熟记结论和方法巧解解几选择题

■湖北省武汉市第十四中学 张 禺

解析几何在高中数学中的地位十分重要,每年高考数学试卷中解析几何的分值都在20分左右,这些题目往往运算量比较大,同学们得分率一直不高,究其原因还是同学们没有掌握一定的方法,尤其是客观题,有时候没必要像解答题那样一步一步地去计算。我们要追求小题小算,尽量不算。如果掌握了一些常用的结论和解题技巧,就能避开复杂运算,直捣问题本质!本文总结了一些平时常用的方法和结论,希望对同学们的学习有所帮助。

结论1

椭圆上的点到中心最近的距离是短半轴长,最远的距离是长半轴长;

椭圆上到焦点的距离最大和最小的两个点就是长轴的两个端点;

圆锥曲线(椭圆,双曲线或抛物线)上过焦点的所有弦中,通径最短。

高考真题:“神舟八号”卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点为m

km,远地点为nk m,地球的半径为R

km,则“神舟八号”卫星运行轨道的短轴长等于( )。

解析:由题意知两式相乘即可,选A。

联考真题1:已知椭圆＞b＞0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )。

解析:O P=2b,2b≤a,即而

联考真题2:已知直线l过抛物线y2=4x的焦点F,交抛物线于A、B两点,且点A、B到y轴的距离分别为m、n,则m+n+2的最小值为( )。

解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1。由于直线l过抛物线y2=4x的焦点F,交抛物线于A、B两点,且点A、B到y轴的距离分别为m、n,所以由抛物线的定义得m+n+2=|A B|,其最小值即为通径长2p=4。故选C。

结论2

推广到一般结论:

高考真题:已知A、B、P是双曲线上不同的三点,且A、B连线经过坐标原点,若直线P A,P B的斜率之积kPA·kPB,则该双曲线的离心率为( )。

解析:由结论容易知道,解得,所以答案为D。

联考真题:双曲线b＞0)实轴的两个顶点为A、B,点P为双曲线M上除A、B外的一个动点,若Q A⊥P A且Q B⊥P B,则动点Q的运动轨迹为( )。

A.圆 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

两式相乘即得轨迹为双曲线,选C。

结论3

椭圆中的“垂径定理”:已知O为坐标原点,直线l与椭圆(a＞b＞0)交于A、B两点,中点为P,则若椭圆方程为此定理不难由“点差法”推导出来,同学们可自行尝试证明。

高考真题:已知椭圆b＞0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点。若A B的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )。

解析:由题意知中点到原点的斜率为-1,所以,只有D选项符合,经检验D正确。

联考真题:若椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )。

A.x-2y=0 B.x+2y-4=0

C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0

解析:根据椭圆的垂径定理,容易求得kl直线还要经过点(4,2),只有D项符

合,故选D。

结论4

联考真题:已知O为坐标原点,双曲线上有一点P,过P作两条渐近线的平行线,且与两渐近线的交点分别为A、B,平行四边形O B P A的面积为1,则双曲线的离心率为( )。

解析:平行四边形的面积与点P的位置无关,其面积是定值。故本题应用此结论,即得容易得到e=