“翻”“转”变换下的离散到集中*——浅谈图形变换在勾股定理中的应用

☉江苏省苏州工业园区星海实验中学 王 敏

一、教学背景

1.背景介绍

苏州工业园区星海实验中学江苏省“十三五”规划“教师发展专项”课题，聚焦课堂教学实践，侧重拓宽国家课程二次开发的课堂教学表现维度，加深、提高教师对国家课程及其教材的理解、把握、统整的能力，进而促进教师教学能力的提升.在此目标下，以“根据校情，学情，对教学内容进行适切的变式、拓展、深化，探索有深度的课堂教学”为“二次开发”的基本角度，在2018年11月23日江苏省教师发展基地教学展示活动中拟定课题为“‘翻’‘转’变换下的离散到集中——浅谈图形变换在勾股定理中的应用”.本课例是笔者执教该课的教学实录.

2.学情分析

本节课之前学生探索和证明了三角形全等的判定定理，学习了勾股定理，对勾股定理的使用有了比较好的掌握，这些基础知识为本节课的学习奠定了良好的基础.

3.教学目标

本节课在学生已经掌握“勾股定理”这一基础知识之上，通过旋转和翻折两种图形变换，完成辅助元素的添设，变离散为集中，化难为易，达到解决问题的目的.在教学过程中，自然渗透转化与类比的思想，让学生体验数学思想方法的重要性.教师通过变式，引导学生感悟图形变化过程中不变的本质与内涵.

二、教学过程

章建跃指出：“教好数学”的内涵应该是“为学生建构前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”.基于上述观点，笔者设计了如下教学过程.

1.复习引入

师：前面我们学过勾股定理，请同学们一起来回忆一下勾股定理的内容.

生众：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC2+BC2=AB2.

师：大家之前也学过全等三角形和图形的变换，今天老师将两个有公共顶点的等腰直角三角形结合旋转和翻折一起来研究，看看能得到哪些美妙的结论.

设计意图：通过提问复习旧知，交代背景，明确新知生长点，建构知识体系，激发学习兴趣，让学生产生进一步探索与研究的欲望.

2.小试牛刀——初露锋芒

师：课前大家完成了小试牛刀，下面请一位同学来说说自己的证明方法.

小试牛刀1：如图1，∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2+AD2=AB2.

图1

图2

生1：连接BE.证明△ACD △BCE.因此 AD=BE，∠D=∠BEC.因为∠DCE=90°，所以∠D+∠CED=90°.故∠BEC+∠CED=90°，即∠AEB=90°.所以AE2+BE2=AB2，因此AE2+AD2=AB2.

师：很好！这位同学对图形的观察能力很棒，能够通过三角形全等转移线段，实现变离散为集中的目的，从而得到要求证的结论.

师：小试牛刀1中点A在线段DE上，现在老师让点A动起来，当点A运动到E点右侧时，上述结论是否依然成立？

小试牛刀2：如图3，∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，△ABC的顶点A在直线DE上（E点右侧），求证：AE2+AD2=AB2.

图3

图4

师：哪位同学能解决一下这个问题？

生2：结论依然成立.连接BE.证明△ACD △BCE，因此AD=BE，∠D=∠BEC，所以∠AEB=90°，则AE2+BE2=AB2，因此AE2+AD2=AB2.

师：该同学思路清晰，点赞哦！

设计意图：小试牛刀1和2立足学生已有水平，通过三角形全等，实现线段的转移，变离散为集中，从而证得结论.这两种情况，为后续的探究奠定基础，同时激发学生潜能，为学生的能力发展提供可能.

3.例题讲解——崭露头角

师：刚才的证明都运用了三角形全等，其实我们可以把其中一个三角形绕着顶角的顶点旋转，就可以得到另一个三角形（见等腰想旋转）.下面我们用旋转变化的方式研究例题.

例题：如图5，在同一个平面内，将两个等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°.若△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）.求证：BD2+CE2=DE2.

图5

图6

师：待证明的结论与线段BC以下的部分没有关系，我们可以把线段BC下面的部分删掉，在相对简单的图6中完成证明.下面请大家用旋转变换的方式尝试一下.

生3：将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转90°得到△ACD′，连接D′E，则BD=CD′，AD=AD′，∠BAD=∠CAD′.因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠BAD+∠EAC=45°，故∠CAD′+∠EAC=45°，即∠D′AE=∠DAE=45°.又因为AD=AD′，AE=AE，从而得到△DAE △D′AE（SAS），所以DE=D′E. 因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACE=90°，故∠ACD′+∠ACE=90°，即∠ECD′=90°，所以CD′2+CE2=D′E2，从而BD2+CE2=DE2.

