数与形如何从建构走向融合

辩课地点：唐山市万达小学

教学内容：人教版六年级上册第八单元《数与形》

辩课人员：河北省名师杜晓虎工作室 杜晓虎 王东青刘冬梅 马向葵 孙雪静

唐山市万达小学 魏晓晨 朱 妹

编者按：“辩课进行时”是本刊在2019年重点推出的新栏目，同时也是《河北教育》专注新课程改革实施，专注一线课堂教学的新举措。本栏目以“课堂展示”+现场“辩课”+“专家评价”的形式呈现辩课的具体内容、研讨成果和研究价值。我们将持续走进不同地区的不同学校将“辩课”进行到底。第四站，本刊编辑部走进唐山市万达小学，实地参加由河北省名师杜晓虎工作室组织的以“数与形如何从建构走向融合”为主题的教学展示及研讨活动，精心整理后，我们将相关内容呈现出来，希望能给老师们一些启发，同时也希望听到你们的声音。本栏目互动邮箱：hbjy⁃zh01@126.com

●课堂展示1

【实录】

一、由形想数

1.出示图形。

师：仔细观察这组图形，你能用“数”或“算式”来表示在“形”中发现的规律吗？

2.交流。

（1）1，4，9，16。

师：结合图形，1、4、9、16这四个数表示什么意义？谁来给大家讲解一下。

生：这四个数分别表示每幅图形中包含的小正方形的数量。

（2）1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16。

生：每幅图形横竖都是由相同数量的小正方形组成，所以用乘法算式来表示每幅图形中包含的小正方形的数量。

（3）1，1+3，1+3+5，1+3+5+7。

生：1表示第一幅图形里面有一个正方形；后面图形是在前一幅图形的基础上，逐渐增加3、5、7个小正方形。

师：为了更清晰地表示出这种规律，我们把这些加数所对应的的小正方形用不同的颜色标识一下。

二、由数想形

师：如果我们按照刚才发现的规律继续思考，看这个式子“1+3+5+7+9”，你会想到什么？

生：我想到“1+3+5+7+9”等于5的平方。

生：我会想到边长为5的正方形。

师：我们思考一下，这五个加数的和等于52，同时又想到它对应着边长是5的正方形，你有新的发现吗？

生：加数有几个，就等于几的平方。

师：看见72，100，你又会想到什么？

（学生想到正方形和从1开始的连续奇数数列。）

师：看看刚才我们刚才研究的过程。

生：都是从1开始的，而且还是连续的奇数。

师：像这样从1开始，n个连续奇数相加的和等于——

生：n的平方。

三、巩固练习

1.请你根据刚才发现的结论算一算：1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）。

生：把这个算式分成两部分，前面“1+3+5+7+9”等于52，后面“7+5+3+1”等于42，它们加起来就等于41。

师：再看这个，5+7+9=（ ）。

生：我可以在“5+7+9”的前面加上“1+3”，然后用52减去22就是“5+7+9”的和，等于21。

2.每幅图最外圈各有多少个小正方形？

生：第一幅图有8个。可以用“32-1”求出最外圈有8个小正方形。

生：第2幅图可以用“52-32”来求，第3幅图用“72-52”求。

师：那么不画图，第5幅图最外圈有多少个小正方形？

生：有40个小正方形。按照刚才的规律，112-92=40。

生：我发现了第几幅图最外圈就有几个“8”，所以第10幅图最外圈有十个“8”，共80个小正方形。

3.出示：（a+b）×c=ac+bc。

师：乘法分配律的确可以利用长方形的面积来理解它的算理。这样一来理解它的算理就变得直观了。

4.出示沙漏动画。

师：仔细观察，你能通过三个正方形的面积关系，联系到直角三角形三条边的关系吗？

生：老师，我知道——a2+b2=c2。

师：上面两个较小的正方形的面积加起来正好等于大的正方形的面积，也就是两条直角边的平方之和等于斜边的平方。这就是著名的勾股定理。

四、总结

师：今天我们一起对“数与形”进行了研究，通过研究我们可以感受到数与形之间的关系密切，数中有形，形中有数，彼此不可分割。像1、4、9、16、25这样的数既是我们熟悉的“平方数”，又被古希腊的毕达哥拉斯学派称为“正方形数”。除此之外，他们还研究过“三角形数”“五边形数”。大家课下可以继续研究，相信同学们能够找到更多的规律。

