广义多自主体系统的一致性

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(郑州大学 数学与统计学院 河南 郑州 450001)

0 引言

共识问题即一致性问题，是多自主体网络的一个最基本的分布式协调控制问题.在过去几十年里，多自主体的共识问题在许多领域都引起了极大关注[1-5].其中，出现了一类线性切换多自主体系统一致性问题，包括无领导者一致性问题[6]和领导者跟随一致性问题[7-8].广义系统有动态系统的自然表示，比一般的线性系统有更广泛的背景[9-10].文献[11]和[12]分别利用状态反馈和输出反馈来设计控制协议，给出了广义多自主体系统达到一致的充分必要条件.但都只考虑了固定拓扑情形下的一致性问题，对于更一般的动态拓扑(切换拓扑)没有研究，给出的条件虽然是充分必要条件，但是证明过程却是从系统达到一致性的条件出发.

本文将文献[8]中的一般线性系统推广到广义系统，并讨论在切换拓扑下的一类广义多自主体系统的一致性问题.与文献[12]相比，这里讨论的拓扑图是动态图, 而且分两种情形(无领导者和领导者跟随)来研究其一致性.通过代数图论[13]和广义系统理论[14]得到结论：要解决广义多自主体系统的两个一致性问题，只需要相应的慢子系统达到一致性.

1 预备知识

对于给定的向量或矩阵X，‖X‖表示X的欧几里得模.向量1N表示所有元素都是1的列向量，span{X}表示由X的列向量张成的线性子空间，a表示不超过实数a的最大的整数，A1/2表示正定矩阵A的二次方根.⊗代表Kronecker积，满足如下性质：(A⊗B)T=AT⊗BT,(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD),(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C,A⊗(B+C)=A⊗B+A⊗C.

通常，一个多自主体系统中每个自主体之间的信息交换可以通过有向图或无向图来描述[13].

2 主要结果

本文将考虑式如

(1)

广义多自主体系统的稳定性，其中：xi∈Rn，ui∈Rm分别是第i个自主体的状态和输入；E,A∈Rn×n，B∈Rn×m是常数矩阵；(E,A)是正则无脉冲的，且rankE=r≤n.

对于系统(1)，定义动态图Gσ(t)=(V,εσ(t))，其中V={1,…，N}，且(j,i)∈εσ(t)，当且仅当控制ui在时刻t利用(xj-xi)作为反馈.令Aσ(t)=[aij(t)]N×N是动态图Gσ(t)的邻接权矩阵，则可定义状态反馈拓扑

，i=1,…,N，

(2)

这里K∈Rm×n是增益矩阵.

定义1[8]无领导者一致性问题. 给定系统(1)和一个动态图Gσ(t)，找到一个状态反馈拓扑(2)的反馈增益矩阵K，使得对于i,j=1,…,N，当t→∞时，xi(t)-xj(t)→0.

对于以上描述的无领导者的一致性问题，每一个子系统解的稳态行为是无足轻重的.还有一个一致性问题称为领导者跟随一致性问题，而这个问题就要求每一个子系统的解都要渐近趋近于信号x0(t).假设信号x0(t)由线性系统

(3)

产生，其中x0∈Rn.

，i=1,…,N.

(4)

为了解决以上两个一致性问题,我们将系统(1)进行正则性分解.由于(E,A)是正则无脉冲的，由文献[14]可知，存在可逆矩阵P,Q∈Rn×n，使得

(5)

进行坐标变换,

，i=1,…,N，

(6)

(7)

(8)

而领导者系统(3)等价于

(9)

(10)

这种分解通常称为快、慢子系统分解，式(7)和(9)为慢子系统，式(8)和(10)为快子系统.通过这种分解，证明无领导者系统和领导者跟随系统的一致性可分别由相应的慢子系统的一致性来得到.

定理1如果无领导者慢子系统(7)达到一致性,则无领导者系统(1)也达到一致性.

证明假设存在一个增益矩阵K1∈Rm×r，使得

，i=1,…,N，

(11)

由式(2)可得，系统(1)的一致性问题也得以解决.

定理2如果无领导者慢子系统(7)和领导者慢子系统(9)的领导者跟随一致性问题得以解决，则系统(3)和系统(1)的领导者跟随一致性问题也得以解决.

要解决无领导者系统(1)的一致性问题，只需讨论无领导者慢子系统(7)的一致性问题，而系统(7)是一个一般的线性多自主体系统，研究其一致性问题就简单得多.这里考虑关于慢子系统(7)的线性切换系统

(12)

假设1(A1,B1)能控, 令X是一个正定矩阵，满足不等式

(13)

假设2动态图Gσ(t)是无向图，∀t≥0.

假设3存在{i:i=0,1,…}的子序列{ik}，tik+1-tik0，使得连接图G([tik,tik+1))是连通的.

在假设2下，图Gσ(t)的拉普拉斯矩阵Lσ(t)是对称半正定的，∀t≥0.若一个动态图满足假设3，就称图在[0,∞)上是一致连通的，或者称在[tik,tik+1)上是共连通的.

引理1[8]考虑系统(12)，在假设1下，X是满足式(13)的正定矩阵.σ(t)是驻留时间为τ的分段常值切换信号，对任意的t≥0，Fσ(t)是对称半正定的矩阵，则

定理3如果假设1～3成立，则系统(1)在控制协议(2)下达到一致性.

(14)

令xc(t)=(x1(t)+x2(t)+…+xN(t))/N，xc(t)称在t时刻所有自主体的中心.图是无向图，得

(15)

ωi(t)，i=1,…,N，

(16)

则

⊗xc(t)+ω(t)，

(17)

3 仿真结果

例1考虑无领导者广义多自主体系统(1)，N=4，系统矩阵为

切换动态图Gσ(t)，由分段常值的切换信号定义

×10-11，

最后得到广义系统的状态与中心的误差趋近于零，即系统最终达到了一致性.

4 结论

本文讨论了一类具有切换拓扑的广义多自主体系统，利用代数拓扑和广义系统理论知识，将广义多自主体系统进行快慢子系统分解，通过研究其慢子系统的性质，即设计了状态反馈控制协议，得到慢子系统的一致性，从而得到广义多自主体系统的一致性问题，包括无领导者一致性问题和领导者跟随一致性问题.