渗透建模思想，发展应用素养*

江苏省南京师范大学附属中学宿迁分校 白严旭

在数学领域，建模思想表现为解题的一种方法.思想本身是由符号、公式等构建的抽象知识体系，而建模思想强调从数学问题入手，探析数学符号的意义与价值，引领学生从数学建模中解决问题.因此，关注学生建模思想的渗透，从数学解题中引领学生观察、猜想、验证、推理与交流，探究数学学习的乐趣，增强思想应用能力，提高数学学科教学质量.

一、强调建模思想，融入教学预设

建模思想强调学生数学应用能力的发展，将数学知识与具体的数学问题相结合，构建真实意义的数学学习情境，让学生体验数学建模的价值.以“二元一次方程组”教学为例，该节知识点涉及多个未知数的数学问题，渗透建模思想，让学生分析题意，了解数量关系，设置未知数，列方程组求解问题.在这个过程中，将现实问题作为数学建模应用实例，鼓励学生体会数学建模思想.分析本节知识点，主要有二元一次方程组、三元一次方程组等内容，重点是让学生探究二元一次方程组的解法.立足课堂教学容量与设计，我们引入“百钱百鸡”问题，来激活学生数学建模的热情，拓展学生数学解题的视野.课堂预设目标：让学生了解不定方程概念、表现形式，认识生活中的不定方程；了解枚举法与解不定方程的方法；掌握不定方程的转换与变形，运用转化思想.明确教学重点，结合实际问题，让学生探析题意中的数量关系，并用不定方程来表示.关注小组合作学习，针对数学情境中的“百钱百鸡”问题，鼓励学生分组讨论，探究不定方程的意义，增强学生运用不定方程求解数学问题的能力，在交流中增进数学感知力.

二、抓住教学关键，渗透建模方法

在建模思想渗透过程中，需要结合课堂，把握教学关键点.一是课堂导入环节，注重问题情境的营造.在百钱百鸡问题中，鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几只？该题是古代算书中的经典题型，用今天的数学知识来讨论古代数学中的智慧，引领学生从经典问题中，联系数学解题方法，感悟数学文化，激发学生的数学解题兴致.

二是小组讨论与合作学习.了解了百钱百鸡问题，如何求解该问题？结合本节教学知识点，三元一次方程组的求解思路，我们可以根据题意，分别假设鸡翁、鸡母、鸡雏分别有x、y、z只，三者合计为100只，总费用为100钱，即在分组讨论中，结合各种鸡的只数、钱数，可以得到三元一次方程组.但有小组提出疑问，三元一次方程组应该有三个方程，该题所列为两个方程，该解题思路是否正确？有学生小组采用枚举法，分别对鸡翁、鸡母、鸡雏列举具体数，代入方程组进行检验.如当x=1，y=1，z=98时，代入方程5x+3y+z=100，是否成立？当x=2，y=1，z=97时，代入方程5x+3y+z=100，是否成立？该组虽然进行了多组数的代入计算，但一直没有求解出答案.其他小组在合作讨论解法中，也未能找到答案.

合作讨论过程，要让学生充分交流，围绕解题情境，鼓励学生打开数学想象空间.有学生认为，三种小鸡的总数为100，而鸡雏的数量应该是最大的，利用枚举法，我们可以从z入手，从98、96、94等数开始，分别代入方程组，最后求解出当z=84时，x=12，y=4，该组解符合上述方程组.该组学生之所以能够获得求解结果，原因在于对鸡翁、鸡母、鸡雏三种鸡的数量进行了探究，鸡雏便宜，数量一定最多，且多于鸡翁、鸡母数量之和.不过，对于该组的求解结果，是不是该题只有唯一的解？各组学生都感到疑惑，不敢确定.有学生认为，该题应该有多个解题结果，如有学生回想起类似的题型，结果有x=0，y=25，z=75.这个结果也是符合方程组的解.看来，该数学问题应该有多组解.请学生再讨论一下.哪组学生能够找到其他的解？引导学生发散数学思维，对三元一次方程组的求解结果，鼓励学生从不同解法中挖掘数学知识点，教师要放手让学生自己去探究，去理解、感受数学的趣味.

三是引出新知，揭示求解思路.数学与生活关系紧密，结合情境营造，让学生认识利用三元一次方程组来求解生活中的问题.前面谈到，对于三元一次方程组，有三个未知数，应该由三个方程来组成，但在本节百钱百鸡问题中，却只有两个方程，由此带来的方程组的解也是不确定的，该类方程又称为“不定方程”.

