化归思想在高中数学函数学习中的运用

摘  要：高中数学是一门对学生学习能力和思维能力都要求较高的学科，许多学生在高中数学的日常学习过程中习惯于使用直接的方式去解答复杂的题目，导致大量时间和精力被浪费，这些学生所欠缺的便是数学化归思想。化归思想是数学思想中较为基础的思想，教师培养学生的化归思想，不仅能让学生学会将复杂的数学函数问题转化成较为简单的数学问题，还有利于对学生逻辑思维能力的培养。基于此，本文探讨教师如何在高中数学的函数教学中引导学生运用化归思想。

关键词：化归思想;高中数学;函数学习

中图分类号：G427                       文献标识码：A                   文章编号：2095-624X（2019）42-0038-02

引 言

高中函数是高中数学中的重难点，复杂的函数问题一直是学生提升数学水平的拦路虎。化归思想着重将复合性未知问题分解转化为多个简单的已知问题，以此降低解题的难度，是学生解决高中函数问题的重要工具。从实践研究中可以得知，如果学生在学习中掌握并会运用化归思想，那么大多数复杂的函数问题都能够在转化后以较为简单的方式来解决。因此，教师在进行函数教学时，应当注重对学生进行化归思想的培养，并且引导学生在学习中正确而灵活地运用化归思想。

一、运用化归思想将未知问题化归为已知问题

将数学问题中的未知问题化归为学生已知的问题，是化归思想最基础的运用方式，也是解决复杂函数问题的重要方式。高中数学的知识点并不是孤岛式分布的，而是如同互联网的每个用户一般，看似独立，实际却互相联系，只有这样才能进行资源共享，以互帮互助的形式解决彼此的困难。在高中数学函数的教学过程中，学生往往会遇见一些看似复杂和新颖的题目，这些题目将多种函数形式结合在一起，往往令学生无从下手。但学生只要运用化归的思想，将复杂的东西化归成简洁的题型，解题方式便一目了然。

例如，在教学完“指数函数、对数函数和幂函数”之后，教师可以使用这样的题目培养学生遇见复杂问题时的化归意识。例如，已知f（）=，求f（t）。在数学中，教师一般会用t代替x，在设计题目时，教师便可以使用这个常识作暗示，发散学生的思维，引导学生自行领悟化归思想的使用方式。但在实践中，大部分学生是难以想到这样的方法的，教师便需要在学生思考之后对学生进行引导：“同学们，原题看起来较为复杂，如果用t=x2-1代入原式，那么这道题不就化归为我们较为熟悉的一元二次方程问题了吗？”在学生尝试化归解题之后，教师再展示完整的化归过程与结果，并且对换元部分的取值范围重点强调。

二、使用题根转化法降低题目难度

高中数学中大部分的复杂函数问题都是由简单的函数复杂化然后变形产生的，这些问题看似没有联系，但是具备相同的题根[1]。在实际教学中，教师应当引导学生掌握并学会正确运用题根转化法，通过题根转化法的应用，学生可以降低题目的复杂程度，快速且正确地求出正确的答案。同时，题根的存在也意味着变形题目以及多种解法的存在，教师教导学生运用题根转化法，同样也是在培养学生举一反三的解题思维，在教学之后，学生能够轻松自如地面对一个由题根衍生出的数学函数题型。

以不等式的问题为例，如题：|t2-5t+5|<1，这是一道简单的绝对值不等式题目，但在此基础上，教师可以通过对这道题进行局部代换，将这道题目复杂化，并以此训练学生的题根转化的意识和能力。例如，教师可以将不等式右边的常数换为代数式，如题：|t2-2t-6|<3t，这题并不难，思路依舊是将|f（t）|g（t）f（t）>g（t）或f（t）<-g（t）这样就在去掉绝对值后化归为学生熟悉的一元一次或者一元二次不等式组。当学生学会这种难度的题型变化后，教师再逐步深化题目的复杂程度，将原题转变成含两个绝对值的不等式，如题：|t-2|+|t+3|>5，之后还可以将其转变为含参绝对值不等式。

三、运用化归思想化复杂问题为简单问题

高中复杂的函数问题中，既有多个知识点结合的无直接解题法或者难以直接解题的问题，也有将单一知识点复杂化的问题，前一种问题可以使用化归思想将未知化为已知，同理，后一种问题可以使用化归思想将复杂化为简单。在面对单一知识点的复杂函数问题时，由于灵活思维能力和抽象思维能力的不足，学生对这些问题往往会有一种陌生感，感觉无从下手。而教师需要引导学生运用化归思想，找出恰当的解题思路，以更简单的方式求解出答案。

以复杂的不等式证明题为例，教师为学生设置讲解例题：设|m|≤1，f（t）=mt2+t+m，求证当|t|≤1时，|f（t）|≤。当遇见这个问题时，学生会下意识地认为可能是运用不等式的相关性质或者是二次函数的相关性质来解题，在解题过程中，学生逐渐意识到问题的复杂性，最后陷入僵局。当学生思路枯竭时，教师可逐步为学生做出引导，提示学生将表面上的二次函数问题简化。部分学生在教师点拨后能够快速解题，而当剩下的学生也进行了足够的思考后，教师便可以开始为全体学生展示化归思想的解题思路。教师将原题化简为g（m）=（t2+1）m+t，然后再结合题设条件，快速解决问题，并根据此题总结将明面上的二次函数问题化简为一次函数问题的方法。

四、化数归形，解决难题

数形结合是数学化归思想中重要的组成部分，在函数问题的求解中，将抽象知识化为直观的图像，不仅有助于降低解题的难度，也能够提示学生注意未知数的取值范围，防止学生因为取值问题解题失败。因此，在进行函数的教学时，教师可以在完成相关章节的教学后，设置复合型的题目，引导学生学习和掌握数形结合解题的方法。

以三角函数的复合型题目为例，教师为学生设置题目为求的最小值。本题无法使用不等式的相关解题方法求最值解题，而是需要学生化简原题，并且作出相应的图像，结合图像以斜率公式解决问题。教师首先将原式简化为，然后由斜率计算公式计算出动点B（2sina，sin2a）。当求出动点之后，便可以依据{，得到y=。当演示到这一步时，教师便可以让学生自行画图，并思考之后的解题思路，并且教师可到学生中检查学生是否能够消化刚才的内容。当然，最终的最小值便是动点与一次方程定点A所连直线的斜率。通过这道例题的教学，教师不仅能培养学生面对复杂问题时运用数形结合思想的意识，还能够让学生将函数、三角函数等多个章节的知识点联系起来，完善学生的数学知识结构。

结 语

综上所述，高中数学教学中，函数的相关问题是学生学习的重点与难点，而化归思想能够有效地提升学生对函数问题的学习和解答能力。在日常的教学过程中，教师需要引导学生学习和掌握化归思想在不同类型函数题目中的应用方式，让学生在面对复杂和高难度的函数问题时，能够及时使用化归思想，将无从下手的题目化归为简单、直观、熟悉的题型，然后正确且迅速地解题。

[参考文献]

吴进.化归思想在高中数学教学中的应用[J].中学数学，2018（01）：75-77.

作者简介：金鑫（1989.10—），男，江苏阜宁人，本科学历，中学二级教师，研究方向：高中数学教学。