阶乘幂方法在解非齐次差分方程中的应用

孙建新

(绍兴文理学院 数理信息学院，浙江 绍兴 312000)

参考文献[1]研究了拟初等函数，参考文献[2]研究了函数展开为阶乘幂级数的方法.文献[3]在文献[1]和[2]的基础上，提出解齐次差分方程的新方法，即“阶乘幂方法”，并且对常系数齐次差分方程给出一般的解法与实例.本文将对常系数非齐次差分方程给出一般的新解法，同时给出相应的典型实例.不难发现，新方法具有计算简单、特解直观的优点.

1 几个引理

引理1.1 当特征根μ1，μ2，…，μk为k个互不相同的实根时，齐次方程

xn+k+b1xn+k-1+…+bk-1xn+1+bkxn=0

(1)

的通解为

(2)

引理1.2 当特征根μ1，μ2，…，μk为k个相同的实根μ(即为k重实根)时，齐次方程(1)的通解为

xn=c1μn+c2nμn+…+cknk-1μn=

(3)

其中P

引理1.3 齐次方程

xn+2-2axn+1+(a2+b2)xn=0

(4)

的通解为

(5)

亦即

xn=c1ancos! (hn)+c2ansin!(hn),

(6)

其中

(7)

上述引理的证明参见文献[3]，文中出现的新符号可参考文献[2][4][5]和[6]等.

引理1.4 若定义r2=a2(1+h2)(r>0)以及h=tanθ，则有

(8)

(a+bi)n=(reiθ)n=rn{cos(nθ)+isin(nθ)}.

另一方面，由广义二项公式与拟三角函数定义又有

(a+bi)n=(a+ahi)n=

an{cos!(hn)+isin!(hn)}.

比较两式的虚实部即得所证.

类似于三角函数的微分法则，有如下拟三角函数的差分法则：

引理1.5 若定义拟三角函数如式(7)所示，则

(9)

证明

获证.

注意到，

(10)

可见，一般来说，普通三角函数的差分形式比较复杂，而拟初等函数的差分始终是简单的.

引理1.6 拟三角函数的高阶差分公式为

Δm{n!kcos!(hn)}=

Δm{n!ksin!(hn)}=

(11)

证明由文献[4]定理6.3等价表达式

Δm{f(n)g(n)}=

令f(n)=n!k，g(n)=cos!(hn)或sin!(hn)，由引理1.4以及阶乘幂高阶差分公式

Δjn!k=k!jn!k-j,(j=0,1,…,k)

可知式(11)的第1式第一个等号成立.因为第二个等号相当于将和式按奇偶分类，不难验证其正确性，从略.又第2式与第1式是对称的，证明方法类同，不再重复.

特别地，对k=1或2以及m=1或2，有如下公式：

1)Δ{ncos!(hn)}=

cos!(hn)-h(n+1)sin!(hn);

2)Δ{nsin!(hn)}=

sin!(hn)+h(n+1)cos!(hn);

3)Δ{n!2cos!(hn)}=

2ncos!(hn)-h(n+1)!2sin!(hn);

4)Δ{n!2sin!(hn)}=

2nsin!(hn)+h(n+1)!2cos!(hn);

5)Δ2{ncos!(hn)}=

-2hsin!(hn)-h2(n+2)cos!(hn);

6)Δ2{nsin!(hn)}=

2hcos!(hn)-h2(n+2)sin!(hn);

7)Δ2{n!2cos!(hn)}=

2cos!(hn)-4h(n+1)sin!(hn)-

h2(n+2)!2cos!(hn);

8)Δ2{n!2sin!(hn)}=

2sin!(hn)+4h(n+1)cos!(hn)-

h2(n+2)!2sin!(hn).

2 常系数非齐次线性差分方程

定理2.1 设常系数非齐次线性差分方程

xn+k+b1xn+k-1+…+bk-1xn+1+bkxn=q(n)

(12)

(13)

于是，由差分方程的线性性，而且移位算子E(或差分算子)是线性算子，所以有

Xn+k+b1Xn+k-1+…+bk-1Xn+1+bkXn=

q(n)+0=q(n).

法则2.2 设k阶常系数非齐次线性差分方程形如

Δkxn+a1Δk-1xn+…+ak-1Δxn+akxn=

P!m(n)(1+r)n,(r≠-1)，

(14)

其中

P!m(n)=bmn!m+bm-1n!m-1+…+b1n!1+b0.

若r为对应特征方程

λk+a1λk-1+…+ak-1λ+ak=0

的t重根(t=0,1,2,…)，则其特解为

(15)

其中

Q!m+t(n)=cm+tn!m+t+cm+t-1n!m+t-1+…+ctn!t

为含m+1个参数的m+t次的阶乘幂多项式.

法则2.3 设k阶常系数非齐次线性差分方程形如

Δkxn+a1Δk-1xn+…+ak-1Δxn+akxn=

(16)

其中

若

a+bi=r(cosθ+isinθ)=a(cos!h+isin!h)

与

a-bi=r(cosθ-isinθ)=a(cos!h-isin!h)

为对应特征方程

λk+a1λk-1+…+ak-1λ+ak=0

的一对t重共轭复根(t=0,1,2,…)，则其特解为

或

其中

(j=1,2)，

或

(j=1,2).

