基于梯形模糊MULTIMOORA的混合多属性群决策方法

齐春泽

（兰州财经大学 信息工程学院，兰州 730020）

0 引言

混合多属性群决策是指多个决策专家根据已有的多种类型的决策信息，运用特定的方法对有限个备选方案比较与选择的过程。在实际决策中，由于决策专家在专业背景、决策经验以及对决策问题的认识等方面存在差异，因此他们愿意采用的信息表示模型也会有所不同。如果强行消除这种差异，即所有的决策专家均采用相同的信息表示模型，一方面会导致大量的信息丢失或失真，另一方面会大大削弱群决策的效用。然而，如果不同决策者针对同一属性采用不同的信息表示模型，就会使决策矩阵在信息类型方面存在很大差异，而多数现有方法很难解决此类问题。在这种情形下，如何充分保留所有决策专家的偏好，最大限度发挥群决策的效用，相关决策方法的研究就显得尤为重要。

近年来，国内外学者们相继提出了许多有用的多属性决策方法，如TOPSIS、VIKOR、ELECTRE 等。2006年，Brauersand和Zavadskas[1]首次提出了MOORA（Multi-Objective Optimization by Ratio Analysis），该方法包括比率系统和参考点两个子方法。随后，他们将完全相乘法引入MOORA，从而形成了MULTIMOORA（MOORA plus the full multiplicative form）[2，3]。同现有相关方法相比，该方法简单、有效，便于对备选方案进行比较与选择[1-4]。然而，目前尚未发现MULTIMOORA被用来解决混合多属性群决策问题。

同区间数和三角模糊数相比，梯形模糊数能更好地反映决策问题的不确定性，同直觉模糊数和二元语义相比，梯形模糊数更直观，更有利于降低决策中计算的复杂性。因此，本文在现有研究的基础上，基于梯形模糊数和MULTIMOORA提出了一种解决混合多属性群决策问题的方法。首先，将不同类型的评价信息转化为梯形模糊数，构建梯形模糊初始决策矩阵，并运用离差最小化法和熵权法分别计算决策专家权重与属性权重。其次，基于梯形模糊数对MULTIMOORA进行扩展，并据此对备选方案进行比较与选择。最后，通过算例验证了该方法的可行性与有效性。同现有相关方法相比[5]，本文所提方法同时考虑了精确数、区间数、三角模糊数、梯形模糊数、直觉模糊数以及二元语义等信息类型，因此具有一定的普适性。其次，允许不同专家为同一属性给出不同类型的评价值，因此有助于充分表达决策者的偏好，有助于充分发挥群决策的优势，进而有助于得到更为合理的决策结果。

1 基础知识

定义1[6]：设为实数轴上的一个闭区间，则aˉ被称为一个区间数。其中，和分别为的下界与上界。

定义 2[7]：若且 0≤aL＜，则̂被称为三角模糊数。其中和aU分别为̂的下界与上界，为̂最可能的取值。

定义3[8]：设X为一给定论域，则称为X上的一个直觉模糊集，其中与vP:X→[0,1]分别表示P͂的隶属度与非隶属度函数，且对于任意，都有成立。为中元素xi的犹豫度，可记为为便于描述，若中仅有一个元素，则称P͂为直觉模糊数，记为

定义4[9]：设μ=s（a）为语言值，s（a）的语言评估标度为{极差,很差,...,极高}。其中，

定义5[10]：二元语义是一种运用二元组 （si,αi）表示语言评价信息的方法。其中，是一个预先定义好的，包含g+1个语言词的语言评价集，si是S中的第i个元素，αi∈[-0.5,0.5）是符号转换值，表示评价结果与si之间的偏差。