师：很好！大家能活学活用.除了旋转变换，我们还学过翻折变换，大家思考一下，这个问题能否用翻折变换解决？

生4：刚才生3证明了△D′AE △DAE，我们可以考虑将△ADE沿着AE翻折得到△AD′E，再证明△D′AC△DAB，继而证明BD2+CE2=DE2.

师：太棒了！这位同学观察仔细，能够看到问题的本质，此处应有掌声（学生鼓掌）.这个问题的具体证明留给大家课后完成.

设计意图：例题与小试牛刀相互联系，又有一定的梯度，螺旋上升，这种立足于学生已有经验和最近发展区的、能以“不变”应“万变”的通法符合学生的认知规律.

4.例题变式1——乘胜追击

师：将例题中的△AFG绕点A旋转，得到图7，关系式BD2+CE2=DE2是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

图7

图8

师：请同学们动手在学习任务单上试试看.

生5：将△ACE绕着点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE′，连接DE′，证明△ADE △ADE′，继而可以证明BD2+CE2=DE2.

生6：将△ADE沿着AD翻折，得到△ADE′，证明△ABE′△ACE，也可以证得BD2+CE2=DE2.

师：看来大家都掌握得不错，下面老师继续将例题中的△AFG绕点A旋转.

5.例题变式2——攻坚克难

图9

图10

师：将例题中的△AFG绕点A旋转，得到图9，AG、AF所在直线与BC所在直线分别交于E、D两点，关系式BD2+CE2=DE2是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

学生思考了两分钟，仍然沉默不语，教师启发.

师：这里有等腰三角形，可以考虑旋转变换.AB与待证结论中的BD在一个三角形中，可以考虑旋转△ABD，实现线段BD的转移.下面请一个同学来完成证明.

生7：将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转90°得到△ACD′，连接D′E，则BD=CD′，AD=AD′，∠ABD=∠ACD′.因为∠GAF=45°，所以∠EAD=135°.又因为∠DAD′=90°，所以∠EAD′=135°，故∠EAD=∠EAD′. 又因为AD=AD′，AE=AE，从而得到△DAE≌△D′AE，所以DE=D′E.因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，故∠ECD′=90°，所以BD2+CE2=DE2.

师：该同学思路非常清晰，证明过程很有条理，老师希望同学们课后再用翻折变换的方式完成此题的证明.本节课同学们的表现非常棒.你们有哪些收获？

学生思考、讨论后纷纷举手.

设计意图：学生在解决问题时，需经历操作、观察、思考、归纳、推理等数学活动过程.当学生遇到困难时，教师需进行点拨和引导，促使学生进一步思考，在层层递进中把学生的思维引入“深水区”.

三、教后反思

通过这节课的尝试，我的体会有以下几点：

首先，如何激发学生学习的欲望？我在设计时，从学生熟悉的等腰直角三角尺入手，着眼于调动学生的积极性，挖掘出有价值的素材，对教材中的内容进行加工、处理、拓展和深化，探索有深度的课堂教学.

其次，感受图形变换对学生来说是一个渐进的认知过程.为了帮助学生合理选择变换的方式，我设计了题组，同时通过题组让学生掌握“变中不变”的数学思想.以例题为引导，教会学生方法，鼓励学生独立思考，尝试解决问题.随后以例题的两个变式为拓展，将课堂的探究式学习推向高潮.

最后，现在学生的学习存在误区，企图通过提前学，不断刷题来提高分数，使得有趣的数学学习变得越来越机械.本节课试图通过对以等腰直角三角形为载体的图形变换问题的探讨，以期达到帮助学生理清其中的变化规律，明确解决问题的方法.在探讨过程中培养学生良好的思维品质，帮助学生提高解决问题的能力.

在本节课的教学过程中，既有教师的有效组织与合理引导，又有学生的独立思考与合作交流；既有基础知识的教学、基本技能的训练，又有基本数学思想方法的感悟，还有数学思想方法的有机渗透.通过精心确定教学目标、教学重点和教学难点，例题的选择、内容的深化、教学流程的构思都旨在知识的形成过程中突出数学思维的培养，引导学生充分经历知识的建构过程，体验解决问题的成就感.F