由空间变平面，通过处理构造出参数间关系，从而将此类难题予以一一破解，本文也借此抛砖引玉.