定义6[11]：设为实数域上的模糊数，如果其隶属函数为：

定义 7[11]：设和为两个梯形模糊数，则其遵循以下运算规则：

（5）对于 ∀λ∈R，如果λ≥0 ，则λa4）；如果λ＜0 ，则

（6）对于 ∀λ∈R，ȃλ=（（a1）λ,（a2）λ,（a3）λ,（a4）λ）。

2 混合属性值转化为梯形模糊数

2.1 实数转化为梯形模糊数

设有实数a，可据式（3），将其转化为梯形模糊数：

其中，梯形模糊数ȃ的下界与上界同为实数a，闭区间[a,a]为̑的最可能取值区间。

2.2 区间数转化为梯形模糊数

设有区间数aˉ=[aL,aU]，可据式（4），将其转化为梯形模糊数：

其中，aL和aU分别为梯形模糊数̑的取值范围的下界和上界，为̑的最可能取值区间。

2.3 三角模糊数转化为梯形模糊数

其中，梯形模糊数ȃ的下界为aL，上界为aU，最可能取值区间为[aM,aM]。

2.4 直觉模糊数转化为梯形模糊数

（3）学校将酒店租赁给校外承租方经营，其经营的目的是单纯追求利益最大化，存在经营方向难以控制等很多不确定因素和风险；学校掌控难度较大，难以满足服务学校教学科研工作要求；且很多高校的酒店地址都在校园内，不可控因素较多，校外承租方经营，也不利于校园安全。

2.5 语言值转化为梯形模糊数

设有语言评估标度S={s1,s2,…,sk,…,sp}，可据式（7），将其每个元素转换为梯形模糊数形式：

2.6 二元语义转为梯形模糊数

设有二元语义（st,at），可以根据公式（8）将其转换为梯形模糊数

3 基于梯形模糊MULTIMOORA的混合多属性群决策方法

3.1 问题描述

3.2 决策过程

第二步：计算决策专家权重

群决策是多个决策者共同协商的过程，其意见应当趋于一致。因此可依据个体决策与群体决策之间的离差来确定决策者的权重。如果个体决策与群体决策差异越小，则其权重应越大；反之，则其权重应越小。

其中，fk表示专家ek的决策与群体决策之间的离差，λk表示专家ek的权重。

第三步：根据专家权重对不同决策专家下的梯形模糊决策矩阵进行集结，得到梯形模糊综合决策矩阵

第四步：计算属性权重

可采用熵权法计算属性权重，具体过程如下：

第五步：运用梯形模糊MULTIMOORA对方案进行排序

传统MULTIMOORA忽视了属性权重的重要作用，这会对决策结果的合理性产生不利影响。为消除这种不利影响，本文在基于梯形模糊数对MULTIMOORA扩展时，考虑了属性权重的重要作用。

（1）运用梯形模糊比率系统法对方案进行排序

根据式（14）可得梯形模糊比率系统法下方案ai的评价值为：

其中，g为收益型属性的个数，n-g为成本型属性的个数。越大，则方案ai越好。因此，梯形模糊比率系统法下的最优方案为：

（2）运用梯形模糊参考点法对方案进行排序

根据式（16）确定属性cj的参考点

其中，g为收益型属性的个数。

梯形模糊参考点法下方案ai的评价值zi为：的值越小，则对应方案越好。因此，梯形模糊参考点法下的最优方案为：

（3）运用梯形模糊完全相乘法对方案进行排序

梯形模糊完全相乘法下方案ai的评价值为：

ȗi的值越大，则方案ai越好。因此，梯形模糊完全相乘法下的最优方案为：

第六步：方案的最终排序

占优理论可以根据支配、被支配、平等以及传递等方式将几种排序综合为一种排序，详情可参照文献[1-3,12]。基于占优理论，将第五步所得方案的排序结果进行整合，形成方案的最终排序。

