提高学生“圆”部分审题能力的策略探究

张爱群

[摘  要] 圆部分问题除了题干给出的条件外，图形中还包含了较多的隐含条件，这就要求学生在审题的过程中两者兼顾. 文章列举了解决圆问题的两种解题策略，并结合实例做了审题分析，为学生审题能力的培养提供参考依据.

[关键词] 圆;审题能力;策略探究

平面幾何是初中数学教学的重要组成部分，它对学生的抽象思维有一定的要求，很多学生在平面几何面前存在较为强烈的畏惧情绪. 在平面几何部分的内容中，圆作为该部分的教学重点和难点，出题角度较为灵活，涵盖的知识面较为广泛，是教师教学关注的热点问题，很多学生在该类问题屡屡出错，其主要原因就是审题不清. 在初中数学教学中，为了提高学生数学应试能力，教师往往会采用题海战术，有的还会总结综艺类问题的解题方法和技巧，但在“圆”部分的解题中，有些学生还是大量出错，这就是没有注重学生在“圆”部分审题能力的培养. 审题是学生在解决数学问题时的第一步，想要准确解答数学问题，审清题意是关键.

去粗取精策略

很多“圆”部分的数学问题并不是精练准确的，它们给出的信息含量较大. 此外，除了题目中给出的已知条件外，受圆自身特点的影响，其图形自身也含有大量的蕴含信息，这就需要学生从复杂的题干中提取有用的解题信息. 如果学生在审题过程中不能够准确把握这些信息，厘清这些信息，就会陷入解题困境，导致解题出错. 因此，在审题过程中，去粗取精，寻找关键信息是培养学生审题能力的基础.

例1  如图1，圆O的半径为5，AB，CD分别是圆O的两条弦，其中AB=8，CD=6，MN是圆O的直径，AB⊥MN交MN于点E，CD⊥MN交MN于点F，P为EF上的任意一点，那么PA+PC的最小值是多少？

审题分析：题目中“P为EF上的任意一点，那么PA+PC的最小值是多少”成为一个动点问题，无形之中给题目增加了难度. 学生在审题的过程中会发现，题干中几乎所有的信息都是围绕AB和CD来展开的，但是依然需要学生去抓住解题的关键信息“MN是圆O的直径，AB⊥MN，CD⊥MN”，这时就可以根据圆自身的对称性的特点得出PC=PD，那么原题就可以转变为求PA+PD最小值的问题了，这样就可以顺利求解.

例2  如图2，圆O的直径AB=6，E，F将AB分成三等份，M，N是弧AB上的两点，且∠MEB=∠NFB=60°，那么EM+FN是多少？

审题分析：题干中仅通过“E，F将AB分成三等份，∠MEB=∠NFB=60°”去求EM+FN的值难度较大. 通过“E，F将AB分成三等份”这一条件就可以得出OE=OF， 又由∠MEB=∠NFB=60°就可以推出EM∥FN，这是解决这一问题的首要关键点. 然后，根据圆的对称性延长ME到点P，那么PE=FN，于是就将求EM+FN的问题转化为求PM的问题，题目就显得非常简单了. 如果学生在解题过程中，只是关注题目的表面信息，做不到去粗取精，那么整个题目的解题过程就会非常烦琐，甚至出现错误. 由此可见，审清题意在解题过程中非常关键.

例3  如图3，在圆O中，P是弦AB上一点，连接OP，并作PC⊥OP，点C落在圆O上，如果AP=8，PB=2，那么PC多长？

审题分析：该问题的题干信息相对较为简洁，如果因此粗心大意，不能够做到去粗取精也是难以找到问题的突破口. 题目要求PC的长度，但是题干给出的信息只有PC⊥OP，AP=8，PB=2，这就显得有些困难. 如果学生能够准确理解PC⊥OP这一关键信息，就可以非常容易地完成求解. 延长CP交圆O于点M，根据垂径定理就可以得知MP=PC. 又因为MC和AB是两条相交弦，根据相交弦定理就可以轻易地求出PC的长度. 在这一类题目中，圆的垂径定理是解题的重要突破口，但是题目中很少能够直接提示学生，这就需要学生能够去粗取精提取题目中的关键信息，审清题目.

