试析建模思想在初中数学复习中的应用

摘 要：数学建模思想在初中数学复习中的应用，有利于学生利用数学原理解决问题，是提高数学应用能力的有效方法。随着教育改革的持续推进，对于建模思想在初中数学复习中的应用的重视程度不断提高，通过建模思想，如何帮助学生提高综合运用数学知识与技能求解的能力是现阶段初中数学教师关心与研究的重点问题。本文主要分析解答建模思想在初中数学复习中的应用的相关问题，通过大量初中数学教学案例的阐述，希望能够更加直观清晰的表达观点，发挥参考与借鉴的作用。

关键词：数学建模;建模思想;初中数学;复习应用

在建模思想的引导下，学生在进行初中数学复习时能够将题目与现实生活相联系，采用具体的事物特征或数量关系帮助巩固学习成果，加深数学理解，完成作业题目。养成运用建模思想的习惯，学生的初中数学复习将变得高效、生动，不仅能提高学习效果，更能实现认知、逻辑、思考等素质能力的综合提高。

一、 数学建模的主要步骤

数学建模本质上是一种数学语言，是一种进行数学学习时的典型思考方式，通过将现实问题抽象为数学模型，再运用数学方法完成模型求解，从而验证模型是否具备合理性，在这一过程中，学生对数学的理解将加深，创造能力与实践能力将提高。一般情况下，数学建模需要七个步骤，具体分析如下：

模型准备：了解问题的实际背景，明确问题的实际意义，掌握问题的相关信息，将问题内容转换成数学语言，利用准确语言描述数学问题。

模型假设：找准建模对象特征，明确数学建模目的，简化数学问题内容，提出合理数学假设。

模型建立：在合理数学假设的基础上，利用数学工具建立各变量之间的数学关系，完成数学结构的建立。

模型求解：利用模型相关的数学信息与数据资料，对所有参数进行计算解答。

模型分析：综合利用数学逻辑及方法，对数学计算解答而得的结果进行数学合理性的分析。

模型检验：将模型分析结果与实际情况进行比对，以判断结果是否具备合理性、科学性与适用性。

模型应用：根据模型准备与假设时的目的，应用数学模型。

二、 数学建模的主要作用

首先，通过数学建模，能够将数学与其他学科进行联系，使学生感受到数学的强大功能与应用价值，从而激发学生对数学学习的热情。

其次，通过数学建模，能够锻炼学生的综合能力，这些能力主要包括想象力、逻辑思维能力、数学语言表达能力、问题提炼能力、合作交流能力等。

再次，通过数学建模，学生在复习时能够获得主动性，能够将数学知识与题目内容与实际相结合，甚至能够引导学生通过社会活动建立数学模型，符合现阶段素质教育的具体要求，有利于初中数学学习效果的提升。

最后，通过数学建模，能够使学生掌握数学应用的基本方法，从而去完成数学建模的实施与操作，能够体现数学学习的深远意义与学科价值。

三、 建模思想在初中数学复习中的应用

在初中数学教学中，数学建模是极为常见、常用的思维方法与解题方式，由此可见，建模思想应是学生在进行初中数学复习时最应该强化练习，力求掌握的数学方法。初中数学所包括的典型数学模型包括方程、不等式、函数、几何、图表等，下文将举例分析建模思想在初中数学复习中的应用。具体内容如下：

（一） 方程建模

方程建模是最為基本的数学模型，其主要是利用数量的相等关系解决一些问题，在解决工程问题、销售问题、利率问题等问题时，方程建模的准确性、清晰性、逻辑性特点凸显，实际应用具有良好效果。

例题1 某水库计划修建一条横截面为梯形的输水渠道，已知横截面面积为4.05m2，上口宽比渠底宽1.4m，渠深比渠底宽小0.5m。求渠道的上口宽与渠深分别是多少。

分析：联系实际生活，问题本身属于工程问题，在建模思想的引导下可尝试使用方程建模予以解决，运用到的数学知识还主要涉及梯形面积的计算公式。

解：假设渠底宽为x，则上口宽即为x+1.4，渠深即为x-0.5，已知梯形横截面面积为4.05m2，利用梯形面积计算公式建立方程，即为

[x+（x+1.4）]（x-0.5）2=4.05

解得x1=2，x2=-2.2，x2不合题意所以舍去，得出渠底宽为2m。

答：上口宽为2+1.4=3.4m，渠深为2-0.5=1.5m。

例题1是比较简单的方程建模，还有一些问题需要利用方程组建模进行解答，比如“鸡兔同笼”的问题。

例题2 买四只鸡、六只兔时，一共需要花费48元，而当买三只鸡、五只兔时，一共需要花费38元。问鸡和兔的单价分别是多少？

分析：“鸡兔同笼”问题是古代一个复杂的数学问题，但是利用建模思想就可以轻松解答，进行方程组建模的关键就是题干中的两组等量关系。

解：假设鸡的单价为x元，兔的单价为y元，则建立方程组模型如下

4x+6y=483x+5y=38

解得

x=6y=4

答：鸡的单价为6元，兔的单价为4元。

（二） 不等式建模

等量关系存在的同时，不等量关系也具有普遍性，尤其是在分配问题、营销问题、统筹问题等问题上，不等量关系比等量关系存在的可能性更大，在遇到这一类问题时，就需要利用不等式建模，对实际问题进行解决。

