智慧课堂与传统课堂“融合式”教学———以《圆的周长》为例

贺慧杰 严 虹

【教学内容】

浙教版六年级第63～65 页。

【教学过程】

一、动画导入

师：这是2017年4月，中国天舟一号搭载长征7 号火箭升入太空的场景。请问飞船留下的轨迹是一个什么形状？

生：圆形。

师：如果我们把飞船看成一个点，那么点动成——

生：线。

师：这条封闭曲线一周的长度就是圆的周长。你们觉得圆的周长可能和哪些要素有关呢？

生：与半径有关。

生：与直径有关。

【设计意图：本环节运用中国天舟一号搭载长征7 号火箭留下的轨迹这一情境，凸显圆是点运动后形成的轨迹，求轨迹的长度就是求圆的周长，引入本节课的学习内容，既激发学生的兴趣，又让学生感受到圆周长在生活中很常见，同时从学生已知的知识中引出圆的周长与直径、半径等要素。】

二、实验测量，寻求规律

1.化曲为直。

师：圆的直径与半径有什么关系？

生：2 倍的关系。

师：（课件半径消失）因此我们只要得到圆的周长和直径有什么关系就可以知道圆和半径的关系，我们要研究圆的周长与直径的关系就要会测量它们的长度。

师：直径怎么测？

生：量出最长的那条线。

生：量直径时要过它的圆心。

生：要是圆心不好找可以用两个三角尺的直角边夹住圆，然后用直尺量。

师：有同学已经发现了，圆的周长是一条曲线，用直尺不能直接量出来，那该怎么办呢？

生：我们可以在圆上做一个记号，叫做点A，用绳子在物体上绕一圈回到点A，拉直绳子，把曲边变成了直边，这时量出的绳子的长度就是圆的周长。（板书：绕绳法）

生：如果这个圆能滚动起来就好了，同样在圆上找到一个点A，把点A 和直尺的0 刻度线对齐，让圆在直尺上滚动一周，找到点A 在直尺上滚动后的刻度。这时，A 点滚动一周的长度就是圆的周长。（板书：滚圆法）

师：同学们想到了用绕绳、滚动的方法，让曲线变成直线，我们把这种方法叫做“化曲为直”。

2.小组合作，实验测量。

师：学会了刚才的方法，现在我们小组活动自己探究周长与直径的关系。

任务一：

（1）多个模型（圆形物体）中任选两个，分工合作测量圆形物体的直径和周长。

（2）计算周长与直径的倍数关系。

（3）组长在iPad 腾讯文档上记录数据。

（4）如果你们小组对测量圆的方法还是不理解，可以在2 号iPad 上求助微课。

任务二：

（1）每位同学在3、4 号iPad 上通过GeoGebra 测量直径和周长。

（2）组长选一组测量数据记录在iPad 腾讯文档上。

【设计意图：本环节设计是基于前测情况而定，本校大约有90%的学生尚不能想到如何运用化曲为直来测量圆。因此在动手测量前，先进行直径与周长测量方法的讨论，同时准备了相应微课视频，方便学生在操作过程中遇到困难时寻求帮助；在合作探索中，学生通过测量不同的圆形物体，探索和感受周长与直径的倍率关系；借助GeoGebra 软件让学生体验圆周率更加精确测量的过程；经过两个任务的操作，学生不仅可以更直观地感受周长与直径的倍率关系，而且学生会经历一个由粗略计算圆周率到精确计算圆周率的宝贵过程。】

3.分析数据，探索规律。

师：我们利用腾讯文档实时显示功能把数据进行了汇总，现在请仔细观察这些数据，你有什么发现？

生：iPad 测量的数据算出周长与直径的比值基本都是3.14；而动手测量得到的数据有2.9、3.19、3.6、4 等等。

生：我觉得动手测量比iPad测量误差大。动手测量绳子不容易做记号、滚圆时圆会滑动并且尺子测量不准确，iPad 测量就不需要考虑这些问题了。

师：用测量的方法，无论是曲线还是直线，永远只能得到长度的近似值。

师：再次观察数据，你发现圆的周长与直径可能有什么关系？

生：我发现虽然有误差，但圆周长与直径的比值都是三倍多。

师：你观察得真仔细，我们把圆的周长与直径这三倍多的关系叫做圆周率。

（板书：周长÷直径=圆周率）

师：现在请同学们通过GeoGebra 变换各种大小的圆，体验直径与周长三倍多的关系。

4.反思总结，引发困惑。

师：小结我们测量得到的数据，由于误差的影响不够精确。你认为圆的周长与直径之间三倍多一些的关系是变化的还是确定不变的？我们该如何研究呢？

生：肯定是变化的，我们算出了这么多种比值。

生：可能是确定不变的。

师：圆周率的发展和我们刚刚经历的从动手测量到iPad 精确的测量一样，它也经历了从粗略到精确的一个过程。

5.介绍圆周率历史，引出割圆术。

师：早在2000 多年前我国古书《周髀算经》就记载了“径一周三”，你们知道“径一周三”什么意思吗？

生：如果直径是一倍，那么周长就是三倍。

师：东汉时期的张衡计算出圆周率约为3.1622。

师：公元3 世纪时，我国著名的数学家刘徽就对圆周率进行了深入的研究，刘徽最伟大的地方，就是发明了一种计算圆周率的科学方法——叫做“割圆术”。那什么是“割圆术”呢？我们一起来了解一下吧！

