朴实中探究本质简约中凸显思维
——2018年一道高考题的解法探究及深入思考

2019-02-18 03:10广东省广州市真光中学510380何淑龙

中学数学研究(江西) 2019年1期

广东省广州市真光中学 (510380) 何淑龙

一、试题呈现

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

试题特征解读：该题是2018年高考新课标1理科卷第19题，主要涉及椭圆、直线的方程及其位置关系，试题设置两个递进的小问，第(1)问既减轻了考生的心理压力，又为第(2)问的探究设置了伏笔，构建动态的直线与静态的椭圆交汇，蕴涵着“定性”结论的成立，充分体现了数学新课标的理念，具有很好的区分度，是一道值得探究的好题．

二、解法探究

1．表征题目关键词

试题中给出了椭圆方程和直线方程，由于直线的不确定性，可知是经过焦点F(1,0)的直线系．“证明：∠OMA=∠OMB”等是关键词，审题时弄清含义、理解透彻所要思考的方向和具体操作所需要的方法与策略．“无论直线怎样变化，总有∠OMA=∠OMB”是几何问题(两个角相等)，既可以用几何方法(直线AM的倾斜角与直线BM的倾斜角互补)也可以数形结合转化为代数方法(两条直线的斜率和为零)来解决，为寻找解题方法和思路做了一点提示，审题时需要注意．

2．解题思路分析

根据试题条件和上述分析可知，第(1)问先求出A,B的坐标，再由两点确定一条直线；第(2)问中∠OMA=∠OMB，将角转化为直线AM的倾斜角与直线BM的倾斜角互补，进而转化为直线AM的斜率与直线BM的斜率之和为0，再将其坐标化，即可列出相应的方程，可以从几个视角入手进行解题，来证明等式．

(2)解题方向：对于命题的证明，常常运用分析法及综合法相结合来进行思考，而直线的斜率k变动时，总有∠OMA=∠OMB，形成不同的解题思路和策略.

视角1 根据上述分析将直线AM,BM的斜率之和表示出来，利用“kAM+kBM=0”来证明“当直线AB的斜率k变动时，总有”∠OMA=∠OMB”成立.

则直线AM的倾斜角与直线BM的倾斜角互补，故∠OMA=∠OMB.

证法2:根据上述分析将直线AM,BM的斜率之和表示出来，利用“kAM+kBM=0”来证明“当直线AB的斜率k变动时，总有“∠OMA=∠OMB”成立.

视角3 根据题目第(2)问的条件“当k变动时，总有“∠OMA=∠OMB”可知，角∠AMB的对称轴就是x轴，由轴对称的性质可知，直线AM与直线BM关于x轴对称，具体化有点A关于x轴的对称点A′一定在直线BM上,故有下面证法．

视角4 根据题目第(2)问的条件“当k变动时，总有“∠OMA=∠OMB”可知，结合图形特征，MO是∠AMB的角平分线，只需证点O到直线MA和MB的距离相等，沿着这个思路有下面方法．

当直线l与x轴垂直时，得到x1=x2，所以①式成立，故∠OMA=∠OMB.

当直线l与x轴不垂直时，x1≠x2,∴3(x1+x2)-4-2x1x2=0,以下同解法2.

图1

证法5：过点A,B分别作椭圆右准线的垂线，垂足分别为A1,B1(如图1所示)

三、试题溯源

(Ⅰ)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

(Ⅱ)当b=-a时，有k1+k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以P(0,-a)符合题意.

(Ⅰ)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m,n表示)；

(Ⅱ)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

该试题的第1问是由题源1的第一问巧妙特殊化,求直线方程(该直线方程实际上是椭圆的切线),问题的设计降低难度,学生对问题易切入,让学生信心倍增.试题的第2问是题源1的第2问的探究性问题整合而成的命题证明形式，把题源1使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN中的“当k变动”省去,增加问题的难度,对直线的斜率是否存在进行分类讨论,加大了思维强度和广度.

该试题第2问命题的证明是题源2探究问题的形式似曾相识，但是该题的问题指向性更具体明了，题源2中对称性、字母的抽象性、探究是否存在等设计省去，有效地降低试题难度，但是该试题设计为命题的证明,有效地检测学生对问题的开展探究、观察、联想、推理等能力的考查，对学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养的考查，有意导向、强调教学过程增强数学学习的探究活动，对学生核心素养的培养,凸显了命题专家的良苦用心和对中学教师教学的一种期望.