●课堂展示2

【说课】

一、教学分析

把数与形结合起来可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。

本课通过数形结合，让学生探索从1开始的连续奇数之和与平方数（即正方形数）之间的关系。在学生发现规律后，让学生应用规律解决问题。在解决实际问题的过程中，体会数与形之间的密切联系，感受数学知识的奥妙，激发学习数学的兴趣。

二、教学过程

（一）知识链接，感悟思想。

1.直面课题，回忆旧知。

师生通过对话对以往数与形的知识进行简单回顾。

2.揭示课题，体会魅力。

师：数形结合解决问题的例子还有很多，它能使问题更形象、更直观。再次走进数与形，体会数形结合的魅力。

设计意图：课前通过谈话唤起学生对数与形的感知，明确学习内容，感受数形结合的魅力。

（二）探索规律，深化思想。

1.快速计算，寻找规律。

出示算式1+3、1+3+5、1+3+5+7，学生计算并观察算式中加数及结果的特点。

引导学生根据发现的规律列出算式并计算。

2.引“形”解题，体会结合。

从数的角度分析了数与式之间的关系，不妨换个角度，借助图形再来研究它们的关系：看到“4、9、16…”或“22、32、42…”能想到什么图形，为什么？在此从学生的已有知识经验出发，引导学生由平方数想到正方形，初步体会以形解数，感悟数形结合。

看到“4、9、16…”或“22、32、42…”能想到正方形，1+3、1+3+5、1+3+5+7……这样的算式是否也有与之相对应的正方形呢？

学生组内交流想法，独立完成画图。交流中引导学生发现1个小正方形、3个小正方形、5个小正方形……可以共同拼出一些大小不一的大正方形，通过图形的规律理解“平方数”和“正方形数”的含义。

3.思维碰撞，发现规律。

通过对数的分析和形的理解，能否很快计算这样连续奇数相加的结果？再次计算“1+3+5+7+9+11”；如果是“1+3+5+7+9+11+13+15+17+19”呢？只是72，你又能想到哪个算式？什么图形？

“你们的计算越来越快，是发现了什么规律吗？”引导学生逐步总结出“从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方”。

设计意图：在题型的模仿、类型的强化中，学生渐渐明晰数的规律并尝试用自己的语言总结规律。在思考与解决问题中体会数与形这种完美的结合，体验成功的喜悦。

4.运用规律，思维强化。

出示“1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1”，学生计算引发争议，在计算与图形的直观演示中，再次深化对“从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方”这一规律的理解。

设计意图：通过解决问题让学生体会数的问题也可以用形来帮助解决，形的问题中包含数的规律，通过数与形的对应关系，互相印证。

（三）解决问题，提升思想。

出示课件，观察圆点的排列规律并计算图中圆点的数量。

思考：如果按照这样的规律，排到第10行共有多少个圆点呢？学生讨论计算方法。

师：我们能不能再利用图形，找到简便的算法呢？

师生交流，借助平行四边形和梯形的面积计算公式，探索求连续自然数和的计算方法，从而体会图形问题蕴藏着有趣的数的规律。

设计意图：通过几个层次的练习，引导学生解决问题，体会数形结合的规律，培养学生的抽象思维能力。

（四）回顾整理，探究拓展。

带领学生认识三角形数和正方形数，领略五边形数、六边形数及多面体数的神奇，为学生扩大探究的领域，发展数学思维，提高分析问题、解决问题的能力。

●辩课进行时

【现场】

杜晓虎（河北省名师工作室主持人）：数学教学的重要任务是提升学生的数学素养，促进学生思维的深度发展，数形结合思想是学生思维发展的重要载体。数与形是数学中两个最古老、最基本的学习元素，它们在一定条件下，可以相互转化。由数思形、见形想数，数形结合考虑问题是一种常用的思想方法。今天我们就结合两节《数与形》谈谈如何让数与形从建构走向融合。

