滴灌管主流道沿程压力分布模型及验证

丁法龙，茅泽育，王文娥，韩 凯



滴灌管主流道沿程压力分布模型及验证

丁法龙1，茅泽育1，王文娥2，韩 凯1

（1. 清华大学水利水电工程系，北京 100084；2. 西北农林科技大学旱区农业水土工程教育部重点实验室，杨凌 712100）

为揭示滴灌管的沿程流动特性，简化滴灌水力计算，分析了能量方程应用于滴灌管水力计算的局限性，并以质量守恒和动量守恒定理为依据，建立了以滴灌管为典型的变质量流动数学模型，并结合测压试验数据，获得了滴灌管主流道沿程压力分布表达式。变质量流动的动量方程表明：多孔管路主流道压力变化取决于摩阻项和动量交换项两部分，沿程压力分布的具体形式取决于二者作用的相对强弱，滴灌管压力分布归结为求解滴灌管轴向流速分布、摩阻系数和动量交换系数，动量方程建立的合理之处在于不必追究其详细机制，将复杂的流动机理进行了合理概化。测压-测流试验表明：滴灌管轴向流速分布指数与滴头自身特性参数无关，而与滴头安装个数呈线性关系。基于理论分析和试验数据回归得到了动量交换系数的表达式，并结合Blasius摩阻公式进行方程求解，压力计算值与实测值吻合良好，最大相对误差为4.27%。该文可为滴灌管水力计算及多孔管水动力学研究提供一定参考。

灌溉；模型；压力；主流道；变质量流动；摩阻作用；动量交换

0 引 言

滴灌作为一种精准灌溉技术，节水效果显著，更加省工、增产，因而在农业生产中得到了快速推广应用[1]。灌水均匀度是滴灌质量评估和水力设计的核心指标[2]，其影响因素包括主流道压力分布，灌水器制造偏差及堵塞状况等，但最主要因素是压力分布[3]。若不考虑滴头内部微流道几何型式的差异，结合滴头的自由出流特性，可不失一般性地认为滴头所在位置的滴灌管主流道压力水头将全部转化为滴头内部微流道的沿程损失[4]。由Darcy-Weisbach沿程水头损失公式可知，滴头出流量与压力水头呈指数型关系[5]：=Cp。式中为滴头流量，L/h；为滴头安装处滴灌管主流道的压力值，MPa；和为滴头的2个特性参数，分别称为流量系数和流态指数。该式的合理性已被广泛地证明，可见，滴头出流量除了与自身特性参数、有关外，主要取决于压力水头的大小，故整个滴灌管路上的灌水均匀度主要取决于滴灌管主流道的沿程压力分布。因此精确计算滴灌管路内的压力分布是进行滴灌系统水力设计的前提条件，也是滴灌水力学研究的一个最基本问题。

国内外学者围绕该问题进行了大量研究，Christiansen首先提出使用完整管计算水头损失再折减计算多孔管水头损失的多孔系数法，为多孔管路水头损失的计算奠定了基础。Wu等[6-8]随后提出了能量坡度线法确定滴灌管路的沿程压力水头，使多孔管沿程压力变化剖面大为简化，并以此为基础，发展了单一管径条件下的变坡度计算方法。Jain等[9]利用已有经验公式建立模型并对模型进行定性分析，并利用Darcy-Weisbach公式对滴灌管水头损失进行了进一步计算分析得出其分布特点，所得结果接近实测但计算过程繁琐，因而适用性较低。Kang等[10-12]采用有限元方法计算并总结绘制了滴灌管水力特性规律分布图，同时分析了滴灌管沿程水头损失的变化规律。

随着滴灌技术的普及，直接针对滴灌管水力性能和简化计算的研究越来越多，这些研究基本上不再基于适当的假设来进行解析，而是依赖试验结果直接进行多因素系统的回归分析[13-17]。另外，随着数学建模方法和计算机技术的发展，相继出现了一些利用新兴算法，如二分法[18]、遗传算法[19]、人工神经网络[20]、CFD技术[21-23]等来研究滴灌管等多孔管路的能量损失及流动特性。

