浅谈高中数学“题组教学”的运用

☉江苏省江阴市青阳中学 吴国华

题组教学这一教学形式在题目设置与顺序编排上都有一定的考究，从易到难、从单一到综合的题目设计往往能使数学基础知识、技能、方法、思想重复出现并得到强化，教师因此可以及时掌握学生学习目标的达成情况并能因此进行针对性的后续教学.

一、概念教学中的题组运用

概念教学这一重要内容可以说是基础知识与基本技能教学的核心，学好数学必然要以概念理解为基础，这在数学学习过程中是最为重要的.令学生学会概念的内涵与外延，领悟概念中所蕴含的数学思想方法与基本解题技能，促进学生数学思维品质与素养的提升，培养学生的自主学习能力，这些是概念教学的基本任务.

例1请对以下各小题中集合A到集合B的对应法则进行观察和理解：

（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，对应法则：求平方；

（2）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，对应法则：乘以2；

（3）A={x|x∈Z且x≠0}，B=Q，对应法则f：x→；

（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，对应法则：开平方.

教师在引导学生对上述小题观察与思考时，可以进行一定的层次划分，引导学生首先思考（1）——（3）小题中两集合之间对应法则的共同点，然后再启发学生进行自主归纳与总结.学生在观察与思考中很快可以得出：对应法则下的集合B中都有唯一确定的元素b和集合A中的每个元素a对应.学生的认识达到更高层次的同时还能给出映射的定义，教师在学生明确映射的定义之后，还可以再举出一些反例来帮助学生更深层次地理解映射的定义，使学生在判断（4）—（5）是否为映射时更好地理解映射这一对应法则的内涵.

二、解题教学中的题组运用

激发、引导学生对数学问题进行解题规律的探求往往能取得更好的教学效果.题组教学在解题探究中的运用往往能够帮助学生发现并掌握解题规律，使学生在运用规律解决问题的过程中获得思维广阔性的锻炼与成长.

例2（1）求值：cos60°cos15°+sin60°sin15°；

（6）设函数f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），若f（x）=，且］，求x.

题组（1）—（4）的设计是两角和与差的余弦公式的逆用向提炼辅助角公式的过渡，asinα+bcosα=这一辅助公式的提炼过程也因此更加自然顺畅.

（5）—（6）两题的设计让学生在辅助角公式、二倍角公式、向量的结合应用中获得了更为充分的理解与掌握.学生在有意义的题组教学中发现规律、掌握规律并应用规律，在兴致勃勃解决数学问题的过程中也更添解题的准确性.

三、强化教学重点中的题组运用

求二次函数在闭区间上的最大值、最小值这一重要课题是函数单调性教学之后的重点问题，题组可以这样设计：

例3（1）设f（x）=x2-2x-2，x∈［-2，2］，则f（x）的最大值、最小值分别为多少？

（2）设f（x）=x2-2x-2，若将f（x）在区间［-2，t］上的最大值记作g（t），则g（t）的表达式如何？

（3）设f（x）=x2-2x-2，若将f（x）在区间［t，t+1］上的最小值记作g（t），则g（t）的表达式如何？

（4）设f（x）=x2-2ax-2，若将f（x）在区间［-2，1］上的最小值记作g（x），则g（x）的表达式如何？

求解二次函数最值问题的关键在于学生是否能结合图像弄清函数图像的对称轴和区间之间的相对位置关系.解决第（2）小题这一“定对称轴、动区间”的最值问题时（两个端点“一定一动”），需要讨论二次函数的图像在顶点处的横坐标x=1和区间［-2，t］的关系，应分以下情况进行讨论：①t≤1；②1＜t≤4；③t＞4.求出g（t）的表达式也就不难了.解决第（3）小题这一“定对称轴、动区间”的最值问题时（两个变化的端点，但区间长度为定值），应对二次函数图像在顶点处的横坐标x=1和区间［t，t+1］的关系进行分析和讨论：①t+1≤1；②t＜1＜t+1；③t≥1.在解决第（4）小题这一“定区间、动对称轴”的最值问题时，应对二次函数图像在顶点处的横坐标x=a和区间［-2，1］的关系进行分析和讨论：①a≤-2；②-2＜a＜1；③a≥1.学生在以上四个小题的学习与思考中往往能够更为全面地掌握二次函数在闭区间上的最值问题的求解方法与思想.