话题一：数形结合既能培养学生的形象思维能力，又能促进逻辑思维能力的发展。数与形的教学我们应该从几方面去建立数与形之间的连接，让学生的思维动起来？

王东青：让学生思维动起来要促使学生产生内在的学习需要，即激趣。

内在学习需要的建立，要让学习内容立足于整个小学数学教材体系，学生感觉熟悉亲切。孙老师有意识在引入环节设计了退位减法、韦恩图、分数、植树问题等数形结合的展示，帮助学生回忆相关内容；马老师则是在课后用面积模型帮助学生理解乘法分配律，并延伸到勾股定理。这种梳理，立足教材整体建构知识体系，对激发学生的兴趣大有裨益。

内在学习需要的建立，还要有意识地创设能够激发学生认知冲突的学习活动。教学要让学生在研究、争论、质疑中展开。这两节课都注意到了这一点，学生在研究、讨论的过程中逐渐逼近数形结合问题的本质。教师引导学生交流时，又引导学生想象数和算式表示的形是什么，学生不仅发现形的面积表达方式有多种，而且感受到形的面积与数、算式的紧密联系。基于此，教师接下来有意识地引导学生写算式，通过算式和数想象图形，从“形中藏数”到“数中找形”，巧妙地建构起数形之间的联系。

刘冬梅：我同意东青的观点。马老师的课堂上，激发学生的兴趣这一点做得很好。尊重学生已有经验和认知规律，直接以“数”示众，强化认知对比，放手让学生自主探究规律。形与数的思维切换，极大地激发了学生的学习兴趣，这有利于发展学生的想象力、思维力、合作力与创造力。学生兴致盎然，完全融入“数形结合”的思维挑战中。

马向葵：促进学生思维动起来，我觉得还要尊重学生的主体地位。孙雪静老师在整个课堂教学中，逐步引导学生发现“数”中的规律、学会学习、懂得思考问题的方法，激发了学生学习数学的参与热情，并体会到了数与形的密切联系，真正促进了学生思维的发展。

孙雪静：我也能从马老师的课上发现这一点。他借助正方形图，以形助数，发现规律，让学生亲历了从“形”到“数”的过程，并直观地发现“形”与“数”的关系。学生在交流中不断进行思维的碰撞，理解规律，总结规律，并应用规律解决问题。正是因为这样的思维碰撞，学生学会了数形结合的解题方法，体会和掌握了数形结合的数学思想。

朱妹：让学生思维动起来，也离不开教师严谨的教学。在教学时，马老师引导学生思考：“1+3+5+7”下一个应该加几？学生很快答出“1+3+5+7+9”。马老师又引导学生“你会想到什么”，学生联系第四幅图，推断出“1+3+5+7+9”就是第五幅图，即边长为5的正方形。以此类推，学生在形中发现了数的规律，又用数的规律印证了形的奥秘，构建与融合相互交织，最终学生发现了“从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方”的规律。

话题二：核心素养背景下，倡导深度备课，能够以系统化的思维把握知识本质。数与形部分如何深度备课才能激活学生的思维，体现数形结合的思想价值？

王东青：深度备课要研读课标。数形结合是一种数学思想方法，这离不开观察、数学思考和推理归纳，因此需要聚焦在数形之间的转化，让学生通过以形想数、由数到形的过程来明晰这一思想方法。马老师先是通过观察让学生发现“形中藏数”，接下来通过想象和验证发现“数中有形”，二者巧妙融合，促使学生不断地思考、探究、推理、归纳；孙老师则是引导学生由数构造形，体验形的助力作用，接着又从形回归到数，感受数形融合的价值，数形在相携相行的过程中，学生知其然也知其所以然，亲历知识形成过程，促使学生的思维动起来。

马向葵：我觉得深度备课要清晰小学阶段的数形结合思想内容。我在备课时，发现小学阶段的数与形思想细分为三方面：一是体会形是抽象数量关系的可视化，帮助理解数和算式，进而为直观地解决数学问题提供思路和方向，甚至可以直接看出结论；二是体会形也离不开数和算式，借助具体的运算进行判断并得出结论；三是在解决问题的过程中自觉运用数形结合方法，体会作为问题解决策略的数形结合的益处。简言之，既凸显“形帮数”，也能感受“数助形”。

