专业自主“用教材教”，重组学材同课异构——对两节“一元二次方程起始课”的评析

☉江苏省南京师范大学苏州实验学校 王 龙

最近观摩两节“一元二次方程起始课”的同课异构，教师都能发挥专业自主性，源于教材、高于教材，做到学材再建构，课堂上从学生已有认知出发，“渐次丰满”学生的已有经验，层层递进，推进学程，均取得较好的教学效果.当然，教学是遗憾的艺术，总还有一些教学设计与习题选择值得商榷，本文先整理两节课的教学流程，并给出评课意见，供研讨.

一、两节一元二次方程起始课的教学概述

课例1：一元二次方程起始课

教学环节（一）基于学生已有经验引出新知

问题1：同学们对一元一次方程有哪些认识？请先在小组内交流一下，再大组汇报.

问题2：先给出3个不同的一元二次方程，让学生发现与一元一次方程有什么共同点，有什么不同点，未知数的个数和最高次数各是多少.

教学组织：学生观察后归纳出共同特征，类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程.

教学环节（二）归纳一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理得到如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.讲评时，可以类比一次函数的一般形式，引导学生对比概念之间的联系.

接下来，安排一组练习引导学生辨析、巩固概念.

问题3：以下方程是否为一元二次方程？如果是，请说说二次项系数、一次项系数和常数项；如果不是，请说明理由.

（1）4x2=81；（2）2（x2-1）=3y；（3）3x（x＋1）=4（x＋2）；（4）；（5）关于x的方程mx2-3x+2=0（m≠0）.

变式题组：（1）若（a-1）x2+ax-1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围为______.

（2）已知关于x的方程（|a|-1）x2+（a-1）x-1=0.

①若它是关于x的一元二次方程，求a的取值范围；

②若它是关于x的一元一次方程，求a的值.

（3）已知关于x的方程（a-1）x|a|+1+ax-1=0，当a为何值时，该方程是一元二次方程？

教学环节（四）一元二次方程的根的意义

问题4：下面哪些数是方程x2-x-6=0的解？

-3，-2，-1，0，1，2，3.

问题5：已知x=1是关于x的一元二次方程2x2＋kx-1=0的一个根，求k的值.

跟进练习：利用平方根的意义解简单的一元二次方程.

（1）x2-27=0；（2）（x＋3）2=5；（3）x2-2x+1=16.

教学环节（四）小结与作业（略）

简评：这个课例通过回忆建构研究方程的基本模型，通过类比自主建构一元二次方程的定义等相关概念，合作探究简单的一元二次方程的解法，从学生已有的一元一次方程经验，类比得出一元二次方程的概念，并共同归纳出一般形式，定义了一元二次方程根的概念，引导学生发现一元二次方程的根并不具有唯一性.作为学材重组的追求，教师没有停留在“照本宣科”的层次，而是继续组织学生利用直接开平方解形如（x＋q）2=p（p≥0）的方程，为后续学习方程的解法奠定了基础.从课堂教学过程来看，这节课的教学重点仍然是一元二次方程及其有关概念.当然，该课例中也有一些习题的导向不当，比如，“问题3”之后的变式题组就是不恰当的，是对概念教学的歪曲理解，属于人为编造的“垃圾题”“劣质题”，因为这类习题不能体现数学概念的本质属性，只是让学生感觉数学习题的“无趣”与“坑人”.

课例2：一元二次方程及其解法

教学环节（一）精选生活现实，列出方程引入课题

开课后先用PPT出示生活问题：如何用一张长16cm、宽12cm的硬纸片做成一个底面积为96cm2的无盖的长方体盒子？

教学组织：学生列出方程解决，出现一个陌生的方程，教师可给出一个方程2x-1=3，让学生回顾这是一元一次方程，复习一元一次方程的概念，并比较两个方程是否相同，引导学生根据以往的学习经验给这种新的方程取个名字（一元二次方程），引出课题，教师板书.

教学环节（二）类比归纳，生成新知

师：能尝试给一元二次方程下个定义吗？

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2（注意是合并同类项之后）；③整式方程.（教师完善一元二次方程的定义的板书）进一步指出，一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫作一元二次方程的一般形式.

巩固训练：

题1：关于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程？说明你判断的依据.

题2：将下列方程化成一元二次方程的一般式，并说出各项及二次项、一次项的系数：

①（x+1）2-2（x-1）2=6x-5；②3x（x-1）=（x+2）-4；③（x+2）（x-4）=7.

教学环节（三）探究特殊形式的一元二次方程的解法

问题：以x2-4=0为例，来研究一元二次方程的解法.

教学组织：根据之前乘方、开方互为逆运算的经验，请学生尝试解这个方程.

变式跟进：小组研究方程3x2-5x=0和x2-2x-15=0的解法.

教学组织：学生联想到利用因式分解来降次，转化成两个一元一次方程求解.针对学生探索出来的解法进行评析，引导学生说明是如何解出的，悟出并归纳概括解一元二次方程的基本思想——降次.

教学环节（四）课堂小结，检测反馈（略）

简评：这节课开课阶段选择从生活现实出发，引导学生列出一元二次方程后，类比一元一次方程来定义，并通过题组进行新知的训练，然后从特殊的一元二次方程出发，让学生运用直接开方法求解，在此基础上研究较为复杂的一元二次方程的解法，学生独立摸索出因式分解降次求解之后，引导学生感悟并概括“降次”是高次方程求解的关键.

二、评课与商榷

1.践行“用教材教”，基于学情重组教材

两节课都体现了教师的专业自主意识，没有拘泥于教材第1小节的内容，大胆重组教材内容，使得学习内容较为充实，而不是以大量的训练一元二次方程的定义、解的定义的习题来延长教学时间.从教学内容的选定也可看出这些教者基于学情精心设计教学内容的良苦用心，从教学效果来看，学生在这些问题的驱动之下，自然而然得出定义、解法等教学内容，说明教师“用教材教”是成功的.

2.习题变成“问题”，问题驱动推进学程

相比较而言，“课例1”是以很多“问题串”来驱动学程，教学进程紧凑，学生的思维被充分调动，并“卷入”到课堂教学中来，思维含金量高，比如，独立思考的人数多，且独立思考的问题有质量，在思考之后学生在小组内能够有效合作，合作学习质量高，随后在全班交流中，学生能积极主动展示，形式多样，展示规范有质量.相对而言，“课例2”中学生的活跃度不及“课例1”，可能与预设的问题有关，比如，有些问题过分简单，有些问题偏难，特别是解法探究的最后阶段，涉及两个需要因式分解的一元二次方程，较有难度.建议选取能运用直接配方法求解的一元二次方程，这样学生可以从直接开方法拾级而上，想到配成完全平方式，再运用开方法求出方程的根.

3.课堂小结值得重视，加强前后关联呼应

从两节课来看，课堂小结都比较常规，无甚新意，所提小结问题也多是泛泛而谈，没有体现“聚意点睛”和“生长发展”的小结特点.比如，我们可安排学生回看本课所学，从什么问题出发？如何得到新的概念？基于怎样的“研究路径”开展这节课的研究或学习？研究过程中遇到了哪些困难？是如何攻克这些困难的？还有哪些问题需要继续研究？我们可以运用怎样的方法继续开展研究？本课解题练习中哪道习题给你留下了深刻的印象？你有怎样的解题经验与同学们分享？这样来设计课堂小结问题，就可以使得学生能对本课所学进行全面的回顾和反思，前后的教学环节得到了关联与呼应，而且对后续学习展开了眺望，追求“生长式小结”，是值得我们积极践行的.