《长方形的周长》教材比较研究

冯静宇

一、问题提出

教材是学生获得知识的主要途径之一，学生主要通过学习教材上的知识以及教师教学，得以提升自己的思维水平。就小学数学几何板块的教学来说，如何从空间观念、创新能力的培养出发，设计出既符合学生心理发展水平，又符合数学内在规律的教学内容和课程体系，是一件重要而又艰难的工作。《长方形的周长》第一次从测量与计算的角度，促进学生对图形概念的认识，对学生的抽象思维能力、空间观念等别有意义。从使用范围和教材特色两方面考虑，对人教版和浙教版两个版本教材关于“长方形的周长”的相关内容进行研究和分析，期望能对老师们的教学有所启发。

二、研究设计

1.研究框架。

根据范希尔几何思维水平，学生的几何思维分为五个水平，分别是：视觉水平、分析水平、非形式化的演绎水平、形式的演绎水平、严密性水平。《长方形的周长》这节课在两版教材中都处于第一学段，这一学段的学生几何思维水平应位于范希尔几何思维水平的前三个水平中。

因此以前三个水平为框架，我做了如下分类：

表1 《长方形的周长》这节课内容的类目表

2.研究方法。

本研究对人教版和浙教版关于《长方形的周长》的例题和习题进行分析，使用内容分析法进行编码，建立了四个主类目和八个次类目进行比较分析。

3.分析示例。

以两个版本的例题和习题为分析单位，对部分主类目下的次类目简要举例。浙教版在本课第一课时，通过“画一画，算一算”的题目让学生了解长方形周长的几何构图元素，这就属于几何思维水平1.2。

浙教版第4 页练习题2

在学生经历了画一画和量一量的操作后，了解了长方形周长的特征并积累了测量经验，为探索长方形周长的公式做了铺垫。学生在这些操作中能自己总结出长方形的周长公式而不是死记硬背，领会长方形周长的计算原理和方法，符合几何思维水平3.1。

在两个版本的教材中，都出现了要求学生把相同或者不同的长方形拼成一个新的图形并求它的周长（浙教版第5 页题3，人教版第85 页题4）。要解决这个问题，就需要学生具备良好的空间观念，这符合思维水平4.1。

在浙教版中还出现了利用小正方形拼出固定周长的多边形（浙教版第100 页，在4×4 的点子图上，画出周长是12cm 的图形，点与点之间的距离都表示1cm），学生需要在长方形周长公式的演绎过程中，推理和归纳出有公共边图形的周长公式，这符合几何思维水平4.2。

三、研究结果

根据笔者建构的评价类目分析表，以“题目”为单位，将《长方形的周长》这节课中所有的例题和习题进行编码和归类，对比分析浙教版和人教版各类目占题目总数的比例，进一步揭示浙教版和人教版教材内容中几何思维水平的情况。

1.两个版本教材主类目所占分量的分析。

以两个版本的主类目的占比来看，两版的教材内容都以“3.问题解决”所占的分量最多，其次是“4.空间观念”，再其次是“2.长方形的周长分析”，最少的是“1.长方形周长的辨认与建构”。

浙教版教材各种水平习题相对均衡，在“1.长方形周长的辨认与建构”“2.长方形的周长分析”“4.空间观念”这三个水平的占比都比人教版高；而人教版则特别集中在“3.问题解决”水平，从而在这个水平上占比高于浙教版。

2.两个版本教材次类目所占分量的分析。

表2 两个版本教材次类目占比分布表

以两个版本的次类目分布来看，两个版本排在首位都是“3.2 应用周长公式解决问题”。浙教版排在前三位分别是“3.2 应用周长公式解决问题”“4.2 根据长方形周长推理出多连方的周长计算方法”“4.1两个不同周长的长方形拼成新的长方形”。人教版在前三位分别是“3.2 应用周长公式解决问题”“4.1 两个不同周长的长方形拼成新的长方形”“2.2 测量长方形的周长”。

人教版在“1.1”“1.2”“2.1”“4.2”这四个次类目占比都是0%，说明该版本的教学内容在几何思维水平上有断层。

3.两个版本内容在几何思维水平分布分析。

两种版本教材在几何思维水平分布柱状图

总体来看，浙教版覆盖了范希尔几何思维前三个水平，其中以水平2 占的分量最大。而人教版在水平0 中的占比有所缺失。

对于水平0，如前述人教版有断层，而浙教维版安排了画一画的活动，让学生在实际操作中感知周长的构成，积累直观体验。

对于水平1，两个版本所占比重相似，浙教版比人教版略高，说明两个版本教材都比较重视分析长方形周长的组成要素及这些要素之间的关系，以此作为理解周长公式含义的基础。

对于水平2，两个版本教材所占分量都比其他两个水平要高得多，说明两个版本教材在《长方形的周长》这节课的学习中，教学目的旨在让学生掌握长方形周长公式，并灵活运用。

四、思考与启示

1.尊重儿童认知规律，注重课程内容的序列性。

范希尔理论指出，学生几何思维具有次序性，也就是说学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺利发展，必须掌握前一个水平的各个概念和策略。

对于低段的学生来说，思维还处于具体形象思维向形式化思维过渡的阶段，因此主要的学习任务是实现从水平0 到水平1 的发展，同时向水平2 过渡。

通过统计主类目和次类目的占比，我们可以看到浙教版在每个几何思维水平中都有一定的题目设计，更符合学生几何思维发展逐步递进的规律。特别的，浙教版在课程内容中设有“画一画”“量一量”等具体操作活动，让学生的从视觉、触觉等多种感官协同作用形成对长方形周长本质属性充分感知，从而为接下来的建构、抽象和应用等活动做好准备。

2.从多角度关注问题解决。

两个版本的教材都非常关注学生“问题解决”的几何思维水平。以人教版为例，共配备15 道习题，其中指向问题解决的有10 道，占比67%。且教材强调多角度利用学习的长方形周长公式进行问题解决，包括从直接应用公式解决问题到在具体情境中解决问题；从正向利用使用公式到逆向使用公式；从基本的使用公式运算到通过归纳推理得出有图形拼接产生公共边的长方形的周长的计算。问题解决的维度越多样，学生从中获得的数学知识和思维感悟也就越丰富，几何思维水平在其中得到提升。

3.从技能的熟练到能力的发展。

决定课堂成效的不只是技能的熟练度，还有在解决问题中表现出的思维的灵活度和思维的创新性。在常规的问题解决的基础上，浙教版还设计了不少有利于学生主动探索与创造的学习内容，拓展学生数学学习空间。

面对这样的问题（在4×4 的点子图上，画出周长是12cm 的图形，点与点之间的距离都表示1cm），有的学生是通过逐一增加方格数的方法解决问题。即要画出周长是12 厘米的图形，先考虑含4 条公共边的五连方图形，20－2×4＝12。继续考虑6 条公共边的六连方图形，24－2×6＝12……一直到九连方。也有的学生从特殊的周长是12 厘米的正方形着手解决，然后逐一减少方格数最后成为含有4 条边的五连方图形。

无论是正向的增加，还是逆向的减少，都是在综合地解决非常规的问题，在培养学生几何思维的灵活性和创新性上有所突破。

成功的几何学习常常表现出这样的特点，强调学生在主动构造自己的知识中的作用，他们并不是一味地识记那些形状、名称或规则，而是通过自己的操作活动，去努力感知概念、性质和过程，从自己的活动的系统模式中构建空间观念。

对两个版本的教材内容进行比较，不在于简单的评判高低好坏，而是要深入分析预期的课程，为教师的教学提供依据，作为参考，真正提升学生的几何思维水平。