构造法在求数列通项公式中的应用探究

李佳

（河北省唐山市开滦一中，河北 唐山 063000）

数列通项公式的求解方法包括累加法、构造法、待定系数法以及特征根法等，而构造法是是通过题型当中的数据、坐标或者外形等特征，利用题目中的一些给定的已知条件，应用数据关系式与相关数学理论，在解题思维意识中构造出满足已经条件或者结论的数学对象，进而使求解的问题答案能够构造出的数学对象当中体现出来。应用构造法解决数列通项公式的相关问题，省时省力，而且求解的答案也具有较高的精准度。

下面以构造法求解数列通项公式的一些常用类型为例，对构造法的解题思路进行阐释。

一、an+1=pan+q型（p、q常数且p≠1）

例题1：数列{an}中，a1=1,an+1=2an+1则an=?

解：∵an+1=2an+1

∴an+1+1=2an+2=2（an+1）

又∵a1+1=2

∴an+1+1=2,an+1=2

{an+1}是首项为2公比为2的等比数列

an+1=2·2n-1=2n，∴an=2n-1

例题2：已知数列{an}，a1=1，an+1=2an+5,求数列{an}通项公式？

本题的解题思路是：将an+1=pan+q型转化为an+1+t=p（an+t）型，以此构造成等比数列再注该题的通项公式。

解：将an+1=2an+5转化为an+1+t=2（an+t），展开可求得t=5，即an+1+5=2（an+5）。

∴数列{an+5}是以a1+5=6为首项、公比为2的等比数列，由等比数列通项公式得an+5=6·2n-1。

∴an=6·2n-1-5

二、an+1/an=f（n）型

已知数列{an}，a1=1，an+1=n/n+1·an，求数列{an}通项公式。

解：∵an+1/an=n/n+1，

∴a2/a1=1/2，a3/a2=2/3，…，an/an-1=n-1/n。

如果将上n-1个式子左右两这分别相乘得到an/a1=1/n。

又∵a1=1，∴an=1/n。

三、an+1-an=f（n）型

例题1：已知数列{an},a1=0，an+1=an+2n-1，求数列{an}的通项公式[1]。

此题的解题思路是可将an+1=an+2n-1转化成为an+1-an=f（n），利用累加法求通项公式。

解：∵an+1-an=2n-1

∴a2-a1=2×1-1，a3-a2=2×2-1，依次类推得到：an-an-1=2（n-1）-1

将以上的n-1个式子两边分别相加得到：

an-a1=2[1+2+3…+（ n-1）]-（n-1）

∴an=（n-1）2

例题2：在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1/n）an+n+1/2n，设bn=an/n，求数列{bn}的通项公式？

解：由已知条件得出，an+1/n+1=an/n+1/2n，∴bn+1-bn=1/2n，∴b2-b1=1/2，b3-b2=1/22，…，bn-bn-1=1/2n-1（n≥2）。于是bn=b1+1/2+1/22+…+1/2n-1=2-1/2n-1（n≥2），由于b1=1也满足上述公式，∴通项公式bn=2-1/2n-1。

四、an+1=pan+f（n）型

设数列{an}的前n项和为sn，a1=1，sn+1=4an+2。求（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列。（2）求数列{an} 的通项公式。

（一）解：由 a1=1及 sn+1=4an+2， 有 a1+a2=4a1+2， a2=3a1+2=5，∴b1=a2-2a1=3。

由sn+1=4an+2 ①

由当n≥2时，有sn=4an-1+2 ②

由①-②可得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2（an-2an-1）

又∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1。

∴该数列{bn}是首项为b1=3、公比等于2的等比数列。

（二）解：由（1）可以得出bn=an+1-2an=3·2n-1，∴an+1/2n+1-an/2n=3/4

∴数列{an/2n}是首项等于1/2、公差等于3/4的等差数列。

∴an/2n=1/2+（n-1）3/4=3/4n-1/4，即an=（3n-1）·2n-2

在该题中的第个问题当中，由于an+1-2an=3·2n-1是an+1=pan+qn（p，q常数）型，在解题时，只需将两边同时除以qn+1，再利用构造法求解该数列的通项公式[2]。

五、an+2=pan+1+qan型

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，求数列{an}的通项公式。

本题的解题思路是：假如p+q=1，则构造成为an+2-an+1=（p-1）·（an+1-an）。

解：∵an+2=3an+1-2an，∴an+2-an+1=2（an+1-an）。

∴数列{an+1-an}是以a2-a1=2首项，公比为2的等比数列。

∴an+1-an=2×2n-1=2n。

∴a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1。

将以上n-1个式子两边分别相加得到：an-a1=2+22+…+2n-1，

∴an=2n-1。

结束语：

构造法是求解通项公式较为常用的方法，学生在解题过程中，只有具备扎实的数学理论基础，经常性的对所学过的数学知识进行温习，在应用构造法解决数列通项公式问题时能够灵活运用正确的数学理论以及便捷高效的解题方法，求数列通项公式的问题也会迎刃而解。