以上研究工作主要都是通过计算多孔管路的沿程水头损失，来确定多孔管路的沿程压力分布，即认为影响压力分布的因素只有摩阻损失。但这种能量衡算法应用于滴灌管这类多孔管路计算时会产生2个问题：1）能量守恒定律是建立在总能量守恒基础上的，而伯努利方程和水头损失计算公式则均以单位质量进行计算，这对于和其他体系无质量交换的独立流动体系是适用的。但在多孔管中，主流道流体流经侧流孔口时，形成能量的重新分布，如果以主流道内单位质量的机械能进行总体能量衡算，则分流后的流体机械能必然大于分流前（若不考虑极短流程上的摩阻损失），这明显违背了能量守恒定律，因此，单纯地对主流道内流体应用能量方程不尽合理。2）恒定总流能量方程是由伯努利方程在过流断面积分得来，而伯努利方程是按元流或流线建立的，对滴灌管这种多孔分流管，流体经过每个滴头流出都有一条流线，即整个滴灌管路有多条非平行的流线，不同过流断面处的流线数量不同。这意味着按照流线建立能量守恒方程和评估摩阻损失有多种可能。

滴灌管属于多孔出流管，其中的流体在流动过程中质量不断减少，属于变质量流动，对于这种流动行为，可以采用动量分析方法进行研究。本研究采用质量和动量守恒原理，建立了以滴灌管为典型的变质量流动的数学模型，将主流道内的压力变化归结为动量交换和摩阻损失的双重影响，并结合滴灌工程中常用的滴灌管结构参数和操作压力进行了测压-测流试验，基于实测数据回归得到了动量交换系数的变化规律，通过求解动量方程获得了滴灌管沿程压力分布的分析解，可为滴灌系统水力设计和校核提供依据，为变质量流动研究提供参考。

1 理论模型

1.1 变质量流动数学模型

滴灌管内流体的流动为变质量流动过程，可将滴灌管内的流动简化为如图所示的多孔出流，即等间距布孔且末端封闭的长直圆管，以管轴线为轴建立一维坐标，如图1所示。在研究其流动行为时，假定滴灌管水平布置，且孔口排放压力保持不变，即大气压力；主流流速在入口处最高，在封头处等于0。

注：De为滴灌管内径，m；s为侧流孔口间距或滴头间距，m。

在上述假定基础上，各孔口流量分布将依赖轴线方向的压力分布，在孔口前后取一微元段作为控制体，如图2所示，根据质量和动量守恒定理，建立该变质量流动过程的基本方程组。

注：v为孔口前的流速，m·s-1；p为孔口前的压力，Pa；u为孔口处的侧向流速，m·s-1；tw为单位面积上管壁对控制体的摩阻力，N·m-2。

1）质量守恒方程

2）动量守恒方程

联立方程（1）、（2）及圆管摩阻力公式w=(2/8)，并忽略d的高阶项后得

式中为水的密度kg/m3；A为滴灌管主流道过流断面积，m2；A为侧流孔口面积，m2；v为侧流孔口出流带走的轴向速度分量，m/s；为管壁摩阻系数。

由式（3）可见，轴向压力变化取决于2项：2/2D表征管壁摩阻作用；(2-v)d/d表征动量输运作用。引入修正系数，并令=1-c/2，表示对孔口出流带走的轴向速度分量v的修正，称为动量交换系数，则式（3）可写为

式（4）即为变质量流动行为的数学模型。

由于滴灌管主流道过流断面上的速度分布是不均匀的，这种不均匀分布使得流体经过侧流孔口流出时，并不严格垂直于轴线方向。采用动量交换系数的处理方法，其简便之处在于不必考虑具体的流动细节，直接对侧流孔口带走的部分轴向动量分量进行修正，将模型简化所引起的误差都包含在这一修正系数中。

式（4）表明滴灌管主流道内的压力变化受摩阻作用和动量交换的双重影响，因此，压力求解归结为确定摩阻系数和动量交换系数，下面分而述之。

1.2 摩阻系数λ

尼古拉兹对内壁用人工加糙的圆管进行了深入的试验研究，得出摩阻系数与管壁粗糙高度及雷诺数相关，并给出了各流态分区下摩阻系数随二者的变化曲线。对于多孔管，其摩阻损失比同材质、同管径及管长、同入口流量的完整管要小，工程计算中一般对完整管的摩阻系数进行折减后得到多孔管的平均摩阻系数，该折减系数称为多孔系数[24]，常用的多孔系数表达式为Christiansen公式[13]

式中为Christiansen多孔系数；为流量指数，一般取1.75；为孔口或滴头数目。

多孔系数法不考虑多孔管内的沿程变化，是一种平均化的简化处理方法。本文所采用的变质量流动方程在推导时以分流口前后的微元体作为分析对象，引入的摩阻系数是指d管段上的实际摩阻系数值，与多孔管整体布孔数目无关，因此不需要以多孔系数法进行折减，而是采用随轴向流速变化的连续函数进行表示（详见3.1节），比多孔系数法更符合物理实际。根据尼古拉斯试验结果，与管壁粗糙度、雷诺数有关，对于滴灌管来说，主流道的雷诺数不断变化，流态逐渐发生转捩，严格来说，应根据不同流态分区逐管段计算，但多项研究表明[25-29]，对于内径小于80 mm的PE材质滴灌管，全管路统一按照紊流光滑区处理时具有足够计算精度，即滴灌管摩阻系数计算时采用Blasius阻力公式