四、突破教学难点中的题组运用

很多学生在一些看似复杂的问题上往往不能做到准确分析，很凸显问题的本质，若生搬硬套来解决这些问题，则更易产生解题错误了.

例4（1）已知函数y=log2x，试求其单调增区间；

（2）已知函数y=x2-6x+8，试求其单调增区间；

（3）已知函数y=log2（x2-6x+8），试求其单调增区间；

（4）若函数y=loga（2-ax）在区间［0，1］上单调递减，则a的取值范围如何？

学生面对题（1）、（2）这两道初等函数单调区间的简单问题时，往往能够结合函数的图像轻松解决，但面对题（3）、（4）这两个复合函数单调区间的问题时往往会感到困扰.这对于教师来说也是一个值得研究的教学问题.

略解：（3）设y=log2t，t（x）=x2-6x+8，其中t（x）=x2-6x+8＞0.

外函数y=log2t在（0，+∞）上单调递增，因此，求函数y=log2（x2-6x+8）的单调递增区间即转化成了求内函数t（x）=x2-6x+8的单调递增区间，结合二次函数t（x）=x2-6x+8的图像即可解决这一问题.不过，定义域t（x）＞0这一问题在画图过程中是需要考虑的，这就意味着应在x轴上方的图像中找单调区间.

（4）设y=logat，t（x）=2-ax，其中t（x）=2-ax＞0.

因为a＞0，因此内函数t=2-ax在区间［0，1］上单调递减.因为函数y=loga（2-ax）在区间［0，1］上单调递减，因此外函数y=logat在区间［0，1］上单调递减，因此a＞1.因为t（x）=2-ax＞0在区间［0，1］上恒成立，因此tmin（x）=t（1）=2-a＞0，所以1＜a＜2.

若将题中区间［0，1］改为（0，1），结果又会怎样？显然前面是一样的，但tmin（x）＞t（1）=2-a≥0，所以1＜a≤2.

研究复合函数的单调性时应考虑分解、定义域、内外函数的单调性、根据图像写单调区间这四个方面，例4中的题组教学在纠正学生错误的同时，也令学生更好地理解了函数概念的内涵以及本质.

五、发展思维教学中的题组运用

学生思维的发散性与严密性往往能影响其对数学问题的大胆设想与质疑，有意义的题组教学能够更好地发展学生思维的发散性与严密性.

例5（1）三角形的三边长能组成等比数列吗？如果不能，理由何在？如果可以，公比q的取值范围如何？

（2）直角三角形的三边长能组成等差数列吗？如果不能，理由何在？如果可以，该数列是怎样的？

（3）若三角形的三个内角能组成等差数列且其对应三边也成等差数列，该三角形形状如何？

略解：（1）设三边为a，aq，aq2（a＞0，q＞0），则当q≥1时，最大边为aq2，因此a+aq≥aq2；当0＜q＜1时，最大边为a，因此aq+aq2≥a.解上述两个不等式，分别可得1≤q＜

（2）若某直角三角形的三条边长可以组成等差数列，分别设其三边为a-d，a，a+d，公差为d（d＞0），则有（ad）2+a2=（a+d）2，解得，因此三条边长分别是的直角三角形的三边是可以组成等差数列的.

（3）若某三角形的三个内角可以组成等差数列，将其三个内角分别设为α-β，α，α+β，则（α-β）+α+（α+β）=π，解得α=

因为该三角形的三边成等差数列，因此设其三边为a-d，a，a+d.

故该三角形为等边三角形.

除此以外，我们还可以在三角形的边、角上进行其他情形的设想、学习和探索，并因此促成学生思维水平的不断提升.

总之，与现代主体教育思想吻合的题组教学能更好地帮助学生自主参与和探索，进而使学生获得知识、能力与思维的同步发展.因此，教师应善于运用题组教学并充分发挥其在教学中的作用，使学生能够在灵活多变的题组教学中获得数学能力与素养的共同提升.