审题过程中，学生如果能够做到去粗取精抓住关键信息，这不仅能够帮助学生完成审题，还能够拓展学生的解题思维，能够发现解题的新角度. 通过对关键信息的分析，能够有效地降低题目的难度，给学生提供更加便捷的解题思路.

等价变换策略

能够对数学问题中的不同语言进行灵活转化是学生审题的基本技能，在审题过程中，不仅要求学生能够将题干中的文字语言转化为数学语言，还要能够对题目中的条件进行等价转换. 尤其是在圆部分的问题审题中，要能够透过图形，翻译里面的集合信息，结合题干中的已知信息进行等价交换，这样才能够准确地把握考查点，顺利完成审题.

例4  如图4，在圆O上的四点A，B，C，D，弧AB等于弧BD，BM⊥AC交AC于点M. 求证：AM=DC+CM.

审题分析：通过题目的分析我们可以看出如果要证明AM=DC+CM，题干中的已知条件就显得比较少，很难找到问题解决的突破口. 结合图形我们可以发现，要求的DC和CM不在一条直线上，要求不在一条直线上的两条线段相加难度较大，我们可以借助圆的特征将它加以转化. 题目中弧AB等于弧BD，根据圆等弧对等弦和同弧对圆周角相等的性质，就可以得出∠BCA=∠BAD，BA=BD，这样通过等量关系转化就可以完成证明求解.

例5  如图5，在圆O中，A，B，C，D，E均是圆O上的点，并且AC为圆O的直径， 求∠A+∠B+∠C的度数.

审题分析：拿着这个问题，很多学生会感觉无从下手，因为题干中并没有出现角的度数，而问题的最终却要求∠A+∠B+∠C的度数，这就需要学生能够在题干中通过等价变换来寻找隐含的条件. 在圆部分的问题中，角在圆的求解和转化中运用较为广泛，题目中要求∠A+∠B+∠C的度数，通过弧与角的对应关系，就可以将要求的角的问题转化为弧的问题，∠A+∠B+∠C对应的角就是圆弧AC对应的圆周角，于是就可以求出∠A+∠B+∠C的度数.

例6  如图6，在圆O中有内接四边形ABCD，其中四边形的对角线BD平分AC于点E. 求证：= .

审题分析：题目中要求证明=，我们在几何证明题里很少看见证明两个数量关系相除的问题，我们可以先将它们进行转化，变成等积的形式AB·AD=BC·CD. 题目中已知BD将四边形ABCD分为了两个内接三角形，我们就可以向圆内接三角形的性质靠拢. 分别作AF⊥BD交BD于F，CG⊥ BD交BD于点G，那么就将求证=的问题转化为求证AF·d=CG·d的问题，于是解决该问题的关键就是要证明AF=CG. 结合题目中的已知条件，利用全等三角形的性质就可以求出AF=CG. 在该题中，通过对相关信息的两次等价变换将证明线段相除的问题转化为证明线段相等的问题，降低了题目的难度，为学生问题解答提供了便利.

圆作为一种特殊的图形，其内包含多种性质，在审题的时候不仅要阅读题干信息，还要了解圆图形中包含的信息，并且这些信息之间需要灵活的转换，这就要求学生对问题中的信息进行等价转换. 在关于圆的证明里边，角应用得最为广泛，圆中角的灵活性非常强，例如，圆心角和圆周角之间，已知其中一个角就可以求出另一个角;根据同弧或等弧对应的圆周角相等的性质，可以在圆上移动对应的顶点，探究问题的解决方法.

小结

审题是做题的前提和基础，是培养学生解题能力的关键，一个学生如果审题能力较强，那么就能够顺利读懂题意，就能够制定出正确的解题计划;如果学生审题能力较差，解决数学问题更是天方夜谭. 因此，在圆部分的教学中，除了教授学生必要的知识和技能以外，还要有意识地培养学生的审题能力，进而提高他们的解题能力.