浅析初中数学反例教学实施的具体运用

谢常盛

（广西钦州市浦北县安石中学，广西 浦北 535327）

反例教学法是教师呈现少数且典型的例题来引导学生进行批判的一种行之有效的教学方法。在数学发展史上，反例和证明同等重要。在数学教学中，恰当地开发和利用精炼、典型、具有针对性的反例，可以促进学生数学概念形成，帮助学生全面掌握巩固课堂知识，也能让学生在归纳、提炼的过程中发展多种思维能力，做到快速正确地处理问题，解决问题。因此，教师应将反例教学法积极地运用到初中数学课堂教学中，培养学生的逆向思维能力，诱发学生的创造力，开辟数学领域的新天地。

一、运用反例教学的目的要明确

反例教学的目的性强，教师在教学过程中使用反例意欲何为要清晰，想通过列举的反例让学生掌握什么知识点要明确。教师在列举反例时要有强烈的目标意识，在学生认知的发展规律下，根据具体的教学内容和重难点问题选择出典型性强、富有启发意义的反例。

例如，笔者在教学二次函数时，为学生列举了一个反例“已知二次函数y=mx2-2x+3的图象与x轴有两个交点，求m 的取值范围。”很多学生片面套用公式，一味计算Δ=b2-4ac=4-4m×3≥0，得出结果为“m≤1/3时，与x 轴有两个交点.”这样一来，便正好落入笔者的圈套，笔者设置这个反例的目的就在于提醒学生要关注题设的隐含条件，y=mx2-2x+3为二次函数，因此m≠0这一前提切不可忽视。若是在教学过程中，笔者只是信手拈来几个反例，让学生练习函数图象与x轴交点的公式计算，完全达不到反例的神奇效果。有目的性的反例教学不仅让学生掌握了所学知识点，还让学生深刻了解到所学知识点的本质及延伸。这样反例能使学生澄清是非，发现错误原因，获得正确认识和解题方法。

二、运用反例实现课堂教学的互动

在初中数学教学过程中，教师必须坚持以学生为主体，充分发挥学生的主体作用。如，坚持以“学生为本”，从学生的具体情况及特点出发，采用适用于学生的教学方法，以促进教学效率提高。在具体的教学中，教师还要能够适当运用反例教学，以实现课堂教学的互动，从而创造宽松、自由的教学环境，使学生能够在快乐的课堂氛围中积极主动地学习，真正做到“在快乐中学习”，以提高初中数学教学的有效性。同时，教师要能够全面把握每个学生的具体情况，积极为学生创设一些反例教学情境，从而使学生能够建立起平等、和谐的关系，并勇于思考和提问，实现其个人能力的快速提升。另外，教师还要积极肯定学生的学习主动性及进步，并给予适当的鼓励，使学生更加有动力和自信，去展示自我的才能，并学会通过反例，来弥补自身学习的不足之处。

三、恰当地运用反例，可以去伪存真，释疑解惑

因构造反例在辨析错解中具有直观、明显、说服力强等突出特点，所以举出反例在揭露错误时有特殊的威力。平常的教学实践使我们深深地认识到：构造反例，辨析错解，不但可以发现错解中的漏洞，而且可以从反例中得到修补的启示，进而获得正确的解答途径。

例：求关于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0两实根平方和的最大值。

设原方程有两实根x1，x2，由韦达定理得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-（k+5）2+19，可知当k=-5，两根平方和有最大值19，初看起来，运算没有错误，而且学生会认为韦达定理运用得非常正确。而事实上学生在应用的时候忽略了韦达定理运用的前提是保证方程有实数根。这时候就可以让学生通过列举反例：当k=-5时，判别Δ=-11<0，原方程没有根。

这一反例说明了原解法是错误的，造成失误的原因是忽略了两根必须是实根的条件，因此也就给出了正确的解法应该是Δ=[-（k-2）]2-4（k2+3k+5）=-（k+4）（3k+4）≥0，解得-4≤k≤- 时，原方程有实根。由x12+x22=-（k+5）2+19，可知当k≤-4时，两实根平方和有最大值是18。

通过这样的反例使学生发现了自己错误的解法，而且加强了对韦达定理的认识和理解。

四、反例具有对学生创造性思维的培养功能

美国哲学家士·拉卡托斯指出：“整个数学理论体系本身就是通过理论不断批判和反驳而生长，通过理论的更新和竞争而取得进展的。”要对错误的理论进行批判和反驳，反例则是强大的武器，然而批判和反驳是一种创造。因此，构造反例的过程就是一种创造过程，在教学中长期训练构造反例的能力，对培养学生的创造性思维能力是大有裨益的。

例如：“两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等”这个命题为假命题，要推翻它，就必须构造反例。

构造图形的过程就是动脑、动手、动眼的创造性过程。打破学生对全等三角形的正面认识，激发学生对非全等三角形模型的建构行为，无疑对培养学生的创造性思维有重要的作用。

寻求反例是从命题对应的角度去考虑问题，逆向思维具有求导性、广阔性、严密性等思维特征，当习惯于正向思维时，思维方向的改变能突破固有思维模式，开拓新的探索途径，这正是教学中必须重视运用反例的主要原因。

五、实施反例教学要注意的问题

（一）注意反例教学的引入

根据学生年龄、生理及心理特征，以及所学知识结构的不完整性，有时还不具备独立系统地推理论证的能力，思维受到一定的局限，考虑问题可能还会不够全面，在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。

（二）注意反例教学的构建

教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构建不是唯一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。

六、总结

总而言之，反例教学是初中数学教学的重要教学形式，其简明、直观、说服力强的优势更容易被中学生接受。因此，教师应积极、恰当地把反例教学运用于课堂教学之中，提高学生的思维能力，深化学生对知识的理解，从而让我们的初中数学课堂在对比、鉴别中别开生面。