立足核心素养，雕琢数学课堂

何晓丽 郭海萍

【内容摘要】核心素养是当代课程改革与发展的灵魂，教师是新课程推行的主体，课堂是教书育人的主要阵地，教师应将“学生为本”的理念与教学实际有机结合，培养并提升学生的核心素养。笔者结合《球的体积和表面积》的教学实际，谈谈自己在优化课堂教学过程中的实践与思考。

【关键词】核心素养 数学文化 生活实例 探究学习

核心素养是当代课程改革与发展的灵魂，旨在培养适应社会需要的全面发展的人。《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》指出：课程改革的深化“将提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践”[1]。高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析[2]。教师应将“学生为本”的理念与教学实际有机结合，将核心素养的培养落到实处。笔者结合立体几何中《球的体积和表面积》的教学实际，谈谈自己在优化课堂教学过程中的实践与思考。

一、弘扬数学文化，培养家国情怀

中华民族的文化博大精深，数学文化更是灿烂的瑰宝，在古代数学发展的历史长河中涌现出许多杰出的数学家，如刘徽、祖冲之、秦九韶、杨辉等，他们的丰功伟绩为推动数学发展做出了巨大的贡献。老师在课堂中应充分利用数学文化的宝贵资源，为学生展现他们严谨务实、坚韧执着的治学态度，让他们的敬业品质和民族精神给学生以心灵的触动。

【教学实例】由于球的体积和表面积公式在推导证明上比较繁琐，学生在理解掌握上也比较困难，根据《数学课程标准》要求，学生了解即可，但对其中所蕴含的数学文化和思想的体会，对学生来说却是难得的机会，因此在授课过程中笔者作了如下处理。

问题：我们回顾了柱体、锥体、台体的体积和表面积公式及其推导，球既没有底面，也无法展成平面图形，那么，要怎样求球的体积和表面积呢？

对体积问题，学生提出了自己的想法——排液法，“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。”借助曹冲称象之法，取一容器，放入小球，则排开的液体体积即为小球体积。老师首先肯定了同学们的想法，同时也指出局限性，排液法可操作性不强且没有广泛的应用性，每次测量都要取容器何其麻烦，测量较大的球体如星球则容器无处可寻，这时，老师介绍祖暅原理——“幂势既同，则积不容异”，同时不失时机地说：“它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但祖暅原理是在独立研究的基础上得出的，且内容更丰富，涉及的问题更复杂。17世纪，意大利数学家卡瓦列里在1635年出版的《连续不可分几何》中提出了等积原理，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。”

老师结合教材内容，在课堂中介绍与所授知识有关的数学家、名言、故事等，展示丰富的数学文化，能让学生在潜移默化中接受熏陶，增强民族自豪感，不但有利于培养学生思考问题的积极性，更重要的是通过人格品行的教育，激发学生的求知欲。

二、活用生活实例，灵动教学课堂

数学来源于生活，服务于生活，生活为数学提供了丰富的素材，教师要善于利用生活，就地取材，化腐朽为神奇，激发学生的兴趣，帮助学生冲破思想的难关。

【教学实例】老师以问题形式引导学生推导球的表面积公式：球面不能展开成平面图形，所以球的表面积无法用展开图求出，那么，要如何推导球的表面积公式呢？

老师结合课件进行回顾：“我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后重新拼接，把一个圆近似看成边长分别是R和

R的矩形，当所分的份数不断增加时，精确度就越来越高;当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式。”圆面积的推导过程体现了分割、求近似和、化准确和的极限思想，学生自然而然地联想到要对球进行分割，设想一个球由许多顶点在球心，底面在球面上的“准锥体”组成，那么问题来了，平面的近似可以理解，立体的分割却不易接受，这时，老师话锋一转：“同学们对学校的田径场相当熟悉吧，我们平常都把田径场近似地看成一个平面四边形，可田径场也是地球表面的一部分呀。”学生恍然大悟：“这些准锥体的底面并不是真的多边形，但只要其底面足够小，就可以看成真正的锥体。”

为巩固公式的应用，老师给出例题：一只飞虫被长为2的细绳绑在棱长为4的正方体的底面中心，求飞虫在正方体内活动范围的体积。学生很快得出飞虫的运动轨迹是半球，老师问：“若飞虫绑在正方体的一个顶点上呢？”有的学生脱口而出“球的四分之一”，此时，老师借助多媒体将球进行复原：“我们把球看成一个西瓜，过球心横切一刀，分成两份，竖切一刀，分成四份，再切一刀，分成八份。”这样，犹如切西瓜般，再现了球被切割的过程，因为贴近生活，学生很快就理解了。

