扇环图在概率论教学中的应用

王群

[摘           要]  用扇环图代替维恩图来解决难以表达随机试验中的复合事件关系和直观概率的问题，图示法概率论入门教学使复杂抽象的概率论能够被直观理解。

[关    键   词]  概率论;维恩图;扇环图

[中图分类号]  G712                   [文献标志码]  A                    [文章编号]  2096-0603（2019）32-0234-02

一、概率論图示法教学的过往研究

图示法在概率论教学中一直备受重视。如陶胜在《概率论中的直观教学法》中认为“（概率论）概念抽象且不好理解，公式较多且不易记忆，通过列举实际例子，使用形象化的图示法，对几组概念着重加以区别，可以较好地帮助学生正确理解这些概念，有效地记住公式。”汪建均在《图示化方法在概率论中的应用》一文中则称“（概率论）所研究的对象的不确定性和复杂性，学生在学习过程中对基本概念理解比较困难。无疑抽象而复杂的概率论实践教学如果能够以图形示意的方式具现表达出来，将会带来更好的教学效果，使学生能够更直观、更容易理解接受抽象而复杂的概率论。

用简单图形表达复合事件能解决维恩图难以直观表达重复随机试验的不同结果，而树状图不能直观表达概率大小，不能胜任图示多次随机试验的结果等复杂事件之间的关系，因而通常采用教学案例分析复杂事件，通过案例积累对抽象概率理论的认知，学生耗费大量时间来记忆而不能直观看到原理，而扇环图能够解决上述问题。

二、扇形图分析在概率论教学中的应用

（一）用扇环图画随机实验示意图的基本方法

1.以同圆心的不同圆环表示不同次随机实验的样本空间，从内至外即为随机试验的次序，每一样本点对应于样本空间上的某一段扇环，扇环弧度占圆周角的比例即为该样本点发生的概率。

2.一个包含若干个样本点的复合事件的概率即为该事件对应的扇环弧度占圆周角的比例。

（二）概率论教学中经常涉及的事件关系维恩图与扇环图示意法对比

1.事件的包含关系：事件B包含事件A，或事件A包含于事件B的维恩图表示法与扇环图表示法对比见图1。

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2.事件A与事件B的积或交的维恩图表示法与扇环图表示法对比见图2。

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3.事件A与事件B的和或并的维恩图表示法与扇环图表示法对比见图3。

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4.事件A与事件B的差的维恩图表示法与扇环图表示法对比见图4。

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5.互斥事件的维恩图表示法与扇环图表示法对比见图5，对立事件的维恩图表示法与扇环图表示法对比见图6。

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6.事件A发生条件下事件B发生的条件概率的维恩图表示法与扇环图表示法对比见图7。

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黑色表示事件A，浅灰色表示事件B，深灰色区域为积事件AB，由此表达条件概率P（B|A）与事件A和积事件AB的关系，在扇环图中黑色表示事件A，浅灰色表示事件B，浅灰色填涂外侧、黑色填涂内测的扇环表示积事件AB，既可以从第一次随机实验，结果A事件发生的黑色扇环出发，观察表示第二次随机实验B事件发生的浅灰色区域占黑色区域的比例来直观认识条件概率P（B|A），也可以从表示积事件AB发生的浅灰色填涂外侧、黑色填涂内测的扇环出发，观察其占表示A事件的黑色区域的比例来直观认识条件概率P（B|A）。

7.全概率公式的扇环图表示法见图8。

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涉及全概率公式这样的复合事件时，维恩图难以直接简洁地表达出来。用扇环图可以简洁表达，如图所示，内侧圆环表示第一次随机实验，用不同颜色填涂的A1、A2、A3构成第一次随机实验的一个划分，外侧圆环表示第二次随机实验，对应A1、A2、A3外侧圆环分成三部分的阴影区域总体表示事件B，那么事件B发生的概率就可以用事件A1、A2、A3的概率分别乘以它们发生时B发生的概率然后求和来计算。

8.贝叶斯公式的扇环图表示法见图9。

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在理解全概率公式的基础上，用白色填涂事件B的对立事件，得到右图，这幅图直观地表达了当事件B发生时，事件A1、A2、A3发生的概率。

9.独立事件与非独立事件的对比扇环图表示法见图10。

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维恩图难以直接简洁地表达出独立事件与非独立事件的区别，但是扇环图能够做到直观区别独立事件与非独立事件。左图是独立事件，从图形上可以直观看到无论以白色表示的事件A是否发生，以深灰色表示的事件B发生的概率都是一样的，而右图是非独立事件，右图上以深灰色表示的事件B发生的概率显著依赖于以白色表示的事件A是否发生，当事件A发生时，以灰色区域表示的事件B发生的概率显著高于以黑色表示的事件A的对立事件发生时B发生的概率。

10.伯努利定理扇环示意图见图11。

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最内侧圆环表示第一次随机实验的样本空间，事件A未发生用浅灰扇环表示，事件A发生用深灰扇环表示，由内至外每多一环即表示多重复了一次随机实验。

n重圆环表示进行了n重伯努利试验，那么黑色扇环表示的是第二次和第三次随机实验中事件A发生而其他各次随机实验中事件A未发生的概率，进而事件A发生k次的含义就等价于从最内侧扇环到最外侧扇环一共n环里任意k环为深灰剩余诸环为浅灰的组合，这个组合的概率就是n重伯努利试验事件A发生k次的概率。

白色圈出的扇环表示的是从第一次随机实验开始事件A始终未发生，直到第n次试验事件A才发生的概率，图形上直观表达是从最内侧开始都是浅灰扇环，直到最外侧扇环才是深灰填涂。

三、结论

在概率论入门教学中用扇环图比用维恩图或者树状图更适合，它能克服维恩图和树状图难以直观表达复杂事件概率的缺陷，使抽象且难以被学生理解接受的概率论变得简单、直观、条理清晰，从而能够极大地提高概率论教学的效率。

参考文献：

[1]陶胜.概率论中的直观教学法[J].集美大学学报（教育科学版），2003（3）：90-94.

[2]汪建均.图示化方法在概率论中的应用[J].数学理论与应用，2004（4）：53-56.

[3]宋桂荣.概率论与数理统计课程教学改革研究[J].时代教育，2012（19）：155.

[4]张丽华，王颖喆.概率论教学的探索与实践[J].数学教育学报，2010（3）：97-99.

◎编辑 马燕萍