让数学学习深度发生

“人是如何学习的？”

这一直是学习科学研究的问题。瑞典哥德堡大学教育学院教授Marton Saljo在基于学生学习过程的研究中，首次提出并阐述了深度学习与浅层学习这两个相对概念。随后，John Biggs等多位学者对深度学习作了进一步的研究。我国学者孙智昌认为，学习科学视阈下的深度学习是学习者遵循学习原理，在学校场域中对以重要概念为核心的知识进行理解性和创新性学习的有效学习过程。在《促进学生深度学习》一文中，我国学者黎加厚教授等提出了深度学习的概念，文中指出：深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实（概念），并将它们融入（内化）原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知識迁移到新的情境中，作出决策和解决问题的学习。学习科学认为深度学习的特征主要表现在以下4个方面：深度学习意味着理解与批判，深度学习意味着知识建构，深度学习意味着迁移和运用，深度学习意味着问题解决。

可见，深度学习揭示了学习的本质和规律，它使学生学得更好更愉悦，为教师突破“改课”难点———教学行为提供了理论支撑。当然，教师也应从教学论者关于深度学习的论述中了解诸如深度学习的发生条件与机制，从教育技术学者的论述中了解深度学习的资源和环境创设方法。

虽然理论界的研究富有成果，但要将理论运用到课堂教学实践中，仍有很长的路要走。目前我省一些中小学正在开展相关的实践探索。为了提升数学教师在课堂教学中推进学生深度学习的水平，我们组织部分老师进行讨论，结合老师们的观察与实践，提出一些问题，与大家一起思考与探索。

一、数学深度学习深在哪里？

学习科学认为深度学习的特色在于强调理解性学习，所以，理解是深度学习中体现深度的第一要义。

从认知领域看理解，正如数学教育家傅种孙先生所言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然。”其实整个数学教学都是如此，在知识的“再创造”与运用过程中，“知其所以然”是指领悟数学思想与方法，“知何由以知其所以然”主要是指对认知过程的认知，如元认知策略。

如何让学生“知其所以然”？教学论者认为应深在系统结构中，我们由此认为可以纵向联结与横向联结。

从纵向联结上看，应该通过旧知识迁移得到新知识，并通过新知识的迁移运用，理解知识的价值，形成知识链。义务教育阶段很多数学知识是基于学生的生活经验，尤其是小学。那么，如何利用学生的生活经验促使学生通过正迁移主动建构知识？如数的概念与大小比较、算法等。又如何引导学生由旧知主动发现新知？是通过转化还是变式抑或归纳？如小学由平行四边形的面积公式探索三角形的面积，初中由多项式的乘法法则发现乘法公式。但同时，学生原有的经验与数学概念和事实可能并不一致，数学也总是在打破原有的认知局限中取得发展，如何利用认知冲突促使学生积极学习？如数的扩充。如何帮助学生从认知冲突中走出来？如从狭隘或片面的生活经验走向科学全面的数学认识。如何帮助学生建立新的认知框架？如从数到式，从等式到函数，等等。这些都是深度学习过程中教师应该深入思考的问题。

从横向联结上看，不同领域的数学知识也是相互关联的。教师应当思考：如何利用直观想象（几何直观、合情推理）帮助学生理解数与代数知识？如小学中关于小数、分数、百分数的认识，初中多项式的乘法、函数的性质。如何帮助学生在广阔而全新的领域内把握事物的本质？是运用类比思想还是对立统一观点？如从分数推广认识分式，用函数的观点看不等式、方程，等等。

如何让学生“知何由以知其所以然”、由学会到会学？课堂可发挥“先行组织者”的作用，如何利用引导材料由上位概念认识下位概念？如由平行四边形认识矩形、菱形、正方形。如何利用比较性引导材料认识邻近概念？如由矩形类比提出菱形的学习任务与方法。代数、几何的研究都有各自的方法与套路，如何让学生在教学中通过熏陶与渗透，建立学习过程的自我意识？如几何学习中的先观察猜想再推理论证。如何通过课堂反思，让学生自悟认知策略？回顾亦或反省？追究？

从情感态度与价值观来看理解，它是儿童生存、发展的基本方式。学生对知识的发生发展需要情感的沟通、态度上的认可、价值上的认同，进而理解主观世界的普遍意义和价值。深度学习的理解不只是为了掌握与获得某种实用的知识，更是为了学生个体的精神发育。课堂应焕发知识的意蕴（知识的情感、知识的价值、知识的精神），使学生感受数学有味、数学有用、数学之美。那么，教师应当思考：在知识的再发生过程中，如何复原火热的思考，形成求真、求善、求简的品格？如何利用数学文化让学生爱数学，如体验、感悟、对话等？

二、哪些数学知识需要深度学习？

我们认为，数学知识并非都需要深度学习，浅层学习某些数学知识也能服务于数学学习。相对而言，高等级的数学知识更应该深度学习，但低年级学生可能也需要深度学习。因此，我们要厘清哪些数学知识要深度学习。

