定值诚可贵，拓展价更高——2019年全国卷Ⅰ文科第21题剖析

☉河南省项城市第一高级中学 崔宴鸿

圆锥曲线中的定值问题充分展示了几何“动态”与代数“静态”的完美统一，是平面解析几何中的综合与交汇问题，也是历年高考中常见的基本题型之一.2019年高考全国卷Ⅰ文科第21题，通过圆锥曲线的定值问题与点的存在性问题的融合，把两个创新问题合理交汇在一起考查，综合考查数学相关知识与数学能力.

一、真题再现

真题（2019·全国卷Ⅰ文·21）已知点A、B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A、B且与直线x+2=0相切.

（Ⅰ）若点A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（Ⅱ）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由.

本题从简单的线段长度、圆及直线与圆的位置关系等条件入手，在特殊条件下确定圆的半径，并结合点的存在性的判定来确定相应线段的长度差的定值问题.知识简单易懂，而题目非常新颖，创新性强，充分考查学生的阅读理解能力及化归与转化思想，巧妙地将问题合理转化，利用圆的相关知识、直线与圆的位置关系及轨迹方程的求解、抛物线的定义与基本性质等来处理问题.

二、真题解析

方法1：（官方标准答案）（Ⅰ）因为⊙M过点A、B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.

由于点A在直线x+y=0上，且点A、B关于坐标原点O对称，所以点M在直线y=x上，故可设点M（a，a）.

因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径r=|a+2|.

由已知得|AO|=2.

故⊙M的半径r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定点P（1，0），使得|MA|-|MP|为定值.

理由如下：

设点M（x，y），由已知得⊙M的半径r=|x+2|，|AO|=2.

因为曲线C：y2=4x是以点P（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.

因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在满足条件的定点P.

点评：通过条件确定点M所在的直线，进而设出点M（a，a），利用直线与圆相切的位置关系确定⊙M的半径r=|a+2|，并结合圆的相关性质，利用勾股定理建立关系式，从而得以确定参数a的值，再确定⊙M的半径；在此基础上，进一步设出点M的坐标，通过轨迹的求解，结合抛物线的方程，借助抛物线的定义与几何性质来确定满足条件的定点及对应的定值问题.

方法2：（轨迹转化法）设点M（x，y），因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径r=|x+2|，|AO|=2.

（Ⅰ）因为⊙M过点A、B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.

由于点A在直线x+y=0上，且点A、B关于坐标原点O对称，所以点M在直线y=x上.

将y=x代入y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4.

故⊙M的半径r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定点P（1，0），使得|MA|-|MP|为定值.

理由如下：

因为曲线C：y2=4x是以点P（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.

因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在满足条件的定点P.

点评：通过条件设出点M的坐标（x，y），利用直线与圆相切的位置关系确定⊙M的半径r=|x+2|，并结合圆的相关性质，利用勾股定理的转化来确定与求解对应点M的轨迹方程，在此条件下结合点M所在的直线联立方程组，进而确定参数x的值，得以确定⊙M的半径；从而，结合轨迹方程，利用抛物线的方程，借助抛物线的定义与几何性质来确定满足条件的定点及对应的定值问题.

方法3：（分类讨论法）（Ⅰ）由于点A在直线x+y=0上，所以可设点A（t，-t），则点B（-t，t）.

又|AB|=4，则8t2=16，解得.

因为⊙M过点A、B，所以圆心M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y=x上.

可设点M（a，a）.

因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径r=|a+2|.

故⊙M的半径r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定点P（1，0），使得|MA|-|MP|为定值.

理由如下：

由于点A、B关于坐标原点O对称，|AB|=4，则直线AB必过坐标原点O，且|OA|=2.

①当直线AB的斜率为0时，点M与坐标原点O重合，|MA|-|MP|=|OA|-|OP|=2-1=1，为定值.

②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y=kx（k≠0），则⊙M的圆心M必在直线上，可设点M（-km，m）.

因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径r=|-km+2|.

因为曲线C：y2=4x是以点P（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.

因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在满足条件的定点P.

③当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=0.

此时点M在x轴上，可设点M（n，0）.

此时点M与坐标原点O重合，|MA|-|MP|=|OA|-|OP|=2-1=1，为定值.

综上所述，存在定点P（1，0），使得|MA|-|MP|为定值.

点评：通过条件设出点A的坐标，进而确定点B的坐标，通过两点间的距离公式的转化得到，再结合条件确定点M所在的直线，进而设出点M（a，a），利用直线与圆相切的位置关系确定⊙M的半径r=|a+2|，结合|MA|=|MB|=r，利用两点间的距离公式的转化来确定参数a的值，得以确定⊙M的半径；在此基础上，通过分类讨论，分直线AB的斜率为0、直线AB的斜率存在且不为0及直线AB的斜率不存在三种情况，准确对应点M的轨迹情况，从而得以确定满足条件的定点及对应的定值问题.

三、变式拓展

探究1：以上高考真题的破解主要围绕点M的轨迹方程展开，从而在具体问题中隐含着轨迹方程的求解.因而破解点M的轨迹方程是重中之重.

【变式1】已知点A、B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A、B且与直线x+2=0相切.试求点M的轨迹方程.

解析：设点M（x，y），因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径r=|x+2|，|AO|=2.

点评：借助高考真题，从中抽取精华部分，即确定点M的轨迹方程.而这也是抛物线的另一几何意义或定义，可以进一步归纳为一般性的抛物线的轨迹方程问题.

【结论】已知点A、B关于坐标原点O对称，|AB|=2p（p＞0），⊙M过点A、B且与直线x=-p相切.则点M的轨迹为抛物线C：y2=2px.

同理，已知点A、B关于坐标原点O对称，|AB|=2p（p＞0），⊙M过点A、B且与直线x=p相切.则点M的轨迹为抛物线C：y2=-2px.

已知点A、B关于坐标原点O对称，|AB|=2p（p＞0），⊙M过点A、B且与直线y=-p相切.则点M的轨迹为抛物线C：x2=2py.

已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=2p（p＞0），⊙M过点A，B且与直线y=p相切.则点M的轨迹方程为抛物线C：x2=-2py.

四、规律总结

处理平面解析几何中的定值问题，常见思维方法有以下两种：（1）从特殊条件入手，先根据特殊位置和数值求出相应的定值，再证明这个所求的定值与相应的变量无关；（2）直接通过逻辑推理、代数计算，在计算与推理的过程中消去相应的变量，从而得到相应的定值.