如何利用导数解决生活中的许多优化问题

陈洁朋 王庆峰

一、导数的应用步骤及类型

导数在生活中的优化问题分为两种类型：其一是直接构造函数型，将实际问题中涉及的各类未知及已知量进行整理，并根据实际情况建立符合题意的数学模型及目标函数.言简意赅就是将实际问题情况转化为数学语言，通过形式化及关系近似化，将复杂问题进行简单处理，化为常规问题，选用合适的数学方法进行求解.其二是先进行关系构建，再进行函数构造，通过坐标系或是未知关系的建立等式，得到所需的问题方程，再进行函数关系式的处理.在这类问题中，在给定的范围内，可能只有一个极值点，那么这就是这个问题解答的最值.不过，有时候也可能在给定范围不存在极值，所以需要通过单调性等判断在给定范围内的最值.

二、导数优化生活问题的类型解读

1.直接构造函数型.

对于直接构建函数型的导数优化问题，由于实际生活中的经验积累或是其他原因，变量及因变量之间的函数关系比较明确，所以能够较为便利地进行导函数及命题函数的构建，也能够一目了然地根据所给的定义域进行问题的分析.

例题1：某商场销售某商品的经验表明，该商品每日的销售量y与销售价格x之间的关系满足关系式y=ax-3+10（x-6）2，其中x的取值范围是：3

（1）求a值；

（2）若商品的成本价为3元/千克，试确定商品价值x为何值时，使得商品销售该商品取得的利益值f（x）为最大.

解题过程如下：

（1）根据题意将点（5，11）带入关系式y=ax-3+10（x-6）2，求解得：a=2.

（2）由（1）可知，商场每日商品销售量为y=2x-3+10（x-6）2，所以利润f（x）=（x-3）[2x-3+10（x-6）2]=2+10（x-3）（x-6）2，3

当x∈（3，4）时，f′（x）>0，f（x）单调递增；当x=4时，f′（x）=0；当x∈（4，6）时，f′（x）<0，f（x）单调递减.

所以，当x=4时，f（x）取得最大值为42.所以，当商品价格为4元/千克时，商场每日销售该商品可获得利润最大.

2.先建系再进行函数构造型

先建系再进行函数构造型的导数优化问题，第一步并不是根据题意进行函数的建造，而是要根据实际情况将题意进行简化.所以在解这类题型的时候要尤为注意关系近似化及形式化，数学化生活情境，才能够将变量和因变量的取值及函数进行构建，再者在导数的分析过程中，要注意实际情况和给定取值范围内函数的变化，才能够很好地进行导数应用.

例题2：某政府为科技兴市，想要在一块不规则的非农业用地改建为一个矩形的高科技工业区，如图所示，已知AB//BC，OA∥BC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以点O为定点且开口向右的抛物线一段，如果要是矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个定点落在曲线段OC上，问应如何规划才能够使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大用地面积？（精确到0.1km2）

解题过程如下：先建立直角坐标系，将图形画出，再根据图线的形状特点，设函数y2=2px（p>0）且由于点C（4，2），求得p=12，所以得出函数方程式为y2=x（0≤x≤4），从而可以得到工业区的面积S=（2+x）（4-x），化简得S=-x32-2x+4x12+8，则S′=32x12-2+2x-12，在x的定义域内，S′（x）的变化如下图：

x[0，49）49[49，4]

S′（x）+0-

S（x）单调递增极大值9.5单调递减

所以将工业园规划成长为329km，宽为83km时工业园的面积最大为9.5km2.

综上所述，导数在实际生活中的优化问题的主要解题思路在于将各未知数的关系进行适当的形式化、数字化的处理，并且在实际问题解答时格外注意所给定的定義域范围，在通过导数的求解，确定函数的单调性和极值，最后在回归到实际问题中，才能够有效地进行问题优化，帮助人们改善生活中的相关难题.