发展思维能力的初中定理教学

广东省清远市连南县教育局(513300) 蓝海鹏

平面几何定理是初中“图形与几何”的重要内容,主要研究图形的性质与判定.在定理教与学的过程中,让学生经历探索、合作交流等活动,发展合情推理和演绎推理能力,提高“四基”、“四能”,培养创新能力,是新课程标准的要求.

现实中,我们不难发现初中定理教学存在许多问题:对课标要求不明晰、定理教学缺乏基本规范、探索活动无效或低效、忽略对定理的必要解释、命题证明缺乏思路引导、定理应用忽视思维能力的培养等.这样的教学,学生学起来倍感辛苦,教师教起来也吃力.新课程标准的“四基”、“四能”、创新意识等要求都无法落到实处,数学作为承载“学生终身发展”的素养培养目标更无从谈起.下面谈谈“发展思维能力”的初中定理教学的几点做法.

1.理解课标,明晰定理教学的阶段要求

北师版初中数学教材对于平面几何的教学采用了先分“两阶段”(探索阶段、证明阶段)后合二为一(边探索边证明)的处理方式:对与平行线、三角形有关的内容采用了分两个阶段学习的方式;对有关四边形、相似、圆等内容,采取了探索加证明的方式.这样处理是为了促进合情推理能力和探究发现能力的发展,同时为了降低几何入门教学的难度,充分发挥学生的主体性,激发学生的学习兴趣.因此,初中定理教学要重视在定理的探索过程中,发展合情推理能力;要重视在证明定理的过程中,发展演绎推理能力;也要做好定理的解释,让学生在理解定理的内涵、外延的基础上,知道定理“内容是什么”、“怎么样用”、“有什么用”,为灵活定理应用打下基础;还要在运用定理过程中,发展并提高“四能”.

2.设计定理探索活动,发展合情推理能力

有些教师认为,定理教学的关键是教会学生怎样运用定理解决有关计算或证明问题,至于定理的探索过程则可有可无.笔者认为这种观点是不对的.定理教学过程中,教师在应该设计恰当探索活动,发展合情推理能力.

案例1“三角形的中位线”定理探索

教师提出问题:观察△ABC中位线DE与三条边,猜想中位线DE与三边有什么关系?学生直觉猜想:DE平分AB、AC,DE与BC平行,DE等于BC的一半.小组合作学习:1-2组学生画锐角三角形,3-4组画直角三角形,5-6组画钝角三角形,并画出一条中位线.

图1

如图1,思考以下两个问题:

①DE与BC有什么位置关系?你打算用什么方法验证?

②DE与BC有什么数量关系?你打算用什么方法验证?

本案例中,在中位线定理探索活动设计时,将教材的问题抽象问题“三角形的中位线与第三边有什么关系”,变成具体的问题“DE与BC有什么位置关系?有什么数量关系?”以便学生开展独立探究活动.设计问题“你打算用什么方法验证”,鼓励不同层次的学生用自己的方式去验证,感受解决问题的多样化.学生的验证方法是多样的:一是用量角器测,根据平行线的判定方法可知它们平行;二是把∠AED叠到∠C处,发现两角也完全重合;三是用画平形线的方法推移三角板,从而验证这个结论是正确的.分组画图能确保学生采用测量法验证时,有全面、丰富的数据有力地说明猜想是正确的,在众多的特例下,用不完全归纳法总结出的结论显得更可靠.学生在经历“观察得出猜想——画图初步验证——问题引领探索”过程中,发展合情推理能力.

《义务教育数学课程标准(2011版)》明确指出:“推理包括合情推理和演绎推理.教师在教学过程中,应该设计适当的学习活动,引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律,猜测某些结论,发展合情推理能力”.因此,在定理探索过程中,应让学生体会“实验—观察—分析—猜想—验证”是研究问题的思维方法,体会“数形”结合和转化的数学思想,发展合情推理能力,体会与同伴交流、小组合作的乐趣,发挥学习的主观能动性,培养合作意识与能力.

3.重视定理证明,在思路探寻中,发展逻辑思维能力

通过探索得来的结论不一定是正确的.数学结论作为一个命题,是否为真命题还需要进行严格的证明.教师为学生的积极思考创设条件,鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,在交流中比较证明方法的异同,提高推理水平.

