佐证补漏，让数学思想自然发“声”——以“不等式的性质”（第1课时）教学为例

江苏省苏州学府中学校 朱 静

与基础知识、基本技能相比，数学思想是一种隐性的数学知识，它悄悄隐藏于学生获取数学知识的过程中，是需要反复体验方能有所感悟的.在数学教学过程中，数学思想不仅可以成为学生数学学习的目标，也可以成为学生获取数学知识的起点.因而，数学教学中，我们在帮助学生获得作为知识的数学思想的同时，还应努力发挥学生既得数学思想的教学价值，用好“旧”思想，引出新知识.近期，笔者在执教“不等式的性质”（第1 课时）时，就通过学生对猜想的佐证补漏，让数学思想自然发“声”，促进新知的有效生长，成就了一次美妙的探索之旅.现呈现这一探索历程，并谈一些感悟，供大家参考.

一、“不等式的性质”（第1课时）教学片段

在类比一元一次方程猜想出解不等式前要学习不等式的性质后，教师首先引导学生回顾等式的性质，并将其文字语言和符号语言投影展示.然后追问：“你能根据等式的性质类比猜想不等式可能具有的性质吗？”学生纷纷举手抢着发言.教师让学生将自己的猜想写下来，并在小组中交流各自的猜想.

3分钟后，教师组织全班交流，学生类比给出了两个与“等式的性质”相似的猜想：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等式仍成立；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个不为0的数，不等式仍成立.

教师引导学生明确“不等式仍成立”的实质就是“不等号的方向不变”，在对文本替换后，教师投影并板书了两个猜想，然后让学生对两个猜想进行举例佐证.

对于猜想（1），学生举出了“3＞2，3+1＞2+1，3-1＞2-1”（下称示例1）“-2＜-1，-2+10＜-1+10，-2-10＜-1-10”等多个例子.教师首先肯定了学生所举出的例子，并让学生结合猜想对所举例子加以分析，如示例1，学生分析为“3＞2，在这个不等式两边同时加1，不等号左边为4，右边为3，4＞3，所以，不等号的方向不变”.在多个学生陈述过程中，教师予以逐一肯定，最终明确学生给出的猜想（1）实际上就是不等式的性质1，进而形成完整的板书.

对于猜想（2），教师肯定了猜想的合理性.在稍作停顿后，教师引导学生再次阅读猜想，有学生迅速举手陈述了这个结论存在的问题：如果乘（或除以）的数为负数，不等式是不成立的.教师进一步追问：你认为应该怎样？有学生给出“大于号变成小于号，小于号变成大于号”的猜想，教师引导学生归纳其实质就是“不等号的方向应该改变”.接下来，教师引导学生就“乘（或除以）的这个数”进行分类举例佐证，并板书：

3＞2，

3×2＞2×2，3÷2＞2÷2，

3×（-2）＜2×（-2），3÷（-2）＜2÷（-2）；

-2＜-1，

-2×5＜-1×5，-2÷5＜-1÷5，

-2×（-5）＞-1×（-5），-2÷（-5）＞-1÷（-5）；

…………

教师让学生根据板书的例子进行类似于示例1的分析，总结不等式“乘（或除以）同一类数”后不等号的变换规律，调整猜想（2），将其分成“乘（或除以）同一个正数”和“乘（或除以）同一个负数”两种情形逐一陈述，最终获得不等式的性质2和性质3.

最后，教师引导学生类比等式的性质，用符号语言将不等式的三个性质表示出来，板书并投影展示.

二、片段简析

教师先通过类比获得课时学习内容——不等式的性质，然后从学生熟知的等式的性质出发，梳理等式的性质的文字语言和符号语言，引导学生类比猜想不等式的性质.根据获得等式的性质的过程和结果，学生很快得到两个猜想.这两个猜想是基于等式的两个性质的自然生成，完全符合学生的认知经验和认知发展规律.而恰恰就是这里的猜想（2），看似与等式的性质2高度吻合，实则因负数的出现，这一看似合理的猜想中蕴含着“失真”的结论，这就是学生认知中出现的“合理漏洞”，需要依赖于教学加以弥补.然而，在接下来的教学中，教师并没有立即弥补，而是通过对猜想（1）进行佐证探索，引导学生举例佐证并分析例子的变化过程，使得性质1成为教学自然发展的成果.在上述经验的进一步沿用后，学生迅速发现猜想（2）所存在的问题.此时，分类讨论、从特殊到一般等数学思想自然发“声”：要根据“乘（或除以）的这个数的性质”进行分类讨论，进而分析示例来归纳其中的规律.至此，猜想（2）中原本基于经验得到的“乘（或除以）同一个不为0的数，不等号的方向不变”被准确地拆分为“乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”和“乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，不等式的性质2和性质3就此生成.最后，作为对数学知识体系的完善，教师引导学生对不等式的性质进一步抽象，生成了不等式的性质的符号语言.