【设计意图：经过前期iPad使用，学生已经能够熟练地操作腾讯文档；在这样的基础上让学生把数据直接汇总到一个文档，高效省时而且容易对比分析；在iPad 上通过GeoGebra 直观体验不管圆的周长如何变化，直径与周长都是三倍多的关系进而验证我们数据分析的结果；引入圆周率历史的介绍，并引出割圆术，旨在课堂中渗透数学文化。】

三、观察体验，感受极限

师：想象一下，如果一个正120 边形，会是什么样？

（课件依次出现下图）

生：随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，它的周长也越来越接近圆的周长。

师：刘徽割圆术就是在固定的圆内来画正多边形。

（通过GeoGebra 体验割圆术）

师：认真观察，正六边形的周长与圆的周长误差明显吗？

生：误差很明显，一眼就看出来了。

师：正十二边形呢？它的周长与圆的周长误差明显吗？正二十四边形呢？正四十八边形呢？

生：肉眼已经观察不出来了。

师：正280 边形呢？正1580边形呢？想象一下，这样一直割下去，割到无穷尽会是怎样？

生：越来越像圆。

师：这就是极限的思想。

师：你们在割圆的过程中还发现了什么？

生：正多边形的周长与圆的直径的比值逐渐变成3.14156。

师：就是用这样的方法，刘徽算出了圆周率为3.140124；祖冲之精确地计算出了圆周率在3.1415926 和3.1415927 之间，是世界上第一个把圆周率的值精确计算到7 位小数的人。这一成就比国外大约要早1000 多年呢。

师：随着科学技术的发展，人们发现圆的周长和直径的比值圆周率是一个固定的无限不循环小数，用希腊字π 来表示。（板书：

【设计意图：在这个环节中主要引导学生在体会极限思想的同时可以亲自动手感知割圆术的奥妙，间接体会科学的计算圆周率方法比动手测量要更精确。】

四、应用与练习

通过UMU 学习平台完成练习。

第一层：基础练习。

已知圆形菜地的直径是3米，它一周的篱笆有多长？

A.4.71 B.9.42 C.9.40

第二层：提高练习。

（1） 一个圆形木桌周长是31.4 分米，它的直径是多少分米？半径是多少分米？

A.直径12 分米，半径6 分米B.直径15 分米，半径7.5 分米C.直径10 分米，半径5 分米

（2）一个半圆面，半径为r，它的周长是（ ）。

B.πr＋2r

C.πr＋r

第三层：能力练习。

一块圆形菜地的周长是15.7米。如果半径加长3 米，这时菜地的周长是多少？

【设计意图：这一环节主要借助UMU 学习互助平台来更好地实现分层教学；学生可以在平台、微课与练习纸的结合下，达到掌握基础知识且每个学生在思维能力方面都有不同程度的发展。】

【评析】

对《圆的周长》这节课，浙教版教材设置了测量、探究周长与直径关系的活动，强调由学生亲历发现的过程，积累数学活动的经验；且“数学百花园”栏目特别详尽地介绍了π 的计算史，不仅在于介绍一段历史，激发积极的情感体验，更有利于学生理解周长计算公式的含义。

贺老师利用自己技术方面的特长，将教材的设想发扬光大，实现了技术与学科的深度融合。

1.技术引领学习走向深度。

课始以“中国天舟一号搭载长征7 号火箭”的视频引入，课中借助GeoGebra 软件进行圆周长和直径的测量，课末运用UMU互动学习平台进行自主学习，信息媒介充实在课堂的每一个环节。整节课学生兴致盎然，思维不断走向纵深处。尤其课中，学生在经历“圆周长与直径到底有怎样的关系？”这一探索过程时，他们经历了动手测量（发现存在误差）和在iPad 上借助GeoGebra 软件测量（发现十分精确）相结合的方式，真正体验了圆周率的研究由粗略到精确的过程，理解圆周率的意义，并在此基础上较好地掌握圆周长的计算方法。

2.改变学生信息记录的方式。

在学生小组合作动手操作，探究圆周长与直径关系时，贺老师改变了以往利用纸笔记录数据的形式，而是利用腾讯文档在iPad 上进行记录。这样的优势在于学生输入的测量数据，同步传输到教室主屏中，各个小组的数据不再需要测量后再来进行汇总，而在学生边测量边记录的过程中实时生成，方便快捷。同时，因为数据都在主屏中清晰地呈现出来，一目了然，既便于比较，又便于师生互动交流，显然移动终端改变了学生信息记录的方式，极大地提高了课堂效率和互动交流的方式。

3.让个别化学习成为可能。

这节课的练习环节，贺老师借助UMU 互动学习平台和微课的嵌入，让学生个别化学习成为可能。教师将本课练习设计成三个不同层次，学生利用学习平台自主完成练习，自主诊断；每个层次练习都配有相应的微课，当学生在这一层次的练习出现错误时，可选择相应的微课辅助学习，分析自己错在哪里？微课学习后学生需选择与这一层次相匹配的补充练习再次进行完成。同时，教师通过学习平台后台数据及时了解每个学生的答题情况，并根据答题情况进行个别化教学。这样借助技术与教师适时点拨相结合的教学，真正促进了学生学习的个性化、个别化，每个学生在数学课上学习进度不同，发展程度不同。