素养立意 整体把握单元教学*

☉湖南省株洲市渌口区第五中学 阳志长

学业质量水平是学科核心素养水平的综合表现.新课程标准明确提出，“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”.不但如此，数学新课程标准界定了每个数学核心素养的内涵、价值、表现，并将每个核心素养划分为三个水平，每个水平的表述都涉及“情境与问题”、“知识与技能”、“思维与表达”、“交流与反思”四个方面.这为教师把握学业质量标准的整体性和阶段性、统筹设计有利于学生达成学业质量目标的教学过程提供了依据和支持.但教师总体感觉核心素养“高大上”，难以在数学教育教学中“落地”.因此，探索数学学科核心素养进入课堂的方式方法具有重大的现实和实践意义.“导数及其应用”是高中数学的重要内容，教材中“本册导引”明确提出，“微积分的创立是数学发展中的里程碑”，抓住这一载体开展相关研究，具有方法论方面的意义和价值.结合课题研究，现以“导数及其应用”一章为例，探讨如何按照所承载的核心素养教育任务立意，优化设计，整体把握单元教学的问题，以促进数学学科核心素养落地、进课堂，为一线教师提供教学方案.

一、立足概念教学，增强数学抽象意识

概念是思维的细胞，数学概念是数学思维的起点.“导数和定积分都是微积分的核心概念”，既是高中数学概念教学的难点，也是提升数学抽象核心素养的重要载体.教学时，立足导数这一核心概念，不但要考虑如何化解学习困难、达成学业质量目标，而且要考虑如何以此为载体、增强数学抽象意识，强化问题背景、建立解决“函导”问题的思维方式.

教材从“气球膨胀率”、“高台跳水”两个学生熟悉的生活情境出发，抽象出平均变化率、瞬时变化率、导数的概念.“对一种生活现象的数学解释”是教材介绍数学知识的切入角度.如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”？这是学生感到困难的地方，也是数学抽象的基础，教学时，可以从以下几个方面加强引导、优化设计.这句话涉及两个变量：气球体积V与气球半径r，还涉及这两个变量间的关系：；“气球的半径增加得越来越慢”意味着“随着气球体积的增大，当气体体积的增加量相同时，相应半径的增加量越来越小”，从数学角度进行描述就是“随着气球体积的增大，比值=越来越小”，这个比值就是气球的平均变化率；结合具体数据，让学生感受气球膨胀率大小的变化、体会平均膨胀率可以刻画气球半径变化的快慢.而在切换到“高台跳水”问题时，要让学生尝试“对一种生活现象的数学解释”，其后归纳两例的共同特征，抽象得到一般函数的平均变化率，并按照其几何意义，形象直观地“逼近”函数y=f（x）在x=x0处的导数，建构f′（x0）、等符号的含义.

本课例按照达成数学抽象的水平二的目标立意，从“气球膨胀率”、“高台跳水”的“情境与问题”入手，引导学生在参与“对一种生活现象的数学解释”的过程中，建构数学抽象的“知识与技能”，得到导数的定义，形成导数的“思维与表达”，并在概念辨析、“交流与反思”中，生成”等符号的数学理解，构建数学抽象的思维导图：“实际问题——数学解释——抽象定义——辨析理解”，为学生能够在关联的情境中抽象出一般数学概念和规则提供样式、积聚能量.数学抽象是具有数学基本特征的思维品质，教师在关注知识技能掌握的同时，要按照核心概念产生的背景与缘由，创新数学抽象的“情境与问题”，不断增强学生数学抽象的意识，增长他们解决相关问题的见识.

二、突出结构分析，发展数学运算能力

“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养”.由于知识的局限性，学生难以明晰导数和定积分运算的对象，使得相关计算容易出错、甚至受阻.教学时，不但要考虑如何解决学生的计算问题、达成学业质量标准，而且要纳入数学运算的范畴，思考如何以此为契机，发展学生数学运算能力，凸显导数的思维价值.

根据定义求函数的导数，实际上最终归结为求极限.在不介绍极限的情况下，教材尽量淡化这种方法的严格性要求及涉及的相关技巧，在用定义求出五个常用函数的导数后，直接给出常用初等函数的八个导数公式，以及导数的运算法则和复合法则.教学时，不但要理解教材的编写意图，而且要突出结构分析：针对学生理解导数运算法则的困难，以积函数的导数为例，设F（x）=f（x）g（x），计算时，将它表示成，按照导数定义的“逼近”直观，得到相应的导数运算法则；同样，针对学生理解导数复合法则的问题，引导学生自己用类似的手法，将表示成，尝试着用导数定义的“逼近”直观，解读导数复合法则的结构特征.导数公式给出了初等函数的求导公式，“复杂函数”是由基本初等函数进行“运算”或“复合”得到的，通过结构性分析，引导学生认识：运用“导数公式”和“运算法则”、“复合法则”，可以解决一般函数的求导问题，从结构上明晰运算对象.

本课例按照达成数学运算水平二的目标立意，突出结构分析，运用导数定义的“逼近”直观，帮助学生“微观”理解公式、法则的内部结构；从一般函数的构成出发，在“中观”层面上，引导学生把握公式、法则，明晰运算对象.数学运算是具有鲜明数学学科特征的关键能力，教师在关注知识技能掌握的同时，要按照数学运算“明晰对象”的特点，在后续探明定积分的运算对象中，仍然要突出结构分析的风格，按照“互逆运算”统摄知识，一以贯之，支持学生在“宏观”上进一步明晰运算对象，明确运算方向，发展学生的数学运算能力和严谨求实的科学精神.