孙雪静：深度备课还要理清小学阶段“数与形”在各个年级及不同版本教材中渗透的点，能帮助教师找准生长点，抓住发展点，为学生后续学习积累活动经验。小学中渗透的数形结合思想方法，首先体现在根据数学问题中数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征、规律来分析解决问题，化抽象为直观，易于发现问题的内在联系。

刘冬梅：另外，还要注重横向教材的对比，丰富备课的认知。两节课对三角形数、平行四边形数的拓展都借鉴了其他版本的教材内容。

朱妹：我认为马老师善于引导学生从不同角度发现数形结合的规律，这也是深度备课才能实现的。

话题三：数形结合思想对小学生而言，在之前的学习中都有应用，但这种应用只是渗透在某个教学环节中。那么，在教学中如何让数与形从逐步建构走向深度融合？

刘冬梅：孙老师的课堂上，当学生对于加数的结构规律初建模型之后，再次将思维拔节——换个角度由数思形。“看到22，32......你想到了什么图形？画在方格图上。”在学生的动手操作中对数的思考再上新高——平方即面积。而学生绘制的图形也是精彩纷呈：有用数方格形式呈现的，有用面积“2×2”“3×3”表示大正方形的，有用依次叠加分层描绘“1+3+5+7”的……就在几分钟的操作中，学生却创造出了不同思维角度的作品，将抽象的数学语言变为了直观图形，将“数”形象化，使抽象思维演绎成了形象思维，规律显而易见。

可见，在知识的建构过程中，数与形的不断积累，并不是知识的简单叠加或量变，而应是对知识的突破、深化、超越或质变。

王东青：见形思数，使“数”直观化。马老师用“三次思考”给我们进行了示范。课伊始，出示一组图形：“你能用“数”或“算式”来表示在“形”中发现的规律吗？”学生兴致盎然，完全融入“数形结合”的思维挑战中。此为学生“一思”。练习中，马老师追问：“在‘1+3+5+7’后再加，你会加几？你会想到什么图形？那7的平方表示哪些数相加呢？又想到什么图形？那100呢？”学生由问题见数想形，引发逆向思维的深入思考。抽象思维与数形结合融合运用，相互转化，此为学生“二思”。最后的巩固练和拓展练，由数的运算到最外围正方形个数的问题解决，再到勾股定理的简单渗透，无不彰显着数与形分析的密不可分。借助几何直观，让抽象逻辑更具模型，此为学生“三思”。

在新知的生成与发展过程中，马老师准确把握渗透数形结合思想的时机，以问题引导学生观察、思考、验证，让学生深刻经历着数与形从建构走向融合的过程。

马向葵：六年级的《数与形》这堂课就是让数形结合思想从幕后走到台前。但数与形的融合并不是一节课就能实现的，前面的建构是基础，这节课帮学生建立一种意识，积累了数形相融的活动经验，期待学生看到“数”会想到“形”，看到“形”能够去思考对应的“数”，发展运用数形结合的思想方法去解决问题的能力。

孙雪静：对，之前数形结合思想在很多内容中都有渗透。比如说分数算理的分析中的应用、在应用题分析中画图方法的应用、在立体几何中的应用、在函数问题中的应用等等，都是我们帮助学生从建构走向融合的素材，我们要重视起来，并指导学生加以应用。

●专家点评

抓本质 促融合

杜晓虎

本次辩课活动，工作室选取了《数与形》作为研究内容，我们想与更多的教师探讨：数与形如何从建构走向融合。数形结合思想在集合问题、方程、不等式、数列等很多问题中都有着广泛而有实效的运用。见形思数，见数想形，以形助数，实质就是以数化形、以形变数的结合。本次辩课活动，马向葵老师和孙雪静老师执教的是人教版六年级上册数学广角《数与形》的例题1，本例题旨在揭示数与形的内在联系，培养学生几何直观的意识和能力。

