例谈应用题在高中数学教学的能力培养

广东省佛山市禅城实验高级中学(528000) 陈智君

一、重视渗透数学知识产生的实际背景以及与生产、生活广泛联系

高考中出现具有实际背景的问题,对数学教学重视知识的应用起了导向作用.而学生应用意识的培养和应用能力的提高,教师除了在复习迎考阶段多做一些应用题以外,教师必须在思想上引起重视,在平常的教学中进行有目的的渗透.

因此我们在进行教学之前,要精心地设计教学方案,充分反映出数学与客观世界的内在联系,让学生充分意识到数学知识源于生产、生活.在新知识传授之前,我们可以有意识地设计与新知识有关的实际生活问题引起学生的悬念,从而激起学生用所学知识解决实际问题的强烈欲望.这样学生经过长时间的训练,他们必增强学数学、用数学的思想意识.

例如,学生在学习等差数列时,可以提出这样一个简单而富有趣味的问题:“我们到电影院看电影的时候,如果每行座位的座位数这样,第一行10个座位,第二行14个座位,第三行18个座位,如此类推.问第20行的时候有多少座位呢?此问题来源于学生们熟悉的生活,让学生想想如果逐一推导的话,计算是很麻烦的.从而引导学生想想各行座位数之间存在怎样的特点?从中引入等差数列的概念,并说明其学习的作用,这样将等差数列应用于生活实际之中,学生便体会学数学、用数学的意义所在.

二、教学中教师需重视数学建模能力的培养,把中学数学应用题作为教学的重要目标之一

将实际问题转化成数学问题,将文字语言转化成数学语言,这个过程就是数学建模的过程.由于学生长期接受纯数学问题的训练,缺乏对实际生活的认知,因而建模能力比较薄弱,高考中应用题学生得分偏低的现象就是有力的证明.这个问题应该引起我们足够的重视,因此平时教学中应注意对学生的数学建模能力的培养.

例如,在实际生产、生活最值问题随处可见,如施工中用料储备,制定计划的预算等等.现行中学数学教材中,大多数学问题以纯数学面孔出现.如果我们把这类问题改编为具有一定实际背景的应用问题,便可培养训练学生的数学建模能力.例如,将问题“当圆锥轴截面顶角一定时,求母线长与体积的函数关系”这个纯数学题,改编为具有实际生活背景的问题:“在一个顶角为60◦的圆锥漏斗的一条母线上,要刻上刻度,表示液面到达这个刻度时,漏斗液体的容积是多少,这些刻度的位置如何确定?”这样的教学设计既能加强学生双基训练,又培养了学生勇于研究和探究实际问题的能力,为今后综合运用知识打下坚实的基础.

三、教学中教师需加强数学模型构建后的通法教学,真正提高学生应用数学能力.

教师在指导学生进行数学建模后,需加强通法教学.教师中需注重建模的步骤与格式,以便大多数学生通过训练达到熟能生巧的目的.例如,在最值问题的探讨,其基本思想方法是通过构建函数关系然后求其最值.教导此方法有两个重要环节:一是教会学生合理选择参变量,变量不同,解法的可操作程度也不同;二是教会学生建立函数关系后,如何确定函数的最值.此环节包括最值的存在性研究及纯数学问题的通法与技巧,也是我们数学应用能力的培养中不可缺少的组成部分.

按模型所用数学知识与方法的不同,可分为函数模型、不等式模型、方程模型、数列模型、排列模型、三角型模型和几何模型的问题.而应用题主要考查学生的六种能力:阅读能力、逻辑思维能力、抽象概括能力、数学语言的转换能力、运算能力、分析问题解决问题的能力.而阅读能力和数学语言的转换能力则是应用题所具有的典型特征.

那么,对于高考中的应用题,我们应该如何培养学生的解题能力呢?其实高考试卷中应用题,大多贴题课本,贴近生活.因此,要培养学生的解答应用题的能力,我们在教学中应当让学生注意解题的四个步骤:

1、阅读理解:培养学生分析背景材料,分清条件结论,把握数量关系;

2、建立模型:让学生联想数学问题,运用数学语言,建立数学模型;

3、求解模型:教给学生运用思想方法,使用知识技能能力,从而求得数学结果;

4、还原实际:培养学生审视实际问题,验证调节结果,注意表达最后结论.

下面我们来看一道高考中函数应用题.

例1某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8 6x6 14时,淡水鱼的市场日供应量p千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:P=1000(x+t−8)(x>8,t>0),当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.

(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;

(2)为使市场平衡价格不高每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?

解(1)由已知条件求x=f(t).依题设有,化简得5x2+(8t−80)x+(4t2−64t+280)=0.当判别式∆=800−16t2>0时,可得,由∆ >0,t>0,8 6x6 14,得不等式组:解不等式组①得,不等式组②无解.故所求的函数关系式为,函数的定义域为.

该题取材于市场调节的实际问题,给出了有关的数学模型,为求目标函数及定义域提供了最明显、最直接的函数关系,试题有一定的阅读量.作为数学问题,本题涉及了函数、方程、不等式等多项内容,要明确函数的概念和性质,会解无理方程、无理不等式、一元二次方程、一元二次不等式,综合性强,考查有深度.其实函数的应用问题一直都是是考查的热点,所以我们在教学当中应多加留意.

最大、最小、最省、最低等最值问题,在现实生活中有着广泛的应用.解决此类问题,一方面我们应该引导学生构造函数,然后利用函数值域、二次不等式方程的判别式等数学方法求出最值.另一方面,我们也可以引导学生从求函数最值的常用的数学方法:均值不等式或运用导数,解决一些生活中的优化问题.

下面我们再来另外一道高考应用题:

例2建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方分别120元和80元,那么水池的最低总造价为?

又如有关数列应用的一道高考题目:

例3某养鱼场,第一年鱼的重量的增长率为200%,以后每年鱼的重量的增长率都是前一年增长率的一半.

1、饲养4年后,鱼的重量是原来的多少倍?

2、如果由于某种原因,每年损失预计重量的10%,那么经过多少年后,鱼的总重量开始减少?

分析我们在教学生解决这道题目的时候,应该先让学生想想如何建模.当然很多学生会想到用数列的问题解决.我们在教这道题目时应该引导学生注意读题,指出是增长率成等比数列而不是鱼量,再由增长率求出相应的鱼量,我们再引导学生运用由特殊到一般,归纳出递推关系,即建立递推模型.

综上所述,教师要使学生真正形成强烈应用意识的过程,我们必须精心设计教材内容,使学生认识数学知识源于生产、生活实际;教师在教学和解题当中应该不断提高学生的阅读能力、逻辑思维能力、抽象概括能力、数学语言的转换能力、运算能力和分析问题解决问题的能力.相信通过的培训,学生在数学应用方面学生的解题能力会明显提高.