首先，在学习新知过程中，深度学习应聚焦核心内容，如数学中的核心概念，重要的数学事实等。深度学习还应聚焦高层次的内容。一般来说，知识的层次从低到高可分为经验性、概念性、方法性、思想性、价值性。对于高层次的知识，我们需要深度学习。那么，义务教育阶段哪些数学概念应推进深度学习？（如小学中的整数、小数、分数，初中的方程与函数等）哪些重要的数学事实需要深度学习？（如小学中图形的面积，初中的三角形、平行四边形的性质与判定等）

其次，在运用新知时也需要通过深度学习解决复杂问题。比如，从学与习的两个环节来看，如何在综合与实践课中，引导学生通过联结、迁移解决实际问题？如何让学生在解题教学中学会思考的方法？

再次，深度学习并不是专门针对更难更深奥的知识、解决繁杂的任务，也不盲目增加认知负荷、一味追求核心要素的复杂表达形式，但不能由此将深度学习与任务复杂度对立起来，深度学习深在复杂的思维过程，应对挑战性问题。深度学习不可能回避较难知识，深度学习有利于解决学生学习中想不通、想不到、理不清的问题。因此，教师在推进深度学习中，应当在学生的最近发展区设计问题，并思考如何利用深度学习突破教学难点，对知识追根溯源，进行条理化联想，等等。

三、如何引导学生进行数学深度学习？

美国教育心理学家梅耶提出，学习始于学习者的注意—激活原有知识—找出新知识的内部联系—建立新旧知识的联系—新习得的知识进入长時记忆。深度学习始于学生的学习动机和相关知识经验被激活，激活的关键在找准学生内源性学习力的出发点，在分析学情（认知基础、前概念、困惑迷思等）的基础上设计课堂的导入方式，引起学生的注意。那么，如何激化学生的认知情感？如何让学生在问题情境中感受认知冲突、诱发认知期待？如何让学生产生认知需求（而不是生硬地要求学生达成学习目标）？如何激活学生的认知基础与认知策略？

深度学习意味着问题解决，利用问题解决也可以推进新知的深度学习，基于问题解决的教学是深度学习的一种方式。教师要根据教学内容选择教学材料，设计教学活动，因此要思考：如何创设真实的问题情境？如何围绕挑战性主题设计问题串，促进学生持续建构？如何利用信息技术提供丰富多样的学习材料？

深度学习是以学科核心内容为线索，因而强调整体学习，让学生在系统结构中理解性学习。单元教学是一种策略，这里的单元并不是教材中的章节，而是教材中几个课时的学习内容，围绕学习主题形成的教学单元。比如，有理数一章中关于加、减、乘、除、乘方运算可构成一个教学单元，其主干知识是算法，主要数学思想是分类、转化，核心素养是运算能力。在各章中选定教学单元后，应当思考：如何确定各单元的教学主题（高阶思维与关键能力）？如何通过各课时的教学逐步实现深度学习？如何在章末的学习中帮助学生整体认识？如何在章末复习中通过解题教学促进学生对知识的融会贯通？综合运用亦或一题多解？

深度学习是“以学为中心”改革的升级版，而课堂的主导权在教师手中，学生学习的自主权究竟体现在什么方面？我们认为应该是思维，师生的思维同步、共振、碰撞。那么在学习的过程中如何打造学习共同体（情感、认知、行为）？生生之间如何通过相互启发、合作探究、评价反馈实现多元共生？如何组织多样化的探究活动完成复杂的思维过程？

最为关键的是，在深度学习中，通过理解性学习和创新性学习，发展分析、综合、评价、创造等高阶思维能力，就是发展了学生的数学核心素养。那么如何通过深度学习发展学生的抽象能力？运算能力？推理能力？如何借助深度学习解决实际问题发展建模能力？

四、数学深度学习如何评价？

什么样的数学课堂推进了深度学习？从教学目标看，深在掌握知识、技能的过程中形成高级认知（逻辑形式、元认知）和高阶思维（数学核心素养），并触及学生的心灵深处；从教学内容看，聚焦核心内容，深在系统结构；从教学方式看，深在教学规律中，教师的充分引导，学生理解与迁移、批判与反思。那么，如何制定一个教学评价量表开展相关的教学评价？

学生在数学课堂上进行了深度学习，表现在哪些地方？从学习态度上看，学习投入的主动、积极、全面；从学习过程上看，思维活跃、深入、自省；从学习结果上看，丰富、突出，如认知结构的完善、关键能力的发展、复杂情感的体验。那么，在课堂观察中，如何评价各层次学生的深度学习状况？对各层次学生的深度学习的水平有什么要求？如何进行学生的深度学习的发展性评价？这些都需要老师们作更进一步的研究。

概而言之，推进学生深度学习，关键在教师。教师不仅要掌握相关的理论，也要具有深厚的学科教学知识，还需要智慧地读懂课堂，提升驾驭课堂的能力，积累推进学生深度学习的方法和策略，促进学生全面、深入、持续地发展。

【本文系湖南省教育科学“十三五”规划立项课题“初中数学‘自主·深度教学的实践研究”（课题编号：XJK016BZXX040）的阶段性成果】

（执笔：张向东。参加讨论人员：赵雄辉、张向东、李闯、徐旺、胡力、邹旭红、砂子塘泰禹小学数学组）