聚焦思维方法，指向问题本质——对一道高考真题的探究与思考

☉浙江省温岭中学 林新华

一、试题展示

例题 （2017年全国高中数学联赛A卷第9题）设k，m为实数，不等式|x2-kx-m|≤1对所有x∈［a，b］成立.证明：b-a≤2.

二、试题特点

本题作为解答题第1题（解答题共3题），它源于平时高考范围内的常见题，所涉及的知识没有超出高考要求，但在有些处理手法上略有提高.本题语言简洁、解题入口宽、层次多，具有非常明显的区分度.数学素养一般的考生，通过对问题的合理分析，运用常规的讨论等方法能够达到自己理想的结论，但是时间的成本会比较大；而数学素养好、思维深刻的学生能快速直达问题的本质，此题的本质是在分析抛物线的“陡峭程度”.因为k、m其实只影响f（x）=x2-kx-m的图像位置而不影响其形状，故本题其实是讨论f（x）=x2的图像中使得函数值差距不超过2的最长区间，即在分析抛物线的“陡峭程度”.2010年全国高中联赛A卷的第9题也可看成这类问题.

三、多视角下的方法探究

视角一：三点控制法的视角

点评：上面的方法是命题组提供的解答，该解法巧妙地取函数f（x）在区间端点及中点位置时值的范围，通过观察三个式子的结构，经过恰当的变形整理消去k，m，从而得到关于a，b的不等式.本题考查了学生的逻辑推理、数学运算与数据分析等数学核心素养，要求高，综合能力强.

视角二：对称轴讨论的视角

令M=（fx）max-（fx）min，则M≤2对任意x∈［a，b］恒成立.

点评：利用最平常的对称轴与区间的讨论，得出函数在区间上的单调性，然后得出M的表达式，再利用不等式放缩即可.大多数学生是从这个角度去思考和解题的，他们能写出需讨论的全部情况或者其中的几种情况.一些优秀的学生也能把（3），（4）两种情况合起来：

视角三：最小值讨论的视角

不妨设（fx）=x2-r，x∈［a′，b′］，b-a=b′-a′，下面对x∈R时，（fx）的最小值进行讨论：

（1）若（fx）min＜-1，即r＞1.

图1

由图1可得：

（2）若-1≤（fx）min≤1，即-1≤r≤1.

令（fx）=1的根为x3，x（4x3＜x4），可解得：

图2

由图2可得：

（3）若（fx）min＞1，则|（fx）|≤1无解.

点评：首先，把f（x）视为f（x）=x2-r，这需要对二次函数有本质的理解，学生需要较好的数学素养，这样处理简化了后续的运算.其次，此解法的本质是通过研究f（x）的图像与直线y=1或y=-1交点的横坐标之差，来刻画b-a的范围.对上面的解法可进一步优化为：不妨设f（x）=x2-r，对∀x∈［a，b］均有|f（x）|≤1.

下面对r进行讨论.

总之，从具体的背景中抽象出一般的数量关系，概括出问题的本质，再从直观的图形角度来解决问题，认识了数与形的关系，在解决问题过程中，有利于培养学生直观想象的核心素养.

视角四：反证法的视角

综上①②③知总存在x1，x2∈［a，b］，使|（fx1）-（fx2）|＞2.

这与题设对任意x∈［a，b］，|（fx）|≤1矛盾.所以假设不成立，即b-a≤2.

视角五：函数凹凸性的视角

-1≤x2-kx-m≤1对任意x∈［a，b］恒成立.

因为y=x2-kx-m为下凸函数，

视角六：竞赛的视角

由拉格朗日插值恒等式知：

比较上式两边x2的系数，得：

四、思考与建议

（1）此题虽有着“入手易，解法多”的特点，但部分考生仍感觉力不从心.因此在平时的教学中应关注学生思维，重视问题的本质.张奠宙教授曾说：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”.因此在平时的教学中尽量留给学生足够的时间读题、审题，在这个过程中读出若干思维角度，审出题目结构，理解问题本质.

（2）数学教学是“慢”艺术，若短时间内把所有好的数学思想方法打包发给学生，往往因空间不足而无法解压.因此，在教学中教师要敢于等待学生，陪伴学生重筑数学知识的形成之路，而不要在某些经典知识上一笔带过.

（3）平时所谓的难题通常是对多个知识点进行交叉和互融考查，数学素养较高的学生遇到难题时会把多种通法综合在一起，创造出含有“技巧性元素”的方法.因此，在平时的教学中，应注重对知识“通性通法”的教学，通法就是遵循数学的思维特征分析问题和解决问题，只要对问题解决的通性通法熟练、高效，某些技巧性方法自然就会应运而生.

（4）注重高中数学与拓展知识之间的联系.比如函数的凹凸性、不动点理论、拉格朗日插值恒等式、极限思想等，其实平时的试题中也经常会出现用琴生不等式秒杀的问题等.再如极限思想在函数零点判断问题中会经常用到.