数学函数模型在解决实际问题中的巧用

福建省梅列第一实验学校(365000) 郑培珺

新课标强调数学与人的发展和现实生活之间的联系,因此重视开展数学应用教学活动是十分有必要的.数学模型的思想方法在真正意义上将“学数学”与“用数学”紧密结合在了一起”.函数是中学最重要的基础内容之一,因此建立函数模型的思想方法成为解题的重要手段.本文就针对中学中建立函数模型这一思想方法以及它的实际应用展开讨论.

1.函数模型

在中学数学中,函数占据着举足轻重的地位.数学和生活是相通的,其中函数就是刻画现实世界变量之间关系的一种非常重要的模型.当实际问题中的事物存在某种联系时,可以用某种关系将事物之间的这种联系表示出来,探索出来的这种关系往往是现实问题中的规律,而在数学中,所探索出来的数量关系或变化规律其实就是各种函数所构成的函数模型[2].

2.函数模型在中学数学中的应用

函数是中学数学最重要的工具性知识之一,其涉及的内容十分广泛.在生产、生活实际中,有大量的实际问题必须依赖函数模型加以解决,比如经济中的利润最值问题,生物中的细胞分裂问题,测量问题等.下面具体分析各类函数模型在中学数学中的应用.

2.1 幂函数模型

幂函数模型是指通过幂函数建立起来的数学模型.形如y=axn+b,0的函数叫做幂函数.随着指数n的不同,幂函数会表现出一些特殊的性质,就中学阶段而言,一次函数模型和二次函数模型是运用得最多也是最重要的两类幂函数模型.下面针对这两类特殊的幂函数模型作具体介绍.

2.1.1 一次函数模型

一次函数模型即能用一次函数表达的数学模型叫做一次函数模型.解析式是y=kx+b(k,b为常数,0),一次函数的解决题大致可以分为两类:

(1)行程问题

考察路程与时间或速度在不同阶段的函数关系,这类试题一般会给出路程–时间或路程–速度的函数图象,需要考生数形结合,得出函数解析式.

(2)决策问题,探求最优解.

往往与方程、不等式(组)结合在一起,需要灵活运用不等式(组)及一次函数的性质,确定自变量的值,进而对问题作出合理决策.

下面就以决策问题为例,来说明如何运用一次函数模型解答实际问题.

例1某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元,厂方在开展促销活动期间,先后向客户提供两种优惠方案:①买一套西装送一条领带;②西装和领带都按定价的90%付款,某商店老板现要购买西装20套,领带条x(x>20).请你帮老板制定最省钱的购买方案[3].

解析这是一道结合实际设计的商品经济问题,其背景是所熟知的购买问题.由题可知,问题是要设计出最省钱的购买方案,因此必须先要进行购买方案的设计,题目已经给出了两种优惠方案①、②.但是要注意第③种方案的设计:同时选择①、②两种方案,具体说就是先按照方案①购买20套西装,使免费得到的领带最多,再按方案②购买余下的领带.根据三个方案,可以很容易地表示出购买总价钱与购买西装、领带之间的数量关系,再将数量关系转化为数学符号,建立一次函数模型.方案①需付费为:20套西装的总价钱+20条以外的领带的价钱,200×20+(x−20)×40=40x+3200(元);方案②需付费为:西装和领带的总价钱×90%;(200×20+40x)×0.9=36x+3600(元);方案③需付费为:20套西装的总价钱+20条以外的领带的总价钱×90%.200×20+(x−20)×40×0.9=36x+3280(元).接着根据三个一次函数,判断当自变量x(x>20)变化时,选择什么方案最省钱.比较方案②和方案③,无论x取何值3600+36x>36x+3280恒成立.所以方案③比方案②更省钱.这样问题就转化为了方案①与方案③的比较.设y=(40x+3200)−(36x+3280)=4x−80(元).当y>0时,可得x>20,即当x>20时,方案③比方案①更省钱.

总结此题考查的知识点是一次函数模型的应用.解决问题时要先读懂题意,找到所求的量的等量关系,建立一次函数模型,然后根据自变量的变化范围,通过不等式确定购买方案.一般从实际生活中观测得到的数据间存在线性关系时,用一次函数加以解决.

