浅谈如何讲好线性代数的第一节课

杜新伟

（吉林大学，吉林 长春 130012）

众所周知,高等学校中的大学生对其所要学习的专业课程,不管其对这门课程了解多少,他们都会主动地好好学习这门课程,因为他们知道将来从事他们本专业领域的工作时,会用到这门课程中的理论。但对于非数学专业的学生来说,绝大多数高校的理工科专业,学校都会开设线性代数这门课程,多数同学往往都是被动地学习,不知学习这门课程有什么用,尤其是对他自身专业来说有什么用。以至于对非数学专业的学生来说,学习数学课程都是一件苦恼的事情。

俗话说,万事开头难,如何上好第一节课尤为重要。结合本人的多年教学经验,本文主要讨论教师应如何讲解好第一节课。多年来，笔者在正式讲授线性代数这门课程的书本内容之前,往往用近一个学时的时间向同学们介绍，我们为什么学习线性代数这门课程,如何才能学好这们课程,多年的教学效果表明,这是有必要的。

如何培养学生们学习线性代数这门课程的兴趣，使学生们以饱满的热情投入到这门课程的学习中呢？我们从以下几个方面来讨论教师应如何讲好第一节课。

一、简单介绍线性代数这门课程的发展史

大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。历史上线性代数的第一个问题就是关于解线性方程组的问题。线性代数有三个基本计算单元：向量、矩阵和行列式。我们可以简单地介绍一下线性代数的发展史，行列式这个概念出现于线性方程组的求解中，它是一种速记的表达式，行列式是由莱布尼兹和日本数学家关孝和发明的。1750 年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性代数分析导论》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了我们后面会学到的解线性方程组的克莱姆法则。在行列式的发展史中，第一个对行列式理论做出连贯的、逻辑的、阐述的是法国数学家范德蒙。

矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。矩阵这个词是由希尔维斯特首先使用的，它是为了将数字的矩形阵列区别与行列式而发明了这个术语。一般公认矩阵论的创立者是英国数学家凯莱。

更多的关于线性代数的发展史，同学们可以上百度上搜索。通过简单介绍线性代数这门课程的发展史，可以使学生们对这门学科的产生和发展有初步的了解。此外，我还会附加一些这些科学家的奇闻异事，也可以舒缓紧张的课堂气氛，使我们以更轻松的心情来学习这门课程。

二、激发学生学习线性代数这门课程的兴趣

著名教育学家郭沫若曾说过：“教学的目的是培养学生自己学习、自己研究、用自己的头脑来想、用自己的眼睛看、用自己的手来做这种精神”。我认为要想达到这个目地,对于线性代数这门课程的教学来说,首先要培养学生学习这门课程的兴趣。人们如果对某件事物或某项活动感到需要,他就会热心于接触,观察这件事物,积极从事这项活动,并注意探索其奥妙。每个人都会对他感兴趣的事物给予优先注意和积极地探索,并表现出心驰神往。

线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数中所体现的几何观念和代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证，巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学只能是非常有用的。

我们可以举个两个方程两个未知量的线性方程组，让同学们考虑如何求解，由于在高中阶段已经学过求解二元一次方程组，学生们很容易解出方程组的解。然后我们在写出一个六个方程六个未知量的线性方程组，让学生们求解，学生们自然感叹，很难求解。我们可以在出一个m 个方程n 个未知量的方程组让学生们求解。通过这样一个例子，可以激发学生们的兴趣,由于同学们非常关心这个问题,但不知如何求解,所以好奇心会驱使学生们想要解决这个问题。最后告诉学生们，如果我们学习了线性代数课程中的一些知识，我们就可以解决这个问题，从而调动起学生们主观想学习的热情。

三、为什么要开设线性代数这门课程

在第一节课中，笔者会介绍为什么要开设和学好这门课程。首先它是我们理工科学生大学阶段的三门必修的数学课程之一,所以我们要好好学,修过这门课,你修不过，就得不到毕业证，这是重要性之一。

然后,介绍线性代数的应用范围非常广泛,在我们后续课程的学习中,可能会用到线性代数这门课程中介绍的一些方法,结合我们所面对的不同专业的学生,我会举出一些在他们专业中常常遇见的且比较简单的例子。使学生认识到学习线性代数这门课程的另一个重要性。

比如，当笔者给电子、计算机等相关专业的学生上课时,我会和他们谈谈他们专业所涉及到的一些问题。同学们你们将来如果想从事电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等工作，你就需要学好线性代数这门课，因为线性代数就是研究线性网络的主要工具。如果你想搞IC 集成电路设计，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法。当然，如果你想从事光电及射频工程，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。如果你想搞软件工程，3D 游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础。如果你想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，你们知道么，电影《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线性代数的数学工具简直难以想象。

当我给商学、经济等相关专业的学生上课时,笔者会向他们介绍这样一些问题。同学们你们知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949 年用计算机计算出了由美国统计局的25 万条经济数据所组成的42 个未知数的42 个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973 年的诺贝尔经济学奖。因此，我们也需要学好线性代数这门课。

对于其他工程领域，基本没有用不上线性代数理论的地方，在搞建筑工程上，例如奥运场馆鸟巢的受力分析需要线性代数的工具；在石油勘探方面，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组也需要我们用线性代数的知识来解决；在飞行器设计上，需要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组；同学们知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，大家看看，矩阵、向量又出现了。

此外，我们陆续会介绍到矩阵的特征值和特征向量，特征值和特征向量理论可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中；我们还会讲二次型，二次型常常出现在工程和信号处理的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。

我们通过举出一些不同专业学生所关心的问题，这可以使得学生初步了解线性代数这门课程在他们自己专业领域中的具体应用，出几个同学非常关心的问题,激发学生的好奇心,然后我们带着这些问题进入我们教学中,告诉同学我们将来会一一解答这些问题。从而使得学生不会被动，盲目地学习这门课程。

最后,同学们如果想继续深造,比如考研究生,对于理工科学生来说线性代数这门课程也是一门必考课程。近十年来，每年考研的报名人数均在120 万以上，中国教育在线统计显示，多数本科生感觉就业压力大，需提升就业竞争力，因而他们选择继续深造，提高学术研究能力。即使是将来参加工作,我们也会用到线性代数这么课程的理论。

四、结束语

本文主要讨论了教师应该如何讲好第一节线性代数课程。教师通过介绍线性代数这门课程的发展史，使学生们初步了解这门学科的历史，同时激发学生们的学习兴趣，以及说明学习这门课程的重要性。通过以上几个方面的介绍，会使学生们清醒地认识到我们为什么要学好这门课程，而不是被动地开什么课，我就学什么，以至于没有兴趣和方向。多年的教学效果表明，讲好第一节课尤为重要。