双参数弹性地基上对边滑支正交各向异性矩形薄板弯曲问题的辛本征函数展开定理

高立梅,额布日力吐,阿拉坦仓

(1.内蒙古大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特010021;2.呼和浩特民族学院,内蒙古 呼和浩特010051)

1.引言

由于弹性地基矩形板在机械和航天事业中有着十分广泛的用途,所以国内外学者一直在研究弹性地基矩形板问题.经过学者们的不断努力得到了一些解析解方法,如复变函数法[1]、有限积分法[2]、级数法[3−4]等.但是这些方法都具有一定的局限性,需要事先人为设定好试验函数.为了改变这种局限性,钟万勰院士提出了辛弹性力学方法[5−6],使得许多力学中的实际问题得到解决[7−8].但是辛弹性力学方法也有一定的不足之处,例如,当对应Hamilton 算子的本征值和本征函数没有具体解析表达式时,该方法并不能给出原问题的解析解.为此李锐提出了辛叠加方法[9],该方法使得各向同性板问题的多个边值问题得到解决[10−12].但因为双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板的弯曲问题比较复杂,所以尚未见到利用辛叠加方法处理该类问题的报道.到目前为止,关于双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板问题辛弹性力学方法只研究了对边简支边界条件的情形[13].由于双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板的四边固支和四边自由边界条件问题所对应Hamilton 算子的本征值和本征函数均给不出具体解析表达式,所以辛弹性力学方法给不出这两类边界条件问题的解析解,但我们可参照各向同性板的结论[12,14],应用辛叠加方法来展开这类问题的研究.基于上述情况本文研究了双参数弹性地基上的正交各向异性矩形薄板对边滑支条件下的弯曲问题.首先计算出相应Hamilton 算子的本征值及相应本征函数系.再证明出该本征函数系的辛正交性以及在Cauchy 主值意义下的完备性,之后利用辛本征函数展开法求出双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板对边滑支问题的一般解.最后将所得结论与已有文献作对比验证了所得解的正确性.本文所得结论为基于对边滑支问题的辛叠加方法应用到正交各向异性矩形薄板的各类边值问题中提供了理论基础.

2.Hamilton 正则方程

双参数弹性地基上的正交各向异性矩形薄板弯曲方程为

方程(2.1)的Hamilton 正则方程为

通过计算可验证算子矩阵H满足H∗=JHJ,即H是Hamilton 算子矩阵,从而式(2.2)为薄板的Hamilton 正则方程.

3.本征值和本征函数系

为求解Hamilton 正则方程式(2.2),我们先求对应的齐次方程

由分离变量法求解式(3.1).令

将式(3.2)代入式(3.1)得到

式中µ为本征值,X(x)为相应的本征函数,记X(x) = (X1(x),X2(x),X3(x),X4(x))T,将式(3.3)展开得到

整理后得到

令X1(x)=eλx代入式(3.6)有

则

在式(3.6)中代入对边滑支条件

计算其系数行列式,得

进而得到

设式(3.6)通解为

将式(3.9)和式(3.10)代入式(3.8)得到

其中C1为常数.

将式(3.9)代入式(3.7)得两组解

相应的本征函数系分别为

其中n=1,2,3,4,··· ,i=1,2,3,4.

4.辛正交性与完备性

定理4.1设空间X=L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a],则无穷维Hamilton 算子H的本征函数系{Xi(x),Xni(x)|i= 1,2,3,4;n=±1,±2,±3,±4,···}在Hilbert 空间X中具有辛正交性.

证 通过符号计算,可验证本征函数系{Xi(x),Xni(x)|i=1,2,3,4;n=±1,±2,±3,±4,···}满足:

因此,定理4.1得证.

定理4.2在Hilbert 空间X中,无穷维Hamilton 算子H的本征函数系{Xi(x),Xni(x)|i=1,2,3,4;n=±1,±2,±3,±4,···}在Cauchy 主值意义下是完备的.

证∀F(x) = (f1(x),f2(x),f3(x),f4(x))T∈X,在Cauchy 主值意义下,用辛本征函数系{Xi(x),Xni(x)|i=1,2,3,4;n=±1,±2,±3,±4,···}可展开为如下辛-Fourier 级数

其中

通过符号计算得到

因此,定理4.2得证.

5.通解

设非齐次项f=(0,0,q,0)T可展开为

根据本征函数系的辛正交性可得

设在对边滑支条件下Hamilton 系统(2.2)的解为

根据本征函数系的辛正交性有

其中Ci,Cni(i=1,2,3,4)为待定常数.

将式(5.10)代回式(5.9)可得

由此可得集中荷载下正交各向异性矩形薄板在对边滑支条件下的一般解

其中H(y −y0)是Heaviside theta函数.

6.算例

例1考虑双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板四边滑支的弯曲问题,在(x0,y0)处有集中荷载P,在y=0 和y=b处边界条件是

其中

由通解(5.12)和边界(6.1)可得关于系数C1,C2,C3,C4和Cn1,Cn2,Cn3,Cn4的联立方程组,解得

将式(6.2)-(6.5)代入式(5.12)可得通解

当s=0 且D11=D22=D12+2D66时,对于四边滑支矩形薄板的弯曲问题,所得到的一般解与文[14]结果一致.

7.结论

本文用辛本征函数展开法研究了双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板的弯曲问题.求出对边滑支问题所对应Hamilton 算子的本征值以及相应本征函数系,并证明Hamilton 算子本征函数系的辛正交性以及在Cauchy 主值意义下的完备性.根据本征函数系的完备性,得到了双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板对边滑支弯曲问题的一般解.本文所研究的内容显然包括了无弹性地基(k= 0,s= 0)、单参数弹性地基(k= 0 或s= 0)以及双参数弹性地基上各向同性矩形薄板(D11=D22=D12+2D66,υ12=υ21) 的弯曲问题.

本文所得本征函数系的完备性结论,为基于对边滑支问题的辛叠加方法应用到正交各向异性矩形薄板的各类边值问题中提供了理论基础.