2.1.2 二次函数模型

二次函数模型即用二次函数表达的函数模型.二次函数的解析式有三种:一般式为y=ax2+bx+c(0,a,b,c为常数);顶点式为y=a(x−h)2+k,顶点为(h,k);交点式(与x轴)为y=a(x−x1)(x−x2),0.可用于求销售利润的最值问题、几何图形变换中建立函数关系式的问题、以抛物线形为基础的实际问题都需要在实际的情景中去理解、分析所给的一系列数据,舍弃与解题无关的因素,建立数学模型.

有关二次函数的应用题按照是否需要建立平面直角坐标系可以分为两类:

(1)不需要建立平面直角坐标系.这类题目关键是要求出二次函数的解析式,二次函数的解析式分为顶点式,一般式和交点式,要根据实际问题所给的条件选择合适的解析式,接着只需运用二次函数的主要性质,如单调性、奇偶性、对称性、最值等,必要时结合二次函数图形求解出函数模型.

(2)必须建立平面直角坐标系.这类题呈现的方式主要是以抛物线为基础的实际问题,如拱桥问题,首先要将拱桥抽象为抛物线,然后结合实际问题中的条件,建立坐标系求出抛物线的解析式.平面直角坐标系选择的一般原则是使得出的二次函数的解析式最简单,因此要学会巧妙地选择直角坐标系的位置.

例2如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边=靠墙,如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为xm,

图1

(1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m?

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m?

比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

总结利用二次函数可以解决实际生活中的许多求最大或最小值的问题.此题借助二次函数,进行数学建模,从而解决面积最值问题.所以在处理相关图形面积最值问题时,一般是利用图形的面积公式,找出函数关系,建立模型,此时十分重要也是极易遗忘的是考虑自变量的取值范围,最后在自变量的取值范围内根据函数的性质、图像等求出函数最值.二次函数模型应用十分广泛,在中学数学中,二次函数模型经常是在解决用料最省、造价(成本)最低、利润最大、物价、产量等问题时建立起来的.

2.2 三角函数模型

能够用三角函数表达的数学模型即三角函数模型.比如正弦函数的解析式可表示为y=Asin(ωx+φ),其余五个三角函数的解析式与正弦函数类似.三角函数最显著的性质就是周期性和对称性,因此三角函数模型通常是用来描述客观世界中具有周期性变化现象的数学模型.

将实际问题转化为与三角函数有关的问题,常见的形式有:求出三角函数的解析式;画出三角函数的图像以及利用函数的性质进行解题.这类题型常常与航海、测量角度、摆动、振动等问题联系在一起,也会涉及一些几何图形,题中常会出现坡度、仰角、俯角、视角、方向角和方位角等术语.

解三角函数模型常出现的情形是:实际问题抽象后,已知量与未知量集中在一个、两个甚至几个三角形中,再使用正弦定理、余弦定理或三角函数的相关性质如周期性、最值、单调性、对称性等解题.为了解题方便,应尽量将已知或未知量集中在一个三角形中,而且通常设角为变量,之后再建立解三角形的数学模型.当然三角函数模型并不是只局限于以角为自变量.下面以一个具体实例来体现三角函数模型的应用.

例3某一房地产开发商买了一块地,地形如图所示AOB,近似如扇形,已知扇形AOB的半径约为R,中心角∠AOB约为60度,现在开发商准备把此地建设成为一个矩形的小区,即图中的EFGH,为了充分地利用土地,请问F选在什么位置时,矩形EFGH的面积最大,并求出这个最大值[5].

图2

解析本题通过开发商建小区这个背景引入数学扇形、矩形、中心角等术语,可见这又是一道结合实际求矩形面积最值的问题,因此很自然立刻想到应该要构造矩形的面积函数,那么如何选择自变量才便于表达矩形的面积成了解决本道题的关键.同样是有关面积最值题目,本题不同于例2,如果仍以长或宽为自变量是无法解决问题的.其实题目中的“中心角60度”已在暗示本题可能要用到三角函数.为了更直观地理解题意,本题需要结合图形,如图,可以很清楚发现连结OF可以构造出直角三角形,直角三角形是中学作用非常大的图形之一,本题就可以通过设角为自变量,用角表示出边,进而表示出矩形的面积函数.

