一道三角恒等式证明的五种方法

孙风仪

三角恒等式的证明是高中数学学习中的一块重要知识点。由于其分析思路复杂多变，不少同学难以掌握和灵活运用。本文以高中数学中的三角恒等式的证明方法为例，尝试一题多解，能开拓解题思路，激发解三角恒等式的灵感， 培养数学学习兴趣。以期对该类知识点的掌握和灵活运用有所帮助。

该题是：证明： =

证法一：比较法。比较法是证明等式或者不等式常用的方法，也是比较两个实数大小的一种方法其理论依据是： ； ； .

- =

= = = 0

=

小結：根据要证 ，需证 。

证法二：切割化弦。切割化弦是处理三角题常用方法，尤其是同角三角函数之间的基本关系，一般地，一个式子有正切，余切或者正割，余割时，选择切割化弦。

左边 = = = = ①

右边 = = = = ②

= = = .

左边=右边。 =

小结：在证法二中的 ，这个等式： = 类似于人教版必修4第19页的例7，其证明方法也有很多种，下面给出一个利用正余弦倍角公式的方法，我们姑且称之为证法三。

证法三：利用倍角公式。由上法二得

= = = = =

= = = = =

=

小结：其中 = = 是正切半角公式的另外两种形式。

证法四与证法五：左到右或右到左：这也是证明等式的一种常用方法，即从一边推到另一边，一般都是从难到简，因为这道题左右两边形式一样，难易程度相同，故从左到右与右到左

都可。只需看清结论找准方向即可。

证法四：左边右边。

左边 = =

= =

= =

= = 右边

=

小结：方法四和方法五都是左边到右边，但分子分母原来的因子是不一样的，方法四是看看右边的分子部分寻求思路的。而方法五是根据右边的分母部分选择所配的因式，当然，这个题也可以从右边往左边证明，方法同上。

证法五：比例的性质。此种方法运用了初中学过的分比合比的性质.

∵tanx ∴ = --------③

∴ = = =

∴ =

再由③得 ： = 得：

= = =

∴ =

由于： = 前面在证法二中已证.

故： =

小结：在学习的过程中，进行解题训练时，可以偏重于某一个或某几个思路进行，待熟练掌握后，可以尝试着寻求另外的一些分析方法，拓展自己的思维空间，改善自己的思维方式，同时也有助于更好的掌握这方面的知识点，增强自己的解题能力。