三、适当探究学习，提升思维水平

数学思想方法大部分通过解题教学得以呈现，教师要精选课例，善于挖掘其中所蕴含的数学思想和延伸空间，让学生从初始的模仿記忆，到主动的理解感悟，丰富学生的解题策略，提升学生的思维水平。

【教学实例】在教授完公式后，笔者设计了与球有关的切接问题的探究活动。

例题：已知小皮球直径是10cm，在物流快递中，邮递员要将此球（充气状态）用正方体纸箱进行打包，怎样才能做到用料最省？

探究一：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，如果球O和正方体的棱都相切，求球的表面积。

探究二：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，如果各个顶点都在球O的球面上，求球的表面积。

本题组以正确把握图形结构特征为基础，是空间想象力的直接反映。初学立体几何，学生的图形语言表达及空间想象能力相对不足，空间向平面转化的意识也不够，为方便学生观察，笔者利用纸盒、建构球等工具制作了三个教具，并适时引导、鼓励学生思考讨论。

对例题，老师指导学生画出平面图形，并组织语言：球内切于正方体，它们的中心重合，切点是六个正方形的中心，过球心及四个切点作截面（球的轴截面），对面中心的连线是球的直径，即直径等于正方体的棱长。

教师：在解决此类问题时，一般要通过一些特殊点如球心、切点、顶点，或特殊的线如轴线、高线等，准确作出轴截面，再运用平面几何知识研究有关元素的位置关系和数量关系。接下来请大家思考，探究题的解题关键是什么？

学生1：把空间问题转化为平面问题，即作出过球心的轴截面。

老师：轴截面有无数多个，要找哪一个？请大家模仿例题描述自己的分析思路，并画出相应的图形。

学生2：探究一，球和正方体的中心重合，切点在各棱的中点，过球心作相应轴截面，对棱中点的连线是球的直径，即直径等于正方体的面对角线长。

学生3：探究二，球和正方体的中心也重合，顶点都在球面上，球心在对角面内，故过球心作过对角面的轴截面，则直径与对角线相等。

老师乘胜追击，让学生继续思考：

探究三：在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC都等于2且两两互相垂直，求这个球的体积。

探究四：已知正四面体的棱长为a，四个顶点A、B、C、D都落在球面上，求这个球的表面积。

对探究三，老师先利用课件进行演示和铺垫：“我们把正方体沿着面对角线进行切割，可以得到侧棱两两互相垂直的三棱锥，若正方体的八个顶点都在同一球面上，则三棱锥的四个顶点也在相同的球面上。”学生何其聪慧，一点就通，老师话音未落，马上回答：“把已知的三棱锥补形成为正方体，本题就转化成正方体的外接球问题了。”

老师：非常好，我们不知不觉已经利用化归转化思想实现了问题的解决。类比探究三，正四面体与正方体有何联系？

学生4：正方体的面对角线相等，正四面体的六条棱也相等，取正方体中A、C、B 、D

四个顶点即可构成正四面体，所以正四面体的外接球即为对应正方体的外接球。

经过适当的引导，问题迎刃而解。数学问题表象不一，方法却是相通的，通过探究活动，经历了启迪和反思，相信学生能够更深刻地领会数学思想。

核心素养体系处于深化课程改革、落实立德树人目标的基础地位，教师是新课程推行的主体，课堂是教书育人的主要阵地，教师应与时俱进，更新观念，聚焦核心素养，精雕细琢，画龙点睛，优化课堂教学，让课堂焕发生机活力，充分展现其潜在的教育功能，引导学生真正触及数学问题的本质。实现提升核心素养的目标。

【参考文献】

[1]孙宏安.数学素養探讨[J].中学数学教学参考，2016（10）：7-10.

[2]教育部课程标准修订组.普通高中各学科核心素养一览表[EB/OL].

【本文系福州市教育科学研究“十三五”规划2017年度课题“聚焦核心素养，优化课堂教学一一全国卷背景下高中数学有效教学策略研究”（课题编号：FZ2017GH104）的研究成果之一。】

（作者单位：福建省福清第一中学）