式中雷诺数=vD/μ为水的运动黏度。

1.3 动量交换系数k

动量交换系数是求解变质量流动数学模型的关键。将式（4）在主流道的任意2截面至间积分，可得

即

式中p、p分别为、2测点的压力；v、v分别为、2测点的轴向流速，m/s；h为、2测点之间的摩阻水头损失，m；为重力加速度，取9.8 m/s2。

式（8）即对动量交换系数进行试验测定的原理式。通过室内测压试验数据回归可确定的经验表达式，并用于变质量流动数学模型求解。首先，需要定性分析的物理意义及影响因素，确定其函数形式。

1）随管路坐标位置的变化

方程推导过程表明，动量交换系数的作用是对侧流孔口带走部分轴向动量分量进行修正，即孔口前后主流速的变化是由孔口出流带走的轴向分量引起，也就是孔口出流带走的流体动量的轴向分量应是主流动量（或动能）变化的分数，即

由以上分析可知，相对动能差的数学表达式成为推求值函数形式的关键。由数学分析

即

对式（11）从0到积分，得到相对动能差的函数式

式中0为滴灌管入口流速，m/s。

联立式（9）和（13），得到

由式（14）可以确定，与管路轴向流速分布有关，滴灌管的轴向流速分布为阶梯型的分段函数，为了方便数学处理，本文将滴灌管主流道的轴向流速分布简化为连续函数，并假定具有以下指数分布形式

结合式（14）、（15），可知

可见是随管路坐标位置发生变化的。

2）随滴灌管结构参数的变化

在变质量流动的方程推导过程中，分析对象为主流道过流面积沿程不变的多孔管路，但对于内镶式滴灌管，由于圆柱形滴头的镶入，滴头安装处的主流道过流面积先缩小、后扩大，如图3所示。流体流经该处时，因惯性作用，主流与边壁分离，并在分离区产生漩涡，在漩涡区内部，水体扰动加剧，同时主流与漩涡区之间不断进行质量及动量交换，引起局部能量损失及流速分布的重新调整，经侧流孔口所带走的轴向速度分量必然受到影响。作为衡算该轴向速度分量的修正系数，也必然发生变化，其变化情况取决于边界变化的剧烈程度。

注：d为圆柱形滴头的内径，m。

滴灌管内径D对应的过流面积为A，圆柱形内镶滴头的内径对应的过流面积为A，定义=A/A为断面收缩比，以此表征滴头安装处过流面积变化的剧烈程度。由以上分析可知，是断面收缩比的函数。

综上，在内镶式滴灌管中，动量交换系数受管路坐标位置和断面收缩比的影响。结合式（16），并便于数据回归时线性化处理，设具有如下函数形式

式中0为试验测得的的最大值；、均为待定参数。

1.4 沿程压力分布

变质量流动数学模型表明，多孔管压力变化值取决于摩阻系数和动量交换系数，在以上的分析和推导过程中，已经确定了和的函数表达式，因此，可以进行变质量流动数学模型的求解，将表达式（6）、表达式（17）和滴灌管轴向流速分布式（15），代入变质量流动方程式（4），得

式中=/D为滴灌管长径比；0=0D/为滴灌管的管首雷诺数。

式（19）中尚包含4个待定参数：0、、和流速分布指数。需通过滴灌管沿程测压-测流试验，确定这4个待定参数，以获得完善的沿程压力分布解。

2 室内测压试验

2.1 试验材料

供试的6种内镶式滴灌管（陕西省杨凌秦川节水灌溉公司提供），分别以A、B、C、D、E、F表示，表1中给出了6种滴灌管的基本特性参数。

表1 供试滴灌管的基本参数

2.2 试验装置与方法

试验装置主要由蓄水箱、离心泵、恒压变频柜、精密压力表、滴灌管、闸阀、试验台、压差计、烧杯、集水槽、称质量设备等组成。试验中的主要变化参数包括滴灌管种类（6种）、滴头间距、滴灌管总长度和首部压力水头0，其中滴灌管种类、滴头间距、滴灌管总长度的水平设定在表1中已经列出，首部压力0通过恒压变频柜设置0.02，0.04，0.06，0.08，0.10，0.12 MPa共6个水平。滴灌管测压-测流装置如图4所示。对于每组量测工况，首先将待测滴灌管水平顺直铺设，末端封堵，在滴灌管入口处接入精密压力表，打开水泵，通过调节变频柜设定所需的首部压力，待水流运行平稳后，开始测压及测流，试验过程中蓄水箱水温维持在20 ℃左右（水的运动黏度取=10-6m2/s）。每组工况通过更换管道设置3个有效重复。