总结本题设角为变量,列出了一个关于正弦的三角函数,再通过和角公式、差角公式、正余弦有界定理等三角知识求出最值.简而言之就是研究面积与角之间的函数关系,建立三角函数模型.由本道题可以发现,在解答有关三角函数问题时,应尽量设角为自变量,并尽可能构造直角三角形,比如添加辅助线,甚至直接作高线,因为直角三角形是较为熟知的几何图形,直角三角形特殊的性质可以使边角关系很容易地找出,从而构造出应变量与自变量之间的函数关系,最终建立三角函数模型.其次,有时建立三角函数模型图形是必不可少的工具,图形的直观性会让解题者更快地找出边角关系.

2.3 指数函数、对数函数模型

在数学中指数函数模型是指一类能用指数函数表达的数学模型,形如y=ax(a>0且1,x∈R)的函数叫做指数函数.类似地,对数函数模型:指能用对数函数表达的函数模型,形如y=logax(a>0且1)的函数叫做对数函数.

由于指数函数这种爆炸性增长方式的特点,使得指数函数模型多适用于细胞分裂、人口增长、银行利润增长、银行储蓄等经济生活和社会生活问题中.而对数函数的增长方式常被形象地称为能量渐失,因此在价格与利润,收入与成本、人口等生产、生活及航天等领域对数函数模型有着比较广泛的应用.

在建立函数模型方面,有的可以通过分步骤找规律得出函数关系式,有的则须通过题目所给数据进行绘制部分函数图象,由图象的直观性以及已知的熟悉的函数图象来猜测可能是哪种函数模型,比如处理人口问题时,就必须先根据题目所给的数据绘出部分图像,看看类似于学过的哪种函数的图像,将可能的这几种函数进行误差比较,最后确定出具体的误差最小的那个函数.要注意的是建立的函数模型与实际数据可能还会有一点点误差,但这是不可避免的,这样的模型称之为近似模型.

例4有按复利计算利息的一种储蓄,设本金为1000元,每期利率为2.25%.不计利息税.

(1)计算10期后的本利和是多少?

(2)计算存款几期后本利和超过2000元?

解析这是一道以银行储蓄为背景的应用题,涉及到建立指数函数模型,但要马上建立起指数函数模型难度还是相当大的,不妨先分析下题目:现有本金1000元,要求10期后的本利和,这里就又涉及到“复利”、“本利和”、“利息”等专业术语.要知道利息=本金×利率,本利和=本金+利息,接着可以先试着考虑1、2、3期后的本利和,看看有什么规律.至于第(2)题显然与第(1)联系,因此关键解决第(1)问.

(1)1期后本利和:1000+1000×2.25%=1000×(1+2.25%),

2期后本利和:1000×(1+2.25%)+1000×(1+2.25%)×2.25%=1000×(1+2.25%)2,

3期后本利和:1000×(1+2.25%)2+1000×(1+2.25%)2×2.25%=1000×(1+2.25%)3.

设本利和为y,存期为x,由前面3期的本利和变化规律可以推断,如此不断进行下去,本利和y与存期x之间的函数关系为y=1000×(1+2.25%)x.那么10期后的本利和,即当x=10时,y=1000×(1+2.25%)10≈1249.2,所以10期后的本利和约为1249.2元.

总结本题是以复利储蓄为实际背景的数学应用题,要解答本道题需要先建立指数函数模型,为此,必不可少的步骤是进行列举前几期本利和,从而找出本利和与存期之间的函数关系.一旦构造出指数函数模型,那么后面的问题只需运用指数函数、对数函数的有关性质就可以迎刃而解了.

用函数模型解决实际问题,就是要把实际问题抽象为数学问题,然后分析其中的已知量、未知量以及等量关系,由此列出函数关系建立相应的函数模型,通过推理演算并反复检验得出合理的解,最后将所得结果返回到实际问题中,使这个结果在实际问题中能得到合理的解释,从而解决了实际问题.