从一个数的归类失败谈试题命制的严谨性

☉江苏省徐州市贾汪区英才中学 徐 倩

“0.1010010001…，这是个什么数？”“无理数，还是有理数？”一次测试后，学生追着老师问.原本很简单的一个数的归类，怎么就整出这么多的问题呢？笔者对试题及网上的相似考题进行了认真分析，发现了考题中存在的问题，现将分析所得呈现，供大家参考.

一、考题分析

试题：在这6个数中，无理数的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

考点分析：本题是实数单元的常见考题，是指向概念的基础题.一般出现在学习了算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数等知识之后，重点考查立方根和算术平方根的计算、无理数的概念等知识.

解法分析：本题的解答是较为简单的，我们只需先将一些带根号的数进行化简，如然后确定其中的无理数，数一下个数便可得出答案.

考情分析：在考试时，不少学生没有把握住无理数“无限不循环小数”的本质属性，而是从数的“外形”上辨别无理数，误以为“含根号的数”“含π的数”“人为构造的有规律的数”都是无理数，这样得出的结果显然是不对的.考试时，不少学生对0.1010010001…的归类是心存疑虑的.有学生认为，0.1010010001…是一个有规律的无限不循环小数，应该是无理数；也有学生认为，题目并没有明示省略号中所隐含的规律，无法知晓这个数是不是具有“无限不循环”的属性，因而也就不能将其归入到无理数序列.所以，得出本题的答案与0.1010010001…的归类是有很大关系的.事实上，学生对0.1010010001…的不同理解让题目成为试卷的“问题考题”，严重影响了试卷的信度.

二、考题存在的问题

为了进一步摸清这道考题存在的问题，笔者搜索了网上的相似考题.通过分析发现，包含0.1010010001…或类似数的题目大致分为两类：一类除了给出数外，还在省略号后添加了规律说明——相邻两个1之间0的个数逐次增加1（下称“题型1”）；另一类是只给出了数，没有任何的规律说明（下称“题型2”）.不管题型1还是题型2，其解题指向都是“判断该数是否为无理数”.细细分析，题型1是规范的考题，学生能顺利地找寻出其中的规律，并将其归入到无理数中去，而题型2由于没有规定数中省略掉的规律，省略号中究竟包含着怎样的数不得而知，因而将其归入有理数和无理数中的任何一类都是不适合的.上面的考题，就是以题型2的形式出现，因而学生解题时犹豫、解题后有疑虑也就不奇怪了.

在考试结束后，笔者与命题人进行了交流，摸清了命题人的命题意图.在教无理数时，命题人在得到无理数的定义后，还从外形上给无理数进行了分类，给出了“根号型”“π型”“构造型”三个类别.然而，由于教学中没有明确“构造型”无理数中数字规律的呈现方式，仅给出了几个口述规律的数让学生认识了此类数的表象.在考卷命制时，命题人以为只要给定与课堂教学中形式类似的数，学生便可以识别“构造型”无理数.这种“想当然”的命题思路，导致给出的试题严谨性缺失.在呈现给学生的文本中，看似给出的0.1010010001是有着规律的，命题人也以为学生会沿着这一“规律”解读后面的省略号.然而，事实并不如命题人所愿，不少学生在考试中因省略号造成了思维障碍，没能给出如命题人所愿的答案.

笔者认为，命题人给出的这种数的表述，确实容易造成学生理解方面的差异.如果像本文中的考题那样，对数后的省略号含义如果不以文本的形式加以明确，我们是无法让学生对省略号形成统一的理解的，因而其解答也就难免出现偏差.事实上，对于0.1010010001…是什么数，不要说学生说不请，就是老师也说不清楚.试想，如果给定3.141592653…，而不去明确它就是圆周率π，谁能说这个数一定是无理数，它会不会是3.1415926533333…或3.141592653653653…，我们不得而知，从这个角度看，说3.141592653…是圆周率π显然是不妥的.