测压-测流试验的目的是回归得到流速分布指数和经验表达式中的待定参数0、、，以及对压力分布模型进行验证。

1. 变频柜 2. 蓄水箱 3. 离心泵 4. 球阀 5. 压力表 6. 滴灌管 7. 压差计 8. 堵头 9. 集水槽 10. 水桶 11. 电子秤12. 量杯 13. 试验台

3 结果与分析

3.1 主流道轴向流速分布

滴灌管主流道轴向流速分布归结为对流速分布指数的回归，在以上的分析中，已经包含了对滴灌管结构参数（长径比）和流动参数（管首雷诺数0）的考虑，其他因素中，流速分布的形式可能与滴头的自身特性参数（流量系数、流态指数）及滴头安装个数有关。

根据式（20），式（15）可写为

此即基于试验实测得到的滴灌管轴向流速分布公式，图6为由式（21）计算得到的不同滴头安装个数条件下的滴灌管轴向流速变化规律。横坐标为滴灌管路相对位置，即。

图6 不同滴头个数时的轴向流速分布

Fig.6 Relationship between number of emitters and axial velocity profile

3.2 动量交换系数回归

由测压-测流试验数据，计算得到不同工况条件、不同管路位置处的动量交换系数。

图7 滴灌管A中动量交换系数k与的关系

对按照式（17）进行数据回归，结果如下

根据式（22）绘出6种供试滴灌管的动量交换系数k的沿程变化规律，如图8所示。若将式（8）代入恒定总流能量方程，可得k=0.5，故应用能量方程求解多孔管流动，可以看作是一种特殊的动量方程解法，只是动量交换系数取常数0.5，未考虑k的沿程变化。由于滴灌管沿程泄流，主流道内的水动力特性沿程不断变化，孔口处的动量交换作用也必然发生变化，因此，相较于能量方程法，考虑k沿程变化的动量方程法更符合物理真实。

3.3 滴灌管主流道沿程压力分布模型及验证

由前面的推导公式和3.1、3.2节的实测回归结果，联立式（19）、（20）和（22）得到滴灌管沿程压力分布的完整理论计算式

式（23）即根据变质量流动的数学方程，由滴灌管测压-测流试验数据回归得到的无量纲形式的滴灌管沿程压力分布模型。

图9给出了5种典型工况下滴灌管沿程压力分布的实测值与式（23）计算值的对比。由图9可见，计算结果与实测结果吻合较好，通过对比试验所有工况的实测值与模型计算值，得到沿程压力的最大相对误差为4.27%，表明式（23）用于滴灌管沿程压力分布具有一定的精确性。因此，动量方程方法用于求解变质量流动行为，具有一定的合理性。

注：工况1：管E，H0=0.12 MPa，N=400；工况2：管A，H0=0.10 MPa，N=80；工况3：管D，H0=0.08 MPa，N=60；工况4：管C，H0=0.10 MPa，N=80；工况5：管B，H0=0.04 MPa，N=40。

4 结论与讨论

以质量和动量守恒定理为依据，建立了以滴灌管为典型的变质量流动数学模型，结合室内测压试验分析了滴灌管主流道的流动行为，并基于实测数据获得了滴灌管主流道内沿程压力分布的分析解。本研究主要获得了以下结论：

1）分析了能量方程应用于滴灌管水力计算的局限性，并基于动量定理建立了变质量流动数学模型，动量方程表明：滴灌管主流道压力变化取决于摩阻项和动量交换项2个部分，沿程压力分布的具体形式取决于二者作用的相对强弱。动量方程建立的合理之处在于更加符合流动真实，物理意义更加明晰，简便之处在于不必追究其详细机制，将复杂的流动机理进行了合理概化。

2）对轴向流速分布指数进行了方差分析，结果表明，轴向流速分布指数与滴头自身特性参数无关，而与滴头安装个数呈线性相关关系，回归的到了滴灌管轴向流速分布公式。

3）定性分析了动量交换系数的影响因素，确定了其由断面收缩比和管路相对位置构成的函数形式，并基于试验数据回归得到滴灌管动量交换系数的经验表达式。

4）结合摩阻系数的Blasius公式和动量交换系数的经验表达式，求解动量方程，获得了滴灌管的沿程压力分布模型。通过对比试验工况的实测值与模型计算值，得到沿程压力的最大相对误差为4.27%。