1.数形结合，起点在哪里？

两位教师在深刻理解教材的基础上，采用了两种策略：马老师由图形入手，让学生观察图形，用数或算式表达形中发现的规律；孙老师从算式入手，在学生充分观察算式及运算结果的基础上，思考如何与图形建立联系。

马老师的设计相对贴近教材，整个教学主要包括三个环节。孙老师从算式和运算结果的规律入手，引导学生用图形表达所发现的数的规律，渗透了构造思想。

2.数形结合，过程如何做？

马老师的课堂——

引入环节：上课伊始，让学生读课题，思考课题中的数和形分别指什么。开门见山，以谈话式引入，直奔主题，尊重学生的已有认知，用自己的思考来解读题目中的字义，简明扼要。

新授环节组织了两项数学活动：“由形想数”和“由数想形”。

a.由形想数。

出示一组图形，提出问题：“仔细观察这组图形，你能用数或算式来表示在形中发现的规律吗？”让学生从形入手，展开联想，理解同一事物可以有多种刻画方式。研究过程凸显以生为本，关注学生的学习过程，体现了学生在课堂上的主体地位。教学过程层层递进，逐步展开，引导学生关注形与数两者之间的联系。马老师在此环节充分利用多媒体辅助教学，利用课件将不同颜色的小正方形拼组，帮助学生发现形的变化规律，借助形来直观感受与数之间的关系，体会形与数能够相互解释，并能借助形解决一些与数有关的问题，突破本课数形结合的难点。

b.由数想形。

通过第一个环节的研究，学生已初步感受到正方形与“从1开始的连续奇数的和”有关，而这样的数列和恰好是一个完全平方数，初步建立了平方数、“从1开始的奇数数列的和”及正方形的联系。这一环节，教师引导学生转换思考角度，提升思维深度：如果给出算式，能否联想到数和形？如果给出数，能否联想到算式和形？从而建立三者之间的联系。由浅入深，引发学生不断地思考，学生乐此不疲。教师语言朴实精炼，清晰、直观地引导学生不断发现规律，感受归纳推理的探寻过程，从多个角度体会数与形的关系。

孙老师的课堂——

新授部分分为两个环节：

a.快速计算、寻找规律。

教师出示教材上的“1+3，1+3+5，1+3+5+7，…”，让学生计算，并发现计算的规律。

b.引“形”解题、数形结合：在发现运算规律的基础上，引导学生换角度看问题，提出“看到‘4、9、16…’或‘22、32、42…’能想到什么图形”的要求，充分尊重学生的已有知识经验，培养学生思维能力，渗透构造思想。

3.数形结合，如何真正融合？

学习的过程就是融合的过程，巩固练习环节呈现了学习效果。当然，数形融合不是一节课就可以实现的目标，但两位教师均精心设计了多层次练习题，帮助学生向这个方向努力。

习题层层递进，学生不断地接受挑战，激发了学生的学习热情，主动地深入思考与学习，将所学知识进行拓展。其中证明乘法分配律那个练习题，隐含的思考是：平方数与正方形通过面积公式建立了联系，由此可以联想，“二次”与面积有关。这个练习不仅拓展了学生的知识，同时给出了乘法分配律的一个证明方法。马老师的最后一个练习，需要利用平方数与正方形的关系进行思考，通过图形的直观演示，使学生初步认识勾股定理，不仅拓宽了学生的视野，也为初中学习勾股定理及证明做了良好的铺垫。

4.数形结合，其实是殊途同归。

细品两位教师的课堂，都给人以朴实、深刻的感觉。教学思路流畅、严谨，教学环节清晰、合理，学生思维获得深度发展。整节课没有华丽的辞藻，但总能以恰当的问题引发学生思考；教学课件精美实用，交互性强，对教学的辅助作用显而易见。两位教师充分调动学生的学习热情，不仅完美呈现了教材内容，而且对教学内容进行了拓展延伸，把教学内容放在整个数学的知识体系中去研究，用发展的眼光培养学生，关注与后续学习的衔接，为学生的后续学习打下良好的基础，切实提升了学生的数学素养。