力学

一种基于TV 分裂的真正多维Riemann 解法器

胡立军，袁礼

摘要：目的：在构造精确和健壮的数值格式求解守恒律时，高精度的Godunov 型数值格式由于能够保持原物理问题的物理特性，越来越受到人们的青睐。数值求解黎曼问题被看作是设计Godunov 型高精度高分辨率数值格式时一个非常重要的组成部分。因此，找到一个较好的近似黎曼解法器成为了许多计算流体力学研究人员努力的方向。传统的近似黎曼解法器在计算多维问题时将网格界面的间断分解成为一维波系结构，在计算中仅仅考虑了沿着网格界面法向方向传播的信息，然而完全忽略了沿着网格界面切向传播的信息。这会导致许多问题，例如格式分辨率和稳定性的降低，在计算多维问题时允许使用的CFL 数大大减小等。因此构造一种精确、健壮并且高效的真正多维黎曼解法器成为了计算流体力学的热门问题。本文构造了一种真正多维的黎曼解法器，并且进行了相关的数值实验来验证其表现。方法：采用Toro-Vázquez 分裂方法将二维欧拉方程的通量分裂成对流通量和压力通量，其中对流通量使用类似于AUSM 格式的迎风方法来计算，压力通量使用波速基于压力系统特征值的HLL 格式来计算，并将HLL 格式耗散项中的密度差用压力差来代替，从而克服传统的一维HLL 格式不能捕捉接触间断的缺点。为了实现数值格式真正多维的特性，分别计算网格界面中点和角点上的数值通量，并且采用Simpson 公式加权中点和角点上的数值通量来得到网格界面上的数值通量。其中，网格界面中点处的数值通量通过求解传统的一维黎曼问题来获得，角点处的数值通量通过求解角点处四个状态构成的二维黎曼问题来获得。采用基SDWLS（solution dependent weighted least squares）梯度的线性重构来获得空间的二阶精度，时间离散采用二阶Runge-Kutta 格式。结果：数值实验表明，本文构造的真正多维HLL 格式不仅能够达到空间的二阶精度，而且还表现出良好的网格收敛性。相比于传统的一维HLL 格式，真正多维的HLL 格式具有以下优点：能够精确地分辨接触间断，可以消除慢行激波波后振荡，具有更高的分辨率，可以使用更大的时间步长。并且，与其他能够分辨接触间断的数值格式（例如HLLC 格式）相比，真正多维的HLL 格式表现出了更好的健壮性，在计算二维问题时不会出现数值激波不稳定现象。结论：本文结合Toro-Vázquez 分裂方法的优点设计了一种形式简单，计算代价相对较小的真正多维HLL 黎曼解法器。相比于传统的一维HLL 黎曼解法器，真正多维的HLL 黎曼解法器在计算中能够精确地捕捉接触间断，具有更高的分辨率，可以使用更大的时间步长并且在强激波附近不会出现数值激波不稳定现象。因此，它是一种精确，高效并且健壮的数值方法，在计算流体力学中有广泛的应用。

来源出版物：应用数学和力学, 2017, 38(3): 243-264

入选年份：2017