例题3 某校组织学生春游，有若干名学生，准备了若干辆校车，如果每辆校车坐4名学生，则余下18名学生没有车可坐;如果每辆车坐6名学生，则有一辆车坐不满。问一共有多少名学生和多少辆校车？

分析：通过阅读题干，提炼信息，可以发现这是一个不等量数量关系，由此可建立不等式模型，考虑实际情况中学生与校车只可能为正数和整数，则可以确定合理答案。

解：假设该校安排校车x辆，则有（4x+18）名学生，可建立不等式方程如下

（4x+18）-6（x-1）>0（4x+18）-6（x-1）<6

解得

9

∵校车数为正整数

∴x=10或者x=11

当x=10时，4x+18=58;当x=11时，4x+18=62

答：该校一共有学生58名，安排校车10辆;或者有学生62名，安排校车11辆。

（三） 函数建模

函数的本质是事物之间的广泛联系，是量与量之间的依存关系，包含数量关系及变化规律，常见的如解决成本问题、利润问题、优化问题等问题都可以利用函数建模予以解决。在初中数学复习中，函数建模的相关运用占有较为关键的位置，通过函数建模，着力培养学生用函数看待、解释、解决问题的思维习惯及应用能力，实现学生数学思维意识的提高。

例题4 某省湿地公园面积12万公顷，规划今后10年每年扩建面积相同，约为0.61到0.62万公顷。请预估6年后该省湿地公园总面积为多少万公顷。

解：假设P为该省今后10年每年扩建的公顷数，根据题意0.61≤P≤0.62，用S表示6年后該省湿地公园总面积（单位：万公顷），则S=6P+12。

根据一次函数性质，一次项系数k=6>0，所以S会随P的增大而增大。

∵0.61≤P≤0.62

∴6×0.61+12≤S≤6×0.62+12，即15.66≤S≤15.72

答：6年后该省湿地公园总面积将在15.66万公顷和15.72万公顷之间。

例题4是比较简单的一次函数建模，较为复杂的一次函数建模还可利用等式方程建模、不等式方程建模等进行问题的解决。

（四） 图表建模

图表建模的最大优势是通过条理清晰，直观明确的方式将数学信息进行梳理列举，按照不同的类型将数学信息进行排列，以方便对问题进行解决，而且利用图表不容易遗漏关键信息。利用图表建模可以对频率、分类、统计等问题进行有效解决，在实际的应用当中具有普遍性。特别是在研究工作以及论文写作当中，图表具有不可忽视的作用，其有利于发现各种变量之间的关系，生动、形象地使复杂和抽象的问题变的直观、清晰，可以代替大量的复杂的文字说明，节省篇幅。

例题5 人类有A、B、O和AB四种血型。在学校组织的一次体检中，一班的血型检测结果是在40名学生当中，A型16人，B型5人，O型有45%，剩余都是AB型。二班的血型检测结果是在45名学生当中，A型有40%，AB型2人，O型20人，剩余都是B型。请制作能说明一班和二班血型统计情况的图表。

解：要想绘制能说明一班和二班的血型统计情况的图表，要先确认一班和二班的每种血型的人数，那么现在未知的就是一班的O型和AB型，二班的A型和B型。

根据题目信息，先确认一班的O型和AB型。

∵一班的O型占一班人数的45%

∴O型人数为40×45%=18人，为此AB型人数为40-16-5-18=1人

再确认二班的A型和B型。

∵二班的A型占二班人数的40%

∴A型人数为45×40%=18人，为此B型人数为45-18-2-20=5人

一班和二班人数确认后，即可进行血型统计表的绘制。

通过例题5，可以明确地看出如何进行图表建模，首要问题是利用数学方法处理题目中的量与量之间的关系，由此将绘制图表中所涉及的数学信息进行全部确认，最终完成图表的绘制。

四、 结语

综上所述，建模思想是初中数学复习中常见且必要的数学知识要点，通过建立数学模型解决问题，有利于使学生掌握运用数学知识解决实际问题的方法，从而实现数学学习效果的提高，热情的增加，理解的加深。基于此，初中数学教师在安排相关复习任务时，应选择与实际生活情况有所贴近的学习资料，并大力鼓励学生们运用建模思想去思考问题、解决问题，并且在平时的初中数学教学当中，教师也应该有意识的加强对数学建模内容的授课，帮助学生树立关于建模思想的系统认识与理解。

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作者简介：童纪江，浙江省余姚市，浙江省余姚市姚江中学。