三、突破应用难点，深化数学建模主题

“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”.导数和定积分有着实际的产生背景和广泛应用，教学时，不但要与抽象的相关概念建立联系、达成学业质量标准，而且要纳入数学应用的体系，思考如何突破难点、深化数学建模主题，凸显导数和定积分的应用价值.

基于“气球膨胀率”、“高台跳水”情境抽象出来的导数，就是瞬时速度、切线斜率的模型.教材第6页例1“原油温度的瞬时变化率”，第7页例2“跳水运动曲线在特定时刻附近的变化情况”，第8页例3“估计血管中药物浓度的瞬时变化率”，不但具有帮助学生形象直观地去理解导数的概念、深化“以直代曲”解决问题思想方法之功能，而且有利于描绘导数广泛的应用前景.教学时，要按照编者意图，落实相关教学理念.与前面几例不同，教材在“生活中的优化问题举例”这节，不仅提供了案例产生的背景，而且提出了相关的思考问题，以及建模、优化过程.教学时，在“连线”导数模型的建构过程中，除了要赋予问题本身的实际意义外，还要努力揭示运用导数工具解决实际问题的建模“套路”和要领.

基于“曲边梯形的面积”、“汽车行驶的路程”情境抽象出来的定积分，与曲边梯形的面积、汽车行驶的路程的模型息息相关.教材在第53页例2解析后，进一步揭示了定积分与曲边梯形面积的关系.教学时，要充分利用数据的有用信息，深化学生对定积分几何意义的认识.而在“定积分的简单应用”这节，教材列举了四个例题，是定积分在几何、物理中的应用.教学时，要重视“连线”定积分和“生活中的优化问题举例”模型的建构过程，设计数学建模的“升级版”.一方面，赋予“被积函数”实际意义，进一步挖掘新的信息价值，建构曲边梯形面积、变速直线运动路程、变力做功模型的意义；另一方面，变更问题背景，引导学生发现、提出问题，并在创新情境中分析、解决问题，强化学生基于现实问题进行数学抽象的意识.

本课例按照达成数学建模水平二的目标立意，充分利用导数概念建构的“情境与问题”，引导学生进入“角色”，在探索教材例题问题本质、“转化为数学问题”的过程中，建构数学建模的“知识与技能”.特别是在“生活中的优化问题举例”这节，重视引导学生关注问题的“思维与表达”，在与课本、与教师的深度对话中，努力揭示运用导数工具解决实际问题的建模套路和应用价值.而在“定积分的简单应用”这节，在挖掘新的信息价值上下功夫，引导学生建构曲边梯形面积、变速直线运动路程等方面的“情境与问题”、“知识与技能”，在“升级”数学建模的“思维与表达”中，创造性地建立数学模型，解决问题.数学建模是应用数学知识解决现实问题的思维品质和关键能力，教师在关注学生知识技能掌握的同时，要按照数学建模的“情境与问题”，创新设计，引导学生自我建构数学模型的实际意义，突破应用难点，深化数学建模主题学习.

四、把握知识脉络，提升数据分析水平

“数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养”.微积分是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造.教学时，不但要与本章各节的学习联系起来、达成学业质量标准，而且要站在立德树人、培养创新人才的高度立意，考量如何把握知识脉络，落实文化引领，提升学生数据分析水平、大数据思维的问题.

教材章头语介绍了微积分创立的意义，与处理四类科学问题的关系，以及本章的学习内容、目标和价值.教学时，要重视章节起始课教学，不但要通过案例揭示导数产生的历史背景、现实渊源，而且要为学生基于现实情境发现、提出相关问题提供支持.在“探索与发现”、“信息技术应用”等拓展性栏目中，教材推介了“牛顿法——用导数方法求方程近似解”和“图形技术与函数性质”等.教学时，要综合评价相关内容的教育功能、整体布局，引导学生合理利用这些拓展性资源，让他们在学习中体会现代文明与文化传承的关系.教材提供了实习作业“走进微积分”，它是提升微积分在数学思想史和科学思想史上的价值的重要“作业”.教学时，可以将学生分成若干组，按照“作业”的目的、过程、思考与要求，收集材料，汇集整理，提炼观点，形成“研究报告”，进行班级交流，让学生进一步了解微积分研究、探索的历史，深化课程学习，增强数学创新意识与信心.特别是在章节小结时，不但要引导学生构建知识框图、理解相关知识，而且要充分利用整章学习数据，引导学生运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，弄清知识的来龙去脉，形成微积分创立的基本过程、思想方法和核心要素以及做数学研究的一般方法.

本课例按照达成数据分析水平二的目标立意，引导学生把教材相关拓展和章节学习资料结合起来，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，弄清导数和定积分知识的来龙去脉，获得整章学习的意义建构.特别是把章节起始课、“实习作业”和单元小结纳入教学范畴，整体规划，引导学生运用现代信息技术手段，收集、处理数据，释放数据能量，从中获取更多的启发和效益，向数据分析的更高目标靠拢.数据分析是大数据时代公民的必备品格和关键能力，教师在关注知识技能掌握的同时，要按照数据分析的学业要求，优化设计，整合到数学教学中去，促进学生整体把握知识脉络，不断提升数据分析的水平.

“数学学科核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体”.按照章节所承载的核心素养教育任务立意，整体把握单元教学，不是对每一节课或每一个知识点进行设计，而是把这个单元内容前后照应进行优化设计，在关注知识技能的同时，按照相应核心素养的发展水平，落实到具体的、能够揭示数学本质和体悟数学思想的过程中，进课堂、相互交融，螺旋上升地构建和发展学生的数学学科核心素养.