解析几何中代点配凑法的解题范式研究

薛红利

【摘要】 代点配凑法是解析几何学习中重要的解题方法，是“点差法”运算的深化，本文主要探究代点配凑法的解题定式和应用.

【关键词】 代点配凑法;点差法;解析几何

高考试卷中的解析几何题中如何消去参数，是干扰学生得高分的“瓶颈”，而“代点配凑、代入消参”是重要的解题方法之一，它是“点差法”运算的深化，也是“先局部，后整体，有序地运算”的深化.本研究主要讨论代点配凑法的解题定式.

案例呈现  椭圆的中心为原点O，离心率e=  2  2 ，一条准线的方程为x=2 2 .

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程.

（Ⅱ）设动点P满足OP =OM +2ON ，其中M，N是椭圆上的点.直线OM与ON的斜率之积为- 1 2 .是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标;若不存在，说明理由.（试题来源2011年高考重庆卷理科）

案例分析  （Ⅰ）由题可得出椭圆的标准方程为 x2 4 + y2 2 =1.

（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

由OP =OM +2ON 得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x=x1+2x2，y=y1+2y2.

因为点M，N在椭圆 x2 4 + y2 2 =1上，

所以x21+2y21=4，x22+2y22=4，

故x2+2y2=（x21+4x22+4x1x2）+2（y21+4y22+4y1y2）

=（x21+2y21）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=20+4（x1x2+2y1y2），

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，

kOM·kON= y1y2 x1x2 =- 1 2 ，因此x1x2+2y1y2=0，

所以x2+2y2=20，

所以P点是椭圆 x2 （2 5 ）2 + y2 （ 10 ）2 =1上的点，

设该椭圆的左右焦点为F1，F2，

则由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|为定值，

又因为c= （2 5 ）2-（ 10 ）2 = 10 ，

因此两焦点的坐标分别为F1（- 10 ，0），F2（ 10 ，0）.

思路梳理  通过上面案例，我们可以梳理代点配凑法的解题模式为：

（1）代点：因为A（x1，y1），B（x2，y2）在曲线F（x，y）=0上F（x1，y1）=0，F（x2，y2）=0;

（2）配凑：按照求解目标，两式相加或相减，得到关于x1，x2，y1，y2的整体关系式;把上述关系式，配凑为含有F（x1，y1），F（x2，y2）的式子，从而整体消除部分表达式，得到一个新的关系式f（x1，y1，x2，y2）=0;

（3）代入消參.

深入探究  已知P，Q是椭圆T：x2+2y2=1上两个不同的点，满足|OP|2+|OQ|2= 3 2 ，求证：|kOP·kOQ|是定值，并求这个定值.

解  设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x21+y21）+（x22+y22）= 3 2 .

① 代点：x21+2y21=1，x22+2y22=1;

② 配凑：  1 2 x21+ 1 2 （x21+2y21） +  1 2 x22+ 1 2 （x22+2y22） = 3 2 ;

1 2 x21+ 1 2  +  1 2 x22+ 1 2  = 3 2 x21+x22=1.

③ 代入消参：（kOP·kOQ）2=  y1y2 x1x2  2= y21y22 x21x22

=  1 2 （1-x21）× 1 2 （1-x22） x21x22 = 1 4 × 1-（x21+x22）+x21x22 x21x22

= 1 4 × 1-1+x21x22 x21x22 = 1 4 |kOP·kOQ|= 1 4 =定值.

分析  求定点定值和轨迹方程时常常用到“代点配凑、代入消参”的解题模式，在探求处理定点、定值、定形问题时，它仅仅是一种方法，并不是所有的问题都必须采用，不要构成错误的“思维定势”.从解题方法来看，它仅仅是“点差法”运算的深化，增加了“消参”环节，从而得到常数，所以求解时，可以按照“点差法”的模式，先局部，后整体，有序地运算，处理好整体与局部的关系，提高解题能力.

【参考文献】

[1]张同君.中学数学解题研究[M].长春：东北师范大学出版社，2002.

[2]秦德生.美国中小学“估算”课程设计及其启示[J].外国中小学教育，2013（12）：50-54.

[3]韩晓刚.“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问题[J].学周刊，2011（4）：132-133.