案例2“三角形的中位线”定理证明

图2

图3

图4

图5

然后,教师画出分析思路图,学生写出证明过程.最后,教师根据学生的课堂反馈,进行及时引导:还有其他方法吗?除了“补”法和“割”法,课外阅读教材还提供了“旋转三角形”方法.

证明思路的探索是本节课的难点,本案例为了突破难点,采用分析法.学生没有证明过“某线段等于另一线段的一半”这样的结论,教师引导学生先从“平行于第三边,并且等于第三边的一半”引发联想,根据平行四边形的判定定理得出平行、启发构造平行四边形,这样,添作辅助线就顺理成章了.在思路探寻过程中,鼓励学生多想办法,从结论出发一直追溯到已知条件,如果走不下去,就要调整思路.在探寻解题思路时,尝试用分析思路图,帮助学生理清思路,明晰推理的框架,便于学生写出证明过程,总结证明方法.寻找最简单的思路,让思维得到优化,发展学生的逻辑推理能力和发散思维能力.

4.多元表征,在定理的解释中,发展思维能力

在初中阶段,应把“证明”作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生知道合情推理和演绎推理是相辅相成的两种推理形式.“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受,对证明基本方法的掌握和证明过程的体验.因而,定理教学在理解定理的内涵、外延的基础上,进一步明晰使用范围和用法,理解定理本质,提高灵活应用知识的能力.

案例3三角形全等的条件“边边边”的解释

第一步,在探索出三角形全等的条件“边边边”后,教师鼓励学生用三种语言表述由探索活动得出的结论.

文字语言:三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.

图形语言:如图6.

图6

符号语言:在△ABC和△A′B′C′中,因为AB=A′B′,BC=B′C′,CA=C′A′,所以△ABC△A′B′C′(SSS).

第二步,给予学生规范的演绎推理示范

练习题如图7,AB=AC,BD=CD,那么△ABD和△ACD全等吗?请说明理由.

图7

解,理由如下:

因为在△ABD和△ACD中,( )=( )(已知),

BD=CD( ),( )=( ) (公共边),

所以△ABD△ACD( ).

第三步,这个定理有什么用?(证明两三角形全等,证明线段、角相等)

这个案例中,明晰定理的三种语言:“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”之间的转换,达到深入理解定理的目的,让学生知道定理隐含的推理结构;采用填空题形式,让学生挖掘出图形隐藏的条件“公共边”,并在耳濡目染,自然而然的过程中学会“边边边”公理的规范推理过程.明晰定理的用途,及时建构,把通过用“SSS”证明三角形全等进而证明相等线段、角线段的方法纳入到“证明线段相等、角线段的方法”的方法体系中.

5.设置有思维梯度的习题,在定理应用过程中,发展各层学生的思维能力

把握定理的应用过程,通过设置有思维梯度的习题,让各层学生都能够参与练习提高,引领他们最大限度地发展思维能力.

案例4“三角形的中位线”应用

5.1 初步应用

已知:如图8,DE是△ABC的中位线.

图8

(1) 若 ∠C=55◦,则 ∠BED=____◦.

(2)若AC=12cm,则DE=____.

(3)若DE=8cm,则AC=___.

(4)若DE+AC=24cm,则AC=____.

(5)若△BDE的周长是 32cm,则△ABC的周长是___.

5.2 拓展应用

1.议一议:如图9,任意画一个四边形,以四边的中点为顶点组成一个新四边形,这个新四边形的形状有什么特征?请证明你的结论,并与同伴交流.

2.问题解决:如图10,A、B两点被池塘隔开,在没有任何测了工具的情况下,小明通过下面的方法估测出A、B间的距离:在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别步测AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,那么A、B两点的距离是多少?为什么?

图9

图10

本案例中,设置具有梯度性的变式题组,在应用中深化对定理的理解,提高分析和解决问题的能力,定理的实际运用能力,考查学生综合运用能力.

定理教学一般要经历“问题情境——猜想、验证——得出定理——定理解释——应用巩固”等五个环节,不少青年教师愿意花较多时间在“应用巩固”,最容易忽视的是“定理解释”.本设计重视定理探究前问题情境的设计、探究过程中猜想与验证活动的组织,注重“定理解释”,揭示定理的内涵和外延,让学生知道定理“是什么”(用三种语言表述)、“有什么用”、“怎么用”(推理格式),这为学生在“应用巩固”环节独立、灵活地运用新知解决问题打下良好的基础.初中定理教学应当掌握基本的规范要求,组织恰当有效的数学活动,充分发挥其作用,发展学生的思维能力.