双曲线实际应用生活馆

■河南省驻马店市第一高级中学 张献锋

双曲线来自于生活,又服务于生活。利用双曲线方程可以解决生活中许多实际问题,本文举两例加以说明,供同学们赏析。

1.小李的手机在哪里

例1小李真是个小马虎,一不小心把手机丢了,这可是花了整整5400元买的手机呀,小李心急如焚,立即报告给了相距1 0am的两个派出所。而那位拾手机者同时使用了手机。A、B两个派出所的监听仪器听到手机发声的时间差为6s,且B处的声强是A处声强的4倍(设声速为am/s,声强与距离的平方成反比),试确定持手机者的位置。

解析:如图1,以A、B的中点O为原点,直线A B为轴建立坐标系,则A、B的坐标分别为A(-5a,0)、B(5a,0)。由于A、B两派出所监听器听到手机发声的时间差为6s,知手机位置点P在双曲线上。由于B处声强是A处声强的4倍,由题意可知(x+5a)2+y2=因此,手机位置点P是两个图形的交点。

图1

联立方程组,得:

所以只要锁定点P位置就能很快找到拾手机者。

评注:本问题利用坐标法将实际问题转化为数学问题,借助双曲线和圆使实际问题得到解决。想一想:双曲线和圆的方程是怎样建立起来的?是利用题目中哪些已知条件建立起来的?

2.如何搜救航天员

例2“神舟九号”飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员安全接出,地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6

k m,C在B的北偏西30°方向,相距4

k m,P为航天员着陆点。某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A地距P远,在此4s后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号。已知该信号的传播速度为1

k m/s,求在A地发现P的方位角。

解析:由“A接收到P的求救信号的时间比其他两个救援中心早4s”能否得到|P B|与|P A|的差为定值?是否说明点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上?因为|P C|=|P B|,所以P在线段B C的垂直平分线上。又因为|P B|-|P A|=4,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上。

以线段A B的中点O为坐标原点,A B的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系,如图2所示。

图2

因此,P点在A点的北偏东30°方向。

评注:解答此类题首先应建立平面直角坐标系,取两定点所在的直线为x轴,以两定点为端点的线段的中点为坐标原点,然后根据双曲线的定义求出标准方程,再由标准方程解有关问题。本题的解法主要运用了数形结合思想和函数方程思想。