三、几点感悟

1.梳理旧知，建构应用着力点

在数学教学中，学生获取新知一般都建立在已有知识、经验之上.无论是在课上，还是在课后，学生对数学新知的探索应是其所获旧知的自然生长和合理延伸.所以，数学教学应注重对旧知的梳理，尤其是对与本课时所学新知相关的数学“四基”的梳理，务求准确、充分、到位.这种全面覆盖、细致入微的梳理，意在扫除学生记忆的“盲点”，确保新知的生长没有障碍，自然有序.以不等式的性质为例，等式的性质是其认知的基础，从知识层面上看，等式的性质的文字语言和符号语言会为学生获取不等式的性质的两种表述提供参照，而学生获得等式的性质过程中积累的数学经验与感悟到的思想方法，也将成为学生探索不等式的性质的经验基础.因此，在探索不等式的性质前，我们就应如本文中所述那样，对等式的性质及其获得过程进行充分回顾，让学生在“纷纷举手抢着发言”的过程中，实现从知识、经验、思想方法等方面对等式性质的全方位回顾，铺平学生的新知探索之道.

2.举例佐证，获取新知生长点

数学是一门追求严谨、规范的学科.获取一个新的数学结论一般都需要通过较为严格和规范的数学推理，当然，有时可能会因为学生数学知识不够，推理能力不够，或严格推理不适用，而需要借助不完全归纳法来获得结论.在初中阶段，不完全归纳法是学生获取数学结论的常用方法.应用此法获取结论时，我们常会举一些有共性规律的数学示例让学生从中发现结论，进而抽象成学生进一步学习与应用的“工具”.在这一过程中，具有相同规律的案例的呈现也就成为了关键，就如本文中那些用以佐证结论的“3＞2，3+1＞2+1，3-1＞2-1”之类的例子，它们来自于学生已有的知识系统中，难度不大，但对他们所给出的猜想是很好的验证，通过对大量的同质案例的分析，极有可能会让学生的认知产生“由量变到质变”的奇效，使得结论的信度大幅提高，得到所有学生的认同.此外，如本文中那样，示例的大量列举，有时会让学生发现猜想中存在的漏洞，从而积极修正结论、规范陈述，给出更为严谨的数学结论.

3.补漏猜想，形成价值发挥点

在新知探索过程中，“给定猜想非数学规范结论”的情形常有出现.面对这些结论，教师要做的就是引导学生发现其中存在的漏洞，通过示例比对、文本再述、干扰清除等方式进一步规范结论，使之内容正确、合乎常规、表述严谨.正如本文中那样，学生给出的猜想（2）“不等式两边乘（或除以）同一个不为0的数，不等号的方向不变”显然是不对的，在给出猜想时学生显然没有考虑到可能会因为“两边乘（或除以）同一个数”的符号不同而出现不同结果，但我们决不能因为结论有漏洞而忽视学生基于等式的性质给出这样的猜想的合理性，一旦无情打击，将会在很大程度上让学生的探索热情迅速退温.所以，在教学中，教师要重视这一结论“漏洞”产生的缘由，决不可将教材给定的性质2和性质3直接抛给学生，以替代对猜想（2）“漏洞”的修补.本文给定的教学过程就是一个很好的“补漏”范例，教者沿着学生的认知路径，在错误猜想上“一路狂奔”：以举例佐证的方式，引导学生发现结论的漏洞；以分类再述的方式，引导学生给出规范的陈述；以板书定格的方式，引导学生获取分割的性质……这样的探索历程，让学生在数学思想的反复应用中，体验获得的数学结论之严谨与规范，最大程度上发挥出数学思想的工具价值.