本文为滴灌管等多孔管路计算提供了一种思路，但所得的压力分布模型不够简洁，其实用性有待提高。今后的研究工作应深入对流动机理的研究，进一步完善多孔管路的水动力学模型，尤其需要更加广泛地测定相关参数，简化沿程压力分布模型，提高实用性，从而便捷地为滴灌系统的设计、运行和校核提供科学依据。

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Modelling and verification of pressure distribution along mainstream in drip irrigation pipe

Ding Falong1, Mao Zeyu1, Wang Wen’e2, Han Kai1

(1.,,100084,; 2.,712100,)

Irrigation uniformity is the core evaluation index of drip irrigation. The influence factors of irrigation uniformity include pressure along mainstream way, emitter manufacturing deviation and emitter clogging, etc., but the leading factor is the longitudinal pressure distribution. Therefore, calculation of pressure is prerequisite for hydraulic design of drip irrigation system, and it is also the most basic problem for the study of drip irrigation hydraulics. Scholars at home and abroad have done a lot of research on this problem. According to the author's references, all the past research results were based on the energy conservation law, researchers mainly calculated the frictional head loss to determine the pressure distribution along drip irrigation pipe, and the friction resistance was the default for the only factor affecting the pressure distribution. However, this method neglects the energy of the fluid flowing through sidewards orifices, and it is not completely applicable to the drip irrigation pipe. To reveal the behavior of variable mass flow, and simplify the hydraulic calculation of drip irrigation pipe, this study established the basic equation of variable mass flow based on mass conservation and momentum conservation theories, and thus developed an analytical model of pressure distribution along mainstream in drip irrigation pipe. Momentum equation of variable mass flow is clearer in physical meaning, and it does not require to investigate the complex flow mechanism in detail, but rather rationally simplify uncertain factors. The developed model shows longitudinal pressure profile in drip irrigation pipe is determined by the friction loss and the momentum exchange, the friction loss tends to decrease the pressure while the momentum exchange just the opposite. The solution of pressure in mainstream way is attributed to determination of friction coefficient and momentum exchange factor. The friction coefficient of drip irrigation pipes could be determined by Blasius resistance formula, according to many existing research conclusions. Function form of momentum exchange factor was qualitatively analyzed, and it was represented by area contraction ratio caused by in-line emitters and relative axial location. A series of indoor pressure tests were performed on 6 types of drip irrigation pipes with different lengths, different emitter spaces and different operating pressures. According to the test result, axial velocity distribution index was obtained by regression, and variance analysis of 2 factors was performed, 2 possible influencing factors were emitter type and number of emitters. Variance analysis results showed that at a significance level of 5%, emitter types did not have a significant impact on axial velocity distribution index, meaning that with the condition of same number of emitters, axial velocity distribution indexes of different emitter types had no significant statistical differences. However, test results showed axial velocity distribution index was linearly dependent on number of emitters. Empirical expression of momentum exchange factor was regressed. Combined with the Blasius formula, the momentum equation of variable mass flow was solved, and pressure distribution along main stream in drip irrigation pipe was obtained. Calculated values of longitudinal pressure agreed well with measured values among all cases, and the maximum relative error was 4.27%. Although drip irrigation has been widely applied, research of flow characteristics in drip irrigation pipe is still inadequate, corresponding hydraulic calculations tend to mechanically adopt old methods, regardless of the applicability. This study offers a idea for hydraulic calculation of drip irrigation, the results will provide scientific evidence not only for structural and operational optimization of drip irrigation, but also for hydrodynamics study of multiple outlet pipes. What needs to be improved is the obtained pressure distribution model is not simple enough, so further research should perfect the flow mechanism, and measure relevant parameters more widely to simplify the current model.

irrigation; models; pressure; mainstream way; flow of variable mass; friction resistance; momentum exchange

丁法龙，茅泽育，王文娥，韩 凯. 滴灌管主流道沿程压力分布模型及验证[J]. 农业工程学报，2019，35(3)：117－124. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.03.015 http://www.tcsae.org

Ding Falong, Mao Zeyu, Wang Wen’e, Han Kai. Modelling and verification of pressure distribution along mainstream in drip irrigation pipe[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(3): 117－124. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.03.015 http://www.tcsae.org

2018-07-05

2018-12-30

国家重点研发计划（2016YFC0402504）

丁法龙，博士生，主要从事水力学及河流动力学方面的研究工作。Email：dflaizy@163.com

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.03.015

S275.6

A

1002-6819(2019)-03-0015-08