由古代数学问题百钱百鸡，引出“不定方程”，让学生认识“不定方程”的概念，归纳出“不定方程”是未知数的个数与方程个数不一致，使得其解具有不确定性.在“不定方程”的解里，其范围包含整数、正整数、有理数等.如上述不定方程的求解方法如下：根据方程组中的三个未知数，我们先对5x+3y+z=100进行转换，得到15x+9y+z=300，与x+y+z=100联立，消去z，得到7x+4y=100，转换得到y=25-x.根据题意，x、y的取值应该都为正整数，即x=4k，令k=0、1、2、3、…，共得到四组解，分别为

四是求解总结.对该题的求解过程进行分析，“不定方程”中的未知数多于方程，尽管引入了消元法，但最终仍然采用枚举代入法，对所有可能的解进行检验，并使其满足题意.事实上，该题的解从其附加条件上缩小了解题范围，降低了解题难度，也让学生从中体会“不定方程”的解法特点，增强了学生对数学问题的探究与解题能力.

三、联系生活应用，交流学习体会

在“不定方程”教学中，通过引入生活化问题，让学生了解数学与现实应用的关系，提高学生对数学知识的建构能力.如某班级组织庆元旦晚会，计划用200元去购买活动礼品.其中帽子单价22元，手套单价17元.请你设计一种方案，将200元刚好用完.该题在分析时，梳理各个数量关系，总钱数为200，不同礼品价格不同.通过分组讨论，可以假设帽子x顶，手套y副，得出方程22x+17y=200.根据x、y的取值为正整数，引入枚举法来尝试解题，让学生通过合作讨论，感受数学建模过程.再如，某足球联赛中，某队共参加20场比赛，总得分为48分，问：该队胜几场？负几场？平几场？假设胜1场得3分，平一场得1分，负1场不得分.对于该题的求解，同样可以根据比赛次数、比赛得分列方程组，假设胜x场，平y场，负z场，则得到方程组先消去x.3x+3y+3z=60，联立3x+y=48，得到2y+3z=12，得到z.根据x、y、z均为正整数，利用枚举法，z能够被2整除，z=2k，令k=0、1、2、3、…，最终得出答案.还有某班组织看电影，班长花费500元购买30张票.票价有10元、15元、20元三种，问：20元的票比10元的票多几张？同样道理，对于该题的解题思路，与前述类似.根据题意，让学生构建解题模型，分别设各种票张数为x、y、z，得出方程组最终得出答案.在该类数学建模过程中，学生从中了解数学建模的方法，明晰方程组中各未知数的数量关系，并结合小组讨论、合作学习，来深化对“不定方程”解法的理解和应用.通过对数学建模思想的渗透，学生在本节“不定方程”学习中有哪些收获？前面所学的方程知识，未知数的个数与方程数是对应的，而“不定方程”中，未知数的个数往往多于方程数，使得方程组的解变得不确定.同样，在对“不定方程”进行建模学习后，很多学生表示之前的方程太简单了.也有学生认为，数学建模思想能够从数学的应用层面，帮助学生构建数学知识，增进数学的内化与理解，让数学解题充满智慧.

四、开展建模活动，发展应用素养

数学建模思想的渗透，结合数学问题情境创设，拉近了数学与现实问题的距离，便于学生从生活问题中进行抽象、概括，构建数学模型，解决数学问题.通过开展数学建模综合活动，培养学生的建模能力.

一是通过阅读题意，抽象出数学问题的本质.数学建模思想的应用，首先要引导学生读题，把握题意及数量关系，抓住题目中的主要问题，分清主次，从问题描述中抽象数学关系，形成建模基础.教师要注重学生读题心态的调整，提高对信息的挖掘能力.如某题中，载人飞船完成变轨后，轨道距离地表350km，求飞船能够看到地球最远处的位置，以及最远点与飞船正下方地表P点距离是多少.（地球半径为6400km，精确到0.1km）阅读该题，从飞船所看到的地球上最远点，实则应该是视线与地球表面相切点，我们根据数形结合思想，利用三角函数模型求出最远点，以及与点P所对应的圆心角，根据弧长公式模型求出弧长.

二是给予学生自主的数学建模思维空间.数学建模思想的渗透，要顺应学生心智发展特点，教师要善用点拨，引导学生观察、分析、思考数学模型，让学生自己去分析、构建数学模型，找出解题突破口.在这个过程中，可以引入小组合作、讨论交流活动，促进学生分享建模经验.

三是化解学生建模难点.面对数学建模，其关键点在于解决数学问题.在建模思想的应用中，教师要引导学生运用数学模型来抽象数学问题，让学生从不同问题应用中找到建模的方法.

四是注重学生间的交流与合作.数学建模思想的应用，要让学生从问题亲历中辨析数量关系，从问题的分析、理解、提炼、验证中去解决数学问题，要充分给予学生交流的机会，发展学生运用建模思想求解数学问题的能力.

总之，在数学建模思想的应用中，要把握基本建模过程，即问题的引领，解题路径的探讨，数学模型的构建，解题交流与评价.建模思想是发展学生数学学科核心素养的重要途径，也是培养学生创造性思维，提升学生数学应用能力的重要方法.结合初中数学教学，开展数学建模活动的组织，让学生从建模实践体验中，调动数学学习积极性，自觉将数学问题与生活经验关联起来，运用数学建模思想，剖析和解决数学问题，从数学探究中多体会数学建模的乐趣，促进学生数学应用素养的发展.