高中数学函数与导数的应用

江西省永新县禾川中学 李桂林

函数是高中数学中的一个常见名词，在函数的问题探究中，利用导数来进行一些问题的解决是非常有效的，在近几年当中，由于试题难度逐渐加深，函数方面的问题都比较有难度，为了能够更好地解决函数问题，教师应当将导数问题与函数问题在教学中进行一个有效的结合，让学生们掌握利用导数去解决函数问题这样一种有效的方法，从而更加有效地解决函数问题。那么如何利用导数去解决函数问题呢？在实际中，学生们应当怎样去应用呢？

一、利用导数可以更好地理解函数的性质

函数是高中数学学科当中的一个比较有难度的知识点，在高中数学教学中，函数的性质问题一直是令教师感到头痛的一个知识点，因为这方面的内容比较复杂，学生会感觉到容易混杂，分不清楚，并且不会进行应用，因此成了教学中的一大难题，也成为学生学习中的一大阻碍。函数的性质主要涉及函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等等，这些我们其实都可以通过图像的形式来更好地进行教学，学生也可以通过图像的方式进行记忆。但是这只是指一些比较单一的简单的函数，如果涉及的是非基本初等函数，比如像y=x3-2x2+x-1这样比较复杂的函数，要想通过图像的方式来了解它的性质就比较困难了，但是掌握了导数的概念与基本知识之后，学生便可以利用导数来进行函数性质的判断与解决，利用求出的导数来画出各个点的位置，然后根据各个点的位置，比如拐点、最高点、最低点等等，都可以清晰地判断出函数的基本性质，所以说导数是判断函数性质的一个有效方法。

二、利用导数解决函数单调性问题

函数单调性是指在一个函数中，随着x的增大，y也增大，那么这个函数就是增函数，而如果随着x的增大，y变小，那么这个函数就是减函数，如果具有这样的特性，那么就说这个函数具有单调性。在证明函数单调性的过程中，我们可以使用定义来证明函数是否具有单调性，也可以利用函数的解析式来证明函数是否具有单调性，但是这些方法在操作的过程中不是太麻烦，就是会因为一些小的错误而导致最后的结果出现问题，因此这些证明的方法都不是很好。但是在学习完导数之后，便可以教学生用导数来进行函数单调性的证明，这样就可以有效简化函数单调性的问题。比如让求解当a＞0时，函数的单调性，那么在这道题中便可以引进导数的概念。在做这道题时，首先我们应该求出这个函数解析式的导数表达式f′(x)=2(x-1)(lnx+a)，其中x＞0,然后根据导数的定义可知，当常数a大于0时，令f’(x)=0,可得x1=1，x2=e-a，此时e-a＜1,这样就能够很清晰地知道函数的增区间和减区间。由这个例子可以看出，通过导数来解决函数的单调性问题可以将问题简化，传统的解题方法是由f（x1）-f（x2）的正负来判断函数的单调性，而利用导数这一方法可以直接由f（x）判断出函数的单调性，从而达到高效解题的效果。

三、利用导数解决函数值域、最值问题

函数的值域与最值问题一直以来都是学生们眼中的一个大难题，也是教师教学中的一大难点，在高中数学函数教学中，值域与最值问题又是在考试中比较容易出现的一个问题，受到教育领域的重视。尤其是在近几年来，函数的值域与最值问题一直是考试中的重点题，是学生在备考当中一定要掌握的一类题。因为值域问题与最值问题与导数的联系比较密切，不仅能够在函数的问题当中考查学生们的导数应用能力，更能够通过这样一道题来有效地考查学生们的探究能力与创新能力，因此比较容易出现。导数是处理函数值域与最值问题时的一个比较有效的方法。在求函数值域方面，求值域问题在高中数学考试中较为常见，而且这部分知识也可以说是学生在整个高中数学学习阶段的重点，同时它也是教师教学的难点。在实际学习中，求函数值域的方法有很多，其中最简便的方法就是利用导数，在解题过程中，我们可以先找到问题函数f(x)的定义域是什么，然后根据函数的定义判断其导数f′(x)的正负，进而就可以简单地求出函数的值域了。而在求最值方面，以题目为例：已知f(x)=x3-2x，求这个函数在[-2,]上的最值，在利用导数的相关知识做这道题目的时候，我们可以先根据前文说的利用导数求函数单调性的方法，求出函数解析式的导数f′(x)，并求取它的单调递增、递减区间，然后再推理该函数的最大值或最小值，通过这道题可以看到，利用导数来求解函数中的最值问题，能够有效简化解题的过程，不仅能够快速计算出函数的最值，而且得出的结果还比较可靠，可以说导数是解决最值问题的一个有效方法。

总之，导数是高中数学教学中解决函数问题的一个非常有效实用的方法，教师应当帮助学生良好地掌握导数与函数的应用技巧。以上便是我提出的几点高中数学中导数与函数的应用，希望能够对广大教师有所帮助。