浅谈不等式证明题的常用方法与技巧

李阳刚

摘 要：一般來说，不等关系以及相等关系是数学中最为基本的数量关系。不等式的内容在高中数学的教学内容中占据着重要的比重，它是高中数学非常重要的知识点，在日常生活、学习中不等式的证明方法以及相关的应用都会得到相应的体现。在高中不等式的教学过程中，不等式的证明方法是丰富多样的。主要介绍了一些能够有效证明常见不等式的解题思路和技巧，希望对学生解决不等式问题有一些帮助。

关键词：不等式证明；方法与技巧；教学策略

不等关系是在客观世界中广泛存在的一种基本关系，其中，各种类型的不等式在现代数学的各个领域中都应用得较为广泛。不等式，即利用不等号（“<”“>”或者是“≠”）来表示不等式关系的式子。在高中数学不等式的证明过程中，其证明方法都有相对应的技巧和模式，利用绝对值来求解不等式、结合分段讨论的方法求解不等式法、综合法、放缩法、比较法、换元法等都是证明和求解不等式的简便方法。因此，在数学的学习过程中，教师要引导学生结合不等式题型的特点，合理地选用不等式证明方法和技巧，通过简便的途径来有效地解决问题，提高解题效率。以下我们就来实际列举一些不等式证明的常见方法与技巧。

一、利用绝对值解不等式

在高中数学的不等式解题过程中，处理绝对值样式的不等式的解题思路在于将绝对值不等式转化为非绝对值的不等式。绝对值本质上表示数轴上的点位于原点之间的距离，所以教师只有帮助学生清晰地认知绝对值的含义，才能够帮助学生在理解的基础上，透彻地掌握绝对值解不等式的解题思路，有效地证明不等式。

例如，在证明“不等式x-3-x+5>2成立”的过程中，x-3可以表示为数轴上的点到3的距离，那么相应的x+5就表示为数轴上的点到点-5之间的距离。那么，不等式x-3-x+5>2的解则会体现在数轴中，所以，教师就可以引导学生：数轴上的点距离3的长度与点到-5的长度之差能够大于2的所有点都满足这个不等式的解，则有了以下证明。

二、换元法证明不等式

在众多的解题方法中，换元法可以针对性的解决一些形式上较为复杂的不等式题型，在观察不等式的结构中寻找解题突破口，采用变量代换的方法，将生疏的公式结构转变为重要的不等式结构，从而简化形式，有效地证明不等式。这种换元的方法可以提升学生的思维灵活程度，锻炼学生的代替能力，给学生提供更加多样的证明方法。

例如，在证明不等式x-1<2成立的题目中，可以采取以下方法。

证明：将字母x设置为未知数，当x取某一个数值a的时侯，x-1的值就会小于2，也就是说当x=a时，不等式x-1<2就会成立；而当x取另一个数值b的时侯，x-1的值不能小于2，即当x=b时，不等式x-1<2不成立。

三、综合法证明不等式

在高中不等式证明的解题方法中，综合法也是一种思路较为清晰，过程较为便捷的方法。这种方法有利于巩固学生的不等式知识基础，使学生能够灵活应用不等式的性质来解决常见问题。

四、反证法证明不等式

所谓反证法，就是利用逆向思维，从否定的角度出发去推翻所给的结论。通过缜密、正确的推理过程，最终必然可以引出一个相对于结果矛盾的现象，从而肯定了原命题的准确性。这种反证法可以培养学生的逆向思维意识，让学生通过结果去反推过程，最终证明原命题的错误，快速准确地证明不等式。

总之，在高中数学的不等式证明学习阶段，不等式的证明方法是多种多样的，为了帮助学生更快掌握较为便捷、有效的证明方法，在不等式教学过程中，教师要摒弃传统的单纯讲解的教学模式，注重教授给学生灵活简便的不等式解题思路，使学生在理解的前提下，充分掌握各种不等式证明的技巧和规律。同时，教师还要引导学生在解题之后对题目及时归纳和总结，帮助学生达到活学活用的学习目标，提高数学课堂的教学效率。

参考文献：

[1]唐秀颖.数学题解辞典[M].上海：上海辞书出版社，1984.

[2]蒙诗德.数学分析中证明不等式的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2009，25（9）：20-22.