4 算例分析

为了验证本文所提方法的可行性与有效性，运用本文所提方法解决文献[13]中的决策问题。某银行拟对4个公司ai（i=1,2,3,4）中前景最好的进行投资，特聘请3位专家ek（k=1,2,3）组成评估小组。评估小组从经济效益c1、社会效益c2、环境污染c3以及再生产能力c4这4个方面对备选公司进行评价。其中，c3为成本型，其余属性均为收益型。初始决策矩阵R（k）（k=1,2,3）引自文献[13]，详情如表1至表3所示。

表1 决策矩阵 R（1）

表2 决策矩阵 R（2）

表3 决策矩阵 R（3）

第一步：将初始决策矩阵R（k）转换为梯形模糊决策矩阵X（k）

根据公式（3）至公式（6），可将初始的混合决策矩阵转换为梯形模糊决策矩阵，结果见表4至表6。

表4 梯形模糊决策矩阵X（1）

表5 梯形模糊决策矩阵 X（2）

表6 梯形模糊决策矩阵X（3）

第二步：计算决策专家权重。根据式（9）和式（10）可得专家权重λ=（0.33,0.40,0.27）。

第三步：根据专家权重对不同专家下的梯形模糊决策矩阵进行集结，得到梯形模糊综合决策矩阵X=（x̑ij）m×n，结果如表7所示。

表7 梯形模糊综合决策矩阵X

第四步：计算属性权重

根 据 公 式（11）至 公 式（13），可 得 属 性 权 重w=（0.39,0.25,0.19,0.17）。

第五步：运用梯形模糊MULTIMOORA对方案进行排序

（1）梯形模糊比率系统法。据式（14）和式（15）可得梯形模糊比率系统法下各方案的评价值及排序结果，如表8所示。

表8 梯形模糊比率系统法下各备选方案的评价值及排名

（2）梯形模糊参考点法。根据公式（16）至公式（18）可得梯形模糊参考点法下各方案的评价值及排序结果，如表9所示。

表9 梯形模糊参考点法下各备选方案的评价值及排名

（3）运用梯形模糊完全相乘法对方案进行排序

由式（19）和式（20）可得梯形模糊完全相乘法下各方案的评价值及排序结果，如表10所示。

表10 梯形模糊完全相乘法下各备选方案的评价值及排名

第六步：方案的最终排名

运用占优理论集结各备选方案在梯形模糊比率系统法、梯形模糊参考点法以及梯形模糊相乘法下的排名，可得各备选方案的最终排序，结果如表11所示。

表11 各备选方案的最终排名

由表11可知，a2为最优方案，即该银行应该选择a2投资，这与文献[13]所得结果一致，说明所提方法是可行的，也是有效的。但是，两种方法所得结果也存在一些差异，文献[13]所提方法得到a1≻a3，而本文所提方法得到a3≻a1。由表7可知，备选方案a3的c1属性值和c4的属性值远大于备选方案a1，备选方案a3的c2属性值与备选方案a1基本相等。此外，c1属性和c4属性权重和达到了0.56，而c3的权重仅为0.17。因此，a3≻a1是合理的，也说明本文所提方法是合理的。

5 结论

在实际决策中，由于决策者在专业背景、决策经验以及对决策问题的认识等方面存在差异，因此决策者擅长采用的信息表达模型也会有所不同。如果强行消除这种差异，就会造成信息丢失或失真，也会削弱群决策的整体效用，进而导致不合理的决策结果。针对上述情况，本文基于梯形模糊MULTIMOORA提出了一种解决混合多属性群决策问题的新方法。与现有相关方法相比，本文所提方法具有以下优点：（1）与传统的MULTIMOORA相比，本文所提方法将其扩展到了群决策环境，并考虑了属性权重的重要性。（2）本文所提方法同时考虑了精确数、区间数、三角模糊数、梯形模糊数、直觉模糊数以及二元语义等信息表示模型，因此具有一定的普适性。（3）在决策中，允许决策者采用不同的信息表示模型，因此能准确刻画决策的实际情景。本文仅研究了权重为实数的决策情景，权重为梯形模糊数形式是本文下一步的研究重点。