三、关于考题命制的三点启示

1.契合学情是考题命制的起点

基于多年调研考试与模拟考试的命题经验，笔者认为，契合学情是试题命制的起点.任何一次考试，我们都应建立在学生的认知现状和发展水平之上，任何超出学生认知水平和解题能力的考试都是失败的.试想，如果我们在考试中给出一道超学情范围的考题，别说激发学生进一步学习数学的兴趣了，就是摸清学生的学习状况也是不可能的.不管这种试题的难易如何，我们都没有理由设置一些偏离学情的考题，让学生将宝贵的考试时间耗费在他们尚未达到的知识领域内.这样的考题一旦出现，不管是对学业优秀的学生，还是对基础薄弱的学生，都是十分不公平的.本文中的试题，看似学生已经具备了应试的基础知识，他们是能够解决这一问题的，实际上他们对试题中省略号含义的解读是无法到位的，这不是知识足与不足的问题，而是学生确实缺乏对此类问题进行分析与解答的经验，课堂中积累的少量与无理数相关的知识是经不住一道不严谨的考题的“摧残”的.考后紧跟教师的追问，直接指向了无理数的本质，这足见他们在问题解决时思维已经走向深处，如果是在课堂上，这样的探索是十分有益的.而摸底考试中，笔者认为这种不利于学情正向发展的考题还是不命制为妙.

2.理解概念是考题命制的基础

数学试题，指向的是数学的基本概念，不仅要考查学生对数学知识的理解程度，还会关注到学生对数学知识的应用状况.因而，命制任何一道试题，命题人务必对试题所指向的数学概念有一个深入的理解，务求在真正理解概念的基础上形成合格的考题.还是来说说本文中的这道考题，显然命题人没有真正理解有理数的概念.通过沟通交流，笔者发现，他在课上注重教给学生的是无理数的外形，而非“无限不循环小数”这一内核.由此足见，他自己也没能把无理数的概念了然于胸，而是在“外形”是否合规上下功夫，导致试题中给出了0.1010010001…这一形似而缺神的数，造成学生理解上的混乱，严重干扰了学生对无理数本质属性的把握.这样的考题的出现，从某种意义上来讲，与命题人本人对数学概念深度解读不到位是有着很大的关系的.如此考查成效，也给我们这些身在一线的教师一个启示，那就是，命制每一道考题要首先厘清其涉及的数学概念，在考核概念的本质上下功夫做文章，而不能出一些“流于数学的外形，无视数学的实质”的考题干扰学生的数学视听，影响学生数学“四基”的巩固与“四能”的发展.

3.表意准确是考题命制的要求

不管哪一门学科，哪一场考试，都是指向学情的，都是想要真正了解学生的学习状况的，因而，从摸清学生的学习状况的角度考虑，我们所命制的试题其表意一定要准确无误.这应该成为试题命制的基本要求.在试题命制时，一旦一些含糊其辞的文本作为试题内容呈现，很可能会引发学生在考试中异样的思考，导致考情失真，让试卷信度降低.数学试题，尤其是初中数学试题的命制，我们要关注多种不同的信息载体的规范性.命制试题，不仅要关注到文本的叙述是否准确，还要注意符号的使用是否合规，图形的匹配是否到位……只有当我们把这一切都纳入视野，做到极致了，一份好的考卷才有可能出现在学生的眼前，从而成就一次有效的教学测量.很显然，本文中的这道考题是不合规的.最起码，它在表述数0.1010010001…的内在规律上是不到位的.命题人误将自己的想法和学生可能理解的规律自以为是地“埋”在了省略号中，而没有通过文本进行追加描述，不同的学生产生理解上的偏差是再正常不过的.而那些真正理解无理数含义的学生，考完后追着老师问，足见他们已经知道试题的问题所在了.毋庸置疑，这样的试卷“败笔”，问题不在学生，命题人是要为这场意外“埋单”的.