3 典型实例

例1 求差分方程

xn+2-5xn+1+6xn=(n+1)2

的通解.(t=0)

解法1：对应特征方程为

μ2-5μ+6=0，

解得μ1=2，μ2=3.

则齐次方程的通解

因为1+r=1≠μj(j=1,2)，t=0,m=2. 可设非齐次方程的特解为

{A(n+2)2+B(n+2)+C}-

5{A(n+1)2+B(n+1)+C}+

6{An2+Bn+C}=(n+1)2.

虽然计算比较麻烦，仔细比较系数可得：

2A=1,-6A+2B=2,-A-3B+2C=1.

于是原差分方程的通解为

解法2：由定理1，原方程等价于方程

Δ2xn-3Δxn+2xn=n!2+3n!1+1，

对应特征方程为

λ2-3λ+2=0，

解得

λ1=1，λ2=2，

则齐次方程的通解

因为r=0≠λj(j=1,2),m=2,t=0.不妨设非齐次方程的特解为

则

2A-3(2An!1+B)+2(An!2+Bn!1+C)=

n!2+3n!1+1.

比较系数易得

2A=1,-6A+2B=3,2A-3B+2C=1.

解得

于是原差分方程的通解为

显然两种解法的结果相同，而计算还是解法2简单.

例2 求差分方程

xn+2-2xn+1+xn=n2

的通解.(t>0)

解法1：对应特征方程为

μ2-2μ+1=0，

解得

μ1=μ2=1.

则齐次方程的通解

因为1+r=1=μj(j=1,2),t=2>0,m=2.可设非齐次方程的特解为

则

{A(n+2)4+B(n+2)3+C(n+2)2}-

2{A(n+1)4+B(n+1)3+C(n+1)2}+

{An4+Bn3+Cn2}=n2.

比较系数可得：

12A=1,24A+6B=0,14A+6B+2C=0.

于是原差分方程的通解为

解法2：由定理1，原方程等价于方程

Δ2xn=n!2+n!1，

对应特征方程为λ2=0，解得λ1=λ2=0.

则齐次方程的通解

因为r=0=λj(j=1,2),t=2,m=2，不妨设非齐次方程的特解为

则

比较系数易得

12A=1,6B=1,1C=0，

解得

于是原差分方程的通解为

例3 求差分方程

xn+2-2xn+1+2xn=n2n

的通解.(t=0)

解法1：对应特征方程为

μ2-2μ+2=0，

解得

μ1=1+i,μ2=1-i，

则齐次方程的通解

因为1+r=2≠μj(j=1,2),t=0,m=1，可设非齐次方程的特解为

则

2{A(n+1)+B}2n+1+2{An+B}2n=n2n.

比较系数可得：

2A=1,4A+2B=0.

解得

于是原差分方程的通解为

解法2：由定理1，原方程等价于方程

Δ2xn+xn=n2n.

对应特征方程为λ2+1=0，解得λ1=i,λ2=-i.

则齐次方程的通解

因为1+r=2≠1+λj(j=1,2),t=0,m=1.不妨设非齐次方程的特解为

则

比较系数易得

2A=1,4A+2B=0，

解得

于是原差分方程的通解为

由引理1.4的式(8)，可知两种解法的结果相同.显然当m≥2时，求特解的计算一般是解法2简单，即阶乘幂方法较为简单.

例4 求差分方程

的通解.(t>0)

解法1：对应特征方程为

μ2-2μ+5=0，

解得

μ1=1+2i,μ2=1-2i，

则齐次方程的通解为

考虑到

cos!(2n)±isin!(2n)，

比较实部、虚部有

因为r=1+2i=μ1,t=1>0,m=1.可设非齐次方程的特解为

(An2+Bn)(1+2i)n+(Cn2+Dn)(1-2i)n

则

{A(n+2)2+B(n+2)}(1+2i)n+2+

{C(n+2)2+D(n+2)}(1-2i)n+2-

2{A(n+1)2+B(n+1)}(1+2i)n+1-

2{C(n+1)2+D(n+1)}(1-2i)n+1+

5{An2+Bn}(1+2i)n+5{Cn2+Dn}

比较系数可得：

解得

解法2：由定理1与引理1.4，原方程等价于方程

Δ2xn+4xn=ncos!(2n)，

对应特征方程为

λ2+4=0，

解得

λ1=2i,λ2=-2i.

则齐次方程的通解

因为1+2i=1+λ1,t=1,m=1，并且方程无奇数阶差分，不妨设非齐次方程的特解为

则

B(n+1)!1}sin!(2n)+(2An+B)cos!(2n)，

-2{2A(n+1)+B}sin!(2n)+2Acos!(2n).

注意到(n+2)!2=n!2+4n!1+2，于是

{(-16A)n!1+(-6A-8B)}cos!(2n)=

ncos!(2n).

比较系数易得

-16A=1,-6A-8B=0

解得

于是原差分方程的通解为

4 结束语

从所举实例可以看出，差分方程中利用拟初等函数能够为计算带来方便.特别是当m≥2时，使用阶乘幂来确定非齐次线性差分方程的